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【期中讲练测】人教版八年级下册数学 专题02勾股定理+全章热门考点专练.zip
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2个概念
1.互逆命题
1. 命题“两直线平行，内错角相等”的条件是___________，结论是_______．若把这个命题的结论和条件互换，可得命题：“内错角相等，两直线平行”，这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
（1）全等三角形的三个角对应相等；
（2）直角三角形的两角互余；
（3）若，则．
【答案】两直线平行 ， 内错角相等；（1）三个角对应相等的两个三角形全等，假命题；（2）如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题；（3）遵命题；若，则，真命题．
【分析】把命题的题设和结论交换，然后判断这个逆命题的真假性即可.
【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等；
故答案为两直线平行；内错角相等；
（1）逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题
（2）逆命题：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题．
（3）逆命题；若，则，真命题．
【点睛】本题主要考查逆命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2.在中，，平分，．
（1）求证：；（请用一对互逆命题进行证明）
（2）写出你所用到的这对互逆命题．
【答案】（1）详见解析；（2）互逆命题：直角三角形的两锐角互余有两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的定义解答即可；
（2）根据直角三角形的性质写出互逆命题即可．
【详解】（1）在中，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）互逆命题：直角三角形的两锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和判定以及命题与定理，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键，注意互逆命题题设和结论的关系．
2.互逆定理
一、单选题
1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题B．互逆定理C．公理D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
二、填空题
2．（20-21八年级上·浙江·期末）写出命题“对顶角相等”的逆命题，它与原命题 （填是或不是）互逆定理．
【答案】不是
【分析】交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据对顶角的性质可判断它们为互逆定理．
【详解】解：“对顶角相等”的逆命题为：“相等的角为对顶角”，
由于原命题是真命题，逆命题为假命题，
∴它与原命题不是互逆定理，
故答案为：不是．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
2个定理
1.勾股定理
一、单选题
1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是三角形角平分线，其，，，则点D到边的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查角平分线的性质，勾股定理，过D作于E，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，求出，设，则，在中，，求解即可得出答案．
【详解】解：过D作于E，
∵，，是三角形角平分线，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，即，
故选：D．
2．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．结合题意，根据小三角形的面积可以得出，再根据勾股定理即可得出，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
3．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．6.4
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长．
【详解】解：连接，
根据折叠的性质得，，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
4．（22-23八年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，，，分别以的三边为边，向部作正方形，，，直线与相交于点J，过G作的平行线与线相交于点M，过F作的平行线与直线相交于点K，直线与相交于L，则四边形的面积是 ．
【答案】110
【分析】
本题考查了勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等．先由勾股定理得出．在由正方形的性质推出四边形，都是矩形，再由矩形的性质得出，，延长至，则，可证，继而得出四边形是矩形，可得，同理可得，四边形是矩形，，即可求解四边形的面积．
【详解】
解：延长至，则，如图：
在中，，，，
由勾股定理可得，
四边形，，都是正方形，
四边形的四个角都是，四条边平行且相等，
∵，，
，
四边形，都是矩形，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
同理可得，四边形是矩形，
，
四边形的面积
．
故答案为：110．
5．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，、分别是、边上的两个动点，满足，求线段的取值范围 ．
【答案】
【分析】
本题考查等腰直角三角形，含角的直角三角形及等腰三角形的知识．欲求的取值范围即要找到最小值和最大值时点的位置，最小值即点与点重合时，最大即点在处，关键还要作辅助线构造直角三角形，具体见详解．
【详解】
解：如图，当与重合时，的值最小,过点作于,
，
，
．
故答案为：．
6．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，将沿翻折与重合，若，．则的长为 ．
【答案】/
【分析】
本题考查轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
由翻折得，由，根据勾股定理得，求得，于是得到问题的答案．
【详解】
解：将沿翻折与重合，
，
，，
，
，
，
，
解得，
的长为，
故答案为：
7．（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是一张直角三角形的纸片，，，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
设，则，在中，利用勾股定理求出x，可得的长，然后求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：由折叠得：，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
8．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，， ，平分交于点F，垂足是E，的延长线与交于点A．
(1)求证：；
(2)求证：是的中垂线；
(3)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
（1）通过证明即可；
（2）只要证明即可解决问题；
（3）连接，只要证明，求出即可解决问题．
【详解】（1）
证明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的中垂线．
（3）
解：连接．
，
，
垂直平分，
，
．
9．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，．
(1)画出及关于y轴对称的；
(2)分别写出点A，点B，点C的对应点，，的坐标是__________；
(3)请用无刻度直尺在网格内作出以为腰的等腰直角．（保留作图痕迹）
【答案】(1)作图见解析
(2)，，
(3)作图见解析
【分析】
本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
（1）描出点依次连线即可，分别作出点A，点B，点C关于y轴的对应点，，，连线即可；
（2）根据图象即可得到点，，的坐标，；
（3）根据题意，是以为腰的等腰直角三角形，作交于点A或交于点C即可；
【详解】（1）解：和如图所示：
（2）
解：,
故答案为：，，
（3）解： 是等腰直角三角形，
以为腰时，
,
,
,
则如图所示：
10．（22-23八年级上·山东青岛·期中）（1）在第一象限内，画，使，， ；
（2）画出关于y轴对称的图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了勾股定理，作图—轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据勾股定理，即可在第一象限内，画，使，， ；
（2）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形．
【详解】解：（1），，，
如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
2.勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）将下列长度的线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10B．1，2，C．8，15，17D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴能组成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴能组成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴能组成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴不能组成直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
2．（23-24八年级上·河南郑州·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D．
【详解】解：A、，
，
，
，
，
是直角三角形，不符合题意；
B、，
，
是直角三角形，不符合题意；
C、，
最大角，
不是直角三角形，符合题意；
D、，，，，
是直角三角形，不符合题意
故选：C．
3．（23-24八年级上·江西九江·期中）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可，解题的关键是学会利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形．
【详解】，
选项A给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；
，，
选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；
故选：C
二、填空题
4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，.则 °．
【答案】90
【分析】本题考查了基本作图，勾股定理的逆定理，根据同圆的半径相等，得到，求得，利用勾股定理逆定理计算即可．
【详解】∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，.
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为90．
三、解答题
5．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，．
(1)求对角线的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)10
(2)144
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握两个定理，是解题的关键。
（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先根据勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进而利用分割法求出四边形的面积即可。
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）在中
∵，
∴是直角三角形，，
∴，
．
6．（23-24八年级上·吉林长春·期中）作图题：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，连接，请完成下列作图．请按要求画出格点三角形．
(1)在图1中找一个格点C，使得是等腰三角形（作一个即可）；
(2)在图中2找一个格点D，使得是直角三角形且其三边都不与网格线重合．（作一个即可）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，等腰三角形的定义、直角三角形的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据等腰三角形的定义 画出图形；
（2）根据直角三角形的定义画出图形．
【详解】（1）解：根据等腰三角形的定义画出图形，如图所示（答案不唯一）；
（2）解：根据直角三角形的定义画出图形，如图所示（答案不唯一）
．
7．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.求的度数.
【答案】
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
，，
，为直角三角形，即，
．
8．（23-24八年级上·福建漳州·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题：
已知平面内两点，这两点间的距离同时当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知点，则两点间的距离为______；已知点在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，则两点间的距离______；
(2)已知一个三角形的各顶点坐标分别为，你能判定此三角形的形状吗？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，在轴上有一点，若的值最小，请找出点（不求坐标，画出图形即可），求出的最小值．
【答案】(1)，；
(2)为等腰直角三角形；
(3)的最小值为．
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离的定义计算及勾股定理的逆定理即可判断；
（3）根据两点之间、线段最短作出图形即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵点在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小，
∵，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形，坐标与图形的性质、两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理及两点间距离公式是解题的关键．
9．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．
(1)求证：；
(2)如图1，若，，求的长；
(3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为3.5
(3)以，和为边，能围成直角三角形，理由见解析
【分析】（1）在中，由，，可得，由勾股定理得，进而可证；
（2）由（1）可知，由勾股定理得，，在中，，可得是等腰直角三角形，则，根据，计算求解即可；
（3）如图，在上取一点H，使，连接，，由，，可得，，证明，则，，由，可得，，由，，可得，，则，即，由，可得，由勾股定理，得，则，进而可得以，和为边，能围成直角三角形．
【详解】（1）证明：在中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：由（1）可知，
在中，由勾股定理得，，
∵在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长为3.5；
（3）解：能围成直角三角形，理由如下：
如图，在上取一点H，使，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴以，和为边，能围成直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，垂足为D，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，若的角平分线交于点E，交于点F，
①求证：；
②求点E到的距离．
(3)若点P为边上一点，连接，若为等腰三角形，请直接写出的长为______________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②点E到的距离为
(3)15或或18
【分析】（1）根据勾股定理求出，的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）①根据角平分线定义得出，根据余角性质得出，根据对顶角相等得出，证明，根据等腰三角形的判定得出结论；
②过点E作于点G，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴根据勾股定理得：，
，
∵，
∴，
即，
∴为直角三角形，
∴；
（2）解：①∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点E作于点G，如图所示：
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即点E到的距离为；
（3）解：①当时，如图所示：
∵，
∴；
②当时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上所述：的长为15或或18．
故答案为：15或或18．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形判定与性质的应用，掌握勾股定理、逆定理的应用是解第（1）（2）小题的关键，利用等腰三角形的性质与判定并能结合分类讨论的思想是解第（3）小题的关键．
11．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，直线与交于点E，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，画出的中线和角平分线；
(2)如图2，连接．
①是______三角形；
②在图2中的线段上画点P，使．
【答案】(1)画图见解析
(2)①等腰直角；②画图见解析
【分析】（1）如图，取格点，，连接，交于，连接，则为的中线，连接，取格点，连接，交于，由全等三角形的性质可得，利用等腰三角形的性质可得为的角平分线；
（2）①利用勾股定理分别求解，，，再结合勾股定理的逆定理可得结论；②如图，取格点，，，连接，交于点，由可得，可得，结合三角形的内角和定理可得，结合，，可得，可得．
【详解】（1）解：如图，，即为所求；
（2）①连接，由勾股定理可得：
，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，；
②如图，点P即为所求；
【点睛】本题考查的是利用网格特点作图，三角形的中线，角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，属于复杂作图，掌握基本图形的性质与判定是解本题的关键．
3种方法
1.化曲（折）为直法
1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）cm．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．如图，将长方体侧面展开，连接，求出的长度即可．
【详解】解：将长方体展开，连接，
∵，，
根据两点之间线段最短，．
故选：A．
2．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为，高为，则一只小虫从下底点处爬到上底处，则小虫所爬的最短路径长是（取3） ．
【答案】15
【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开式关键．
先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【详解】解：展开圆柱的侧面如图，
根据两点之间线段最短就可以得知最短．
由题意，得，
在中，由勾股定理，得．
故答案为：．
3．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知．
(1)求当x等于何值时，?
(2)当时，求的长．
(3)利用图形求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想
（1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可．
（2）当时，，利用勾股定理计算即可．
（3）根据得，
构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可．
【详解】（1）根据题意，，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（2）根据题意，，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
故．
（3）根据得，
构造．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长到点F，过点A作于点F，
则四边形是矩形，
故．
故．
2.分类计算法
一、解答题
1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
(2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
(3)当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
【答案】(1)；
(2)；
(3)丙房间的宽是米．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据以及的度数得到为等边三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）证明，从而得到米，米， 即可求出；
（3） 根据以及的度数得到为等边三角形利用相应的三角函数表示出，的长，可得到房间宽和长相等．
【详解】（1）解：在中，
∵，米，米，
∴，
∵，
∴甲房间的宽度米，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴米．
（3）解：过点作垂线，垂足点，连接，
设，且．
∵梯子的倾斜角为，
∴为等腰直角三角形，为等边三角形，梯子长度相同，，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴米，即丙房间的宽是米．
2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，等腰三角形中，，点在边上，且．
(1)如图①，当时，将沿折叠，点落在处，再将沿折叠，点也恰好落在点处，此时，的形状是，线段之间的关系是__________；
(2)如图②，绕点在内部任意位置时，线段之间的数量关系是__________．试证明你的猜想：若，求的长．
(3)当图③的位置时，线段之间的数量关系是__________．（不要求证明）
【答案】(1)等腰直角三角形；
(2)，；
(3)
【分析】此题主要考查了几何变换综合题，需要综合掌握图形的翻折变换，勾股定理的应用．
（1）根据折叠的性质知：，，所以，首先可得到是直角三角形，故、、的数量关系符合勾股定理，即；而，所以可得到，即是等腰直角三角形，因此．
（2）参照（1）的思路，可将沿折叠，得，然后连接，证，后面的解法同（1）．
（3）解法同（2）．
【详解】（1）解：如图①，根据折叠的性质知：，；
，，，；
，，
故是等腰直角三角形，（或．
故答案为：等腰直角三角形；；
（2）解：；
如图②，将沿折叠，得，连，则，
，，，同理可知，
，，而，
，
，
．
当，时，．
．
故答案为：．
（3）解：；
如图，将沿折叠，得，连，则，
，，，同理可知，
，，而，，
，
，
．
故答案为：．
3．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
(1)AC的长为______．
(2)①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为______；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为______；
(3)当是直角三角形时，求t的值；
(4)在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值______．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或
(4)或或
【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；
（1）在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①根据当点在的延长线上时，点运动的长度为：，即可求解．
②过点作于点，证明，设，则，在中，，得出，即可求解．
（3）当点与点重合时，，当时，设，根据等面积法求得，进而勾股定理，即可求解；
（4）分当作为底边时，当作为腰时，分别画出图形，求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：．
（2）①∵已知点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
∴当点在的延长线上时，点运动的长度为：，
，
．
故答案为：．
②解：过点作于点，如图所示：
∵，
∴，
∵点在的角平分线上， ，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴
故答案为：．
（3）解：当点与点重合时，，
当时，如图所示，
设，则
∴
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
综上所述，当是直角三角形时，或
（4）解：当作为等腰三角形的底边时，如图所示：
则，设，则，
在中，，
，
解得：，
此时；
当作为腰时，如图所示：
，此时；
当时，
∵，
∴，
此时，
综上分析可知，的值为或或．
3.化斜为直法
1．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【解析】解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×14×12＝84.
2个应用
1.勾股定理的应用
1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 米．
【答案】//
【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题．
【详解】解：根据上图，进行如下标注：
由题知，，，，，，
，
梯子长度不变，
，
，
，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·广东佛山·期中）某段公路限速是100km/h．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得，若．
(1)求BC的长度；
(2)求出速度判断可疑汽车是否超速？
【答案】(1)m；
(2)可疑汽车已经超速．
【分析】
本题考查的是勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理求出敌方汽车行驶的距离；
（2）根据速度的计算公式计算即可．
【详解】（1）
解：由题意得，m，m，
由勾股定理得，m；
（2）
解：km/h，
，
答：可疑汽车已经超速．
3．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
【答案】秋千绳索的长度为14.5尺．
【分析】
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：设尺，
尺，尺，
（尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，
即，
解得：，
则秋千绳索的长度为14.5尺．
4．（22-23八年级上·四川成都·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，）
【答案】距离为73米，速度为24米/秒
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出轿车的速度，由此即可求解．
【详解】解：，，，
∴，
∵，则，，
∴在中，，
∴，
∵从处行驶到处所用的时间为3秒，
∴轿车的速度是（米/秒）.
5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）问题：在平面直角坐标系中有两点，，如何求线段的长度？小明在网上搜索到下面的文字材料：
在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为．
根据上面材料，完成探究：
（1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边 ， ，利用勾股定理可得， ．
应用：
（2）平面直角坐标系中，已知两点和，线段 ．
（3）若点在轴上，点的坐标是，且，则点的坐标是 ．
拓展：
（4）如图2，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的动点，且，，三点不在同一条直线上，点在什么位置时的周长最小？最小值是多少？
【答案】（1），，；（2）5；（3）或；（4）点，
【分析】本题考查了两点之间距离公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识；
（1）先求出点坐标，即可求解；
（2）由两点之间距离公式可求解；
（3）由两点之间距离公式可求解；
（4）作点关于轴的对称点，当点在线段上时，的周长有最小值，再由两点之间距离公式和等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）两点其坐标分别是和，轴，轴，
点，
，，
，
故答案为：，，；
（2）两点和，
，
故答案为：；
（3）设点C(x,0)，
∵点D的坐标是(0,-4)，，
∴，
∴，
∴点C坐标为(4,0)或( ,0)；
（4）如图2，作点关于轴的对称点，连接
，
点，的坐标分别为和，
，
的周长，
的周长，
当点在线段上时，的周长有最小值，
点，的坐标分别为和，
，
的周长最小值为，
过点作于，
点，
，，
点，
，
，
，
，
，
点．
综上所述：点，的周长最小值为．
2.勾股定理的逆定理的应用
1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知王大爷有个长方形池塘，，米，米，王大爷依据地势修了块草莓园（如图阴影部分），并测得米，米．求王大爷的草莓园的占地面积有多大？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，连接，证明是解题的关键．
【详解】解：连接
∵在中，
∴米．
∵
∴是直角三角形，且
∴
，
2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图是一块地，已知，且
(1)连接，说明是直角三角形；
(2)求这块地的面积
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．
（1）先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理进行求解即可；
（2）两个直角三角形的面积差即为的面积．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
，
，
又，
；
，
，
又，
，
，
是直角三角形；
（2）．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）著名的赵爽弦图（如图（1），其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为），可以推导出重要的勾股定理．
(1)请你利用图（2）推导勾股定理．
(2)如图（3）一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于种种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．是不是从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明；并求比原来的路线近了多少．
【答案】(1)见解析
(2)是从村庄到河边的最近路，理由见解析；千米
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，勾股定理的逆定理：
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）在中，根据勾股定理的逆定理可得，从而得到是从村庄到河边的最近路；设千米，则千米，在中，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果．
【详解】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，即；
（2）解：是从村庄到河边的最近路，理由如下：
在中，千米，千米，千米，
∴，
∴为直角三角形，，
即，
∴是从村庄到河边的最近路，
设千米，则千米
在中， ，
∴，
解得：，
即千米，
千米．
即比原来的路线近了千米．
4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)着火点C 受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见详解
(2)能，理由见详解
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，
（1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案；
（2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）有一块薄铁皮，，各边的尺寸如图所示，若沿对角线剪开，则得到的两块三角形铁皮的面积分别是多少？
【答案】，．
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先在中，由，可得为直角三角形；根据勾股定理得出，那么，由勾股定理的逆定理可得也为直角三角形．继而可求面积．
【详解】解：连接．
在中，∵，
∴为直角三角形；
∴，；
又∵，而，
∴，
∴为直角三角形．，
所以两块三角形铁皮的面积分别是，．
6．（22-23八年级上·四川遂宁·期末）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C受台风台风影响，理由见解析
(2)小时
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、勾股定理实际生活的应用等知识点，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）先根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，过点C作于D，再根据等面积法求得，然后再与比较即可解答；
（2）根据勾股定理求出斜边为的直角边，然后根据行程问题即可解答．
【详解】（1）解：海港C受台风台风影响． 理由如下：
，
，
是直角三角形， ，
过点C作于D，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心以内为内为受影响区，
海港C受台风影响．
（2）解：当时，正好影响C港口，
，
，
台风风的速度25干米/小时时
（小时）．
7．（22-23八年级上·四川成都·期中）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果，求出的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）连接，先证明是等边三角形，即，当F点与B点重合时，即，根据“三线合一”可得，即有，同理：如果点E刚好和点A重合，同样有；问题得解；先证明是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合含角的直角三角形的性质可以求出，即问题得解；
（2）将绕D点逆时针旋转120°至，连接，先证明，再证明，问题即可得解；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接，根据（2）中的方法，同理可证明：，，再证明是直角三角形，，结合含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接根据题意有，，即，
∵点D为中点，
∴，
∴是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
当F点与B点重合时，如上图左图，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理：如果点E刚好和点A重合，同样有，
故答案为：；
当时，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
将绕D点逆时针旋转至连接如图，
根据旋转的性质有：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接如图，
根据（2）中的方法，同理可证明：，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵在（1）中已证明，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．
8．（22-23八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，.
(1)试判断的形状，并证明：
(2)当时，点从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，
①当平分时，求的值：
②当点落在边的垂直平分线上时，求的值；
③在整个运动过程中，直接写出为等腰三角形时的值.
【答案】(1)是直角三角形
(2)①秒；②秒或秒；③秒或11秒或2.5秒或1.4秒
【分析】（1）根据所给数据可得，即可判断的形状；
（2）①根据题意作出图形，再过点作，垂足为，可发现，设，则，，通过是直角三角形建立方程解答即可；②根据题意作出图形，分两种情况：点在中点；点在上．当点在中点时，此时即可解答；当点在上时，连接，设为，则，根据是直角三角形列出方程即可解答；③由题意可知，当点在上，且；当点在上，；当点在上，且过的垂直平分线，；当点在上，；分别求出四种情况的值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
则，
，
是直角三角形；
（2）解：当时，，，，
①如图，平分，过点作，垂足为，
在和中，
，
，
，
设，
，，
在中，有，
，
，
此时，，
（秒）；
②如图，垂直平分，
点可能在点处，也可能在点处，
当点在点处时，
，
（秒），
当点在处时，
连接，垂直平分，
，
设为，
则，
在中，有，
，
，
，
（秒），
综上，秒或秒；
③当点在上，时，
此时，
（秒），
当点在上，时，
此时，
（秒），
当点在上，且过的垂直平分线，时，如图，
此时点为的中点，，
（秒），
当点在上，时，
如图，过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
在中，有，
，
或（舍去），
综上，秒或11秒或2.5秒或1.4秒．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义，掌握勾股定理及其逆定理、灵活运用分类讨论思想是解题关键．
9．（22-23八年级上·福建漳州·期中）问题提出如图，等腰直角中，，，点，在边上，且，问是否存在以，，为边的三角形？若存在，判断该三角形的形状，并说明理由，若不存在，请说明理由．
笑笑同学看完题后，经过认真思考，给出了如下解答思路：将沿翻折，得到，连接
(1)问题解决请你按笑笑同学的思路，在图中补全图形，并完成解答；
(2)问题拓展如图，正方形（正方形的四条边相等，四个角为直角）中，点在边上，点在边上，使得平分，问是否存在以，，为边的三角形？若存在，判断该三角形的形状，并说明理由，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）将沿翻折，得到，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，，
再根据折叠的性质可得：，，，，从而可得，，进而利用可得≌，然后利用全等三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答；
（2）过点作，垂足为，连接，根据垂直定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用证明≌，从而可得，，进而可得，最后利用证明≌，从而可得，进而可得，即可解答．
【详解】（1）解：存在以，，为边的三角形，该三角形是直角三角形，
理由：如图，将沿翻折，得到，连接，
，，
，
，
，，
由折叠得：，，，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
存在以，，为边的三角形，该三角形是直角三角形；
（2）解：不存在以，，为边的三角形，
理由：过点作，垂足为，连接，
，
四边形是正方形，
，，
，
平分，
，
，
≌，
，，
，
，
≌，
，
，
，
不存在以，，为边的三角形．
【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
(1)当为几秒时，平分；
(2)问为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，再证，得，则，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）如图，在边上时，，当在边上时，有三种情况：①当，此时，运动的路程为，②当，过作斜边的高，③当时，则，证明，从而可得答案；
（3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
，，，
平分，，
．
在与中，
，
，
．
设，则
在中，，
即，解得：，
当秒时，平分；
（2）如图，在边上时，，
∴此时用的时间为，为等腰三角形；
当在边上时，有三种情况：
①当，此时，运动的路程为，
∴用的时间为，故时为等腰三角形；
②当，过作斜边的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴运动的路程为，
的时间为，为等腰三角形；
③当时，则，
，，
，
，
，
的路程为，所以时间为时，为等腰三角形．
或或或时，为等腰三角形
（3）如图，相遇前当点在上，在上，
∴，，
∴，
；
如图，相遇后当点在上，在上，
∴，，
∴，
，
或时，直线把的周长分成相等的两部分．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，角平分线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出方程是解本题的关键．
2个概念
1.互逆命题
1. 命题“两直线平行，内错角相等”的条件是___________，结论是_______．若把这个命题的结论和条件互换，可得命题：“内错角相等，两直线平行”，这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题，请写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
（1）全等三角形的三个角对应相等；
（2）直角三角形的两角互余；
（3）若，则．
【答案】两直线平行 ， 内错角相等；（1）三个角对应相等的两个三角形全等，假命题；（2）如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题；（3）遵命题；若，则，真命题．
【分析】把命题的题设和结论交换，然后判断这个逆命题的真假性即可.
【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是两直线平行，结论是内错角相等；
故答案为两直线平行；内错角相等；
（1）逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题
（2）逆命题：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题．
（3）逆命题；若，则，真命题．
【点睛】本题主要考查逆命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2.在中，，平分，．
（1）求证：；（请用一对互逆命题进行证明）
（2）写出你所用到的这对互逆命题．
【答案】（1）详见解析；（2）互逆命题：直角三角形的两锐角互余有两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的定义解答即可；
（2）根据直角三角形的性质写出互逆命题即可．
【详解】（1）在中，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）互逆命题：直角三角形的两锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和判定以及命题与定理，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键，注意互逆命题题设和结论的关系．
2.互逆定理
一、单选题
1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题B．互逆定理C．公理D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
二、填空题
2．（20-21八年级上·浙江·期末）写出命题“对顶角相等”的逆命题，它与原命题 （填是或不是）互逆定理．
【答案】不是
【分析】交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据对顶角的性质可判断它们为互逆定理．
【详解】解：“对顶角相等”的逆命题为：“相等的角为对顶角”，
由于原命题是真命题，逆命题为假命题，
∴它与原命题不是互逆定理，
故答案为：不是．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
2个定理
1.勾股定理
一、单选题
1．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，是三角形角平分线，其，，，则点D到边的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查角平分线的性质，勾股定理，过D作于E，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，求出，设，则，在中，，求解即可得出答案．
【详解】解：过D作于E，
∵，，是三角形角平分线，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
解得：，即，
故选：D．
2．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，则的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义．结合题意，根据小三角形的面积可以得出，再根据勾股定理即可得出，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
3．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．6.4
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长．
【详解】解：连接，
根据折叠的性质得，，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题
4．（22-23八年级下·山东淄博·期中）如图，在中，，，，分别以的三边为边，向部作正方形，，，直线与相交于点J，过G作的平行线与线相交于点M，过F作的平行线与直线相交于点K，直线与相交于L，则四边形的面积是 ．
【答案】110
【分析】
本题考查了勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等．先由勾股定理得出．在由正方形的性质推出四边形，都是矩形，再由矩形的性质得出，，延长至，则，可证，继而得出四边形是矩形，可得，同理可得，四边形是矩形，，即可求解四边形的面积．
【详解】
解：延长至，则，如图：
在中，，，，
由勾股定理可得，
四边形，，都是正方形，
四边形的四个角都是，四条边平行且相等，
∵，，
，
四边形，都是矩形，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
同理可得，四边形是矩形，
，
四边形的面积
．
故答案为：110．
5．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，、分别是、边上的两个动点，满足，求线段的取值范围 ．
【答案】
【分析】
本题考查等腰直角三角形，含角的直角三角形及等腰三角形的知识．欲求的取值范围即要找到最小值和最大值时点的位置，最小值即点与点重合时，最大即点在处，关键还要作辅助线构造直角三角形，具体见详解．
【详解】
解：如图，当与重合时，的值最小,过点作于,
，
，
．
故答案为：．
6．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，将沿翻折与重合，若，．则的长为 ．
【答案】/
【分析】
本题考查轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
由翻折得，由，根据勾股定理得，求得，于是得到问题的答案．
【详解】
解：将沿翻折与重合，
，
，，
，
，
，
，
解得，
的长为，
故答案为：
7．（22-23八年级上·浙江绍兴·期中）如图，是一张直角三角形的纸片，，，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
设，则，在中，利用勾股定理求出x，可得的长，然后求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：由折叠得：，，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
8．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，， ，平分交于点F，垂足是E，的延长线与交于点A．
(1)求证：；
(2)求证：是的中垂线；
(3)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
（1）通过证明即可；
（2）只要证明即可解决问题；
（3）连接，只要证明，求出即可解决问题．
【详解】（1）
证明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的中垂线．
（3）
解：连接．
，
，
垂直平分，
，
．
9．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知，，．
(1)画出及关于y轴对称的；
(2)分别写出点A，点B，点C的对应点，，的坐标是__________；
(3)请用无刻度直尺在网格内作出以为腰的等腰直角．（保留作图痕迹）
【答案】(1)作图见解析
(2)，，
(3)作图见解析
【分析】
本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
（1）描出点依次连线即可，分别作出点A，点B，点C关于y轴的对应点，，，连线即可；
（2）根据图象即可得到点，，的坐标，；
（3）根据题意，是以为腰的等腰直角三角形，作交于点A或交于点C即可；
【详解】（1）解：和如图所示：
（2）
解：,
故答案为：，，
（3）解： 是等腰直角三角形，
以为腰时，
,
,
,
则如图所示：
10．（22-23八年级上·山东青岛·期中）（1）在第一象限内，画，使，， ；
（2）画出关于y轴对称的图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了勾股定理，作图—轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据勾股定理，即可在第一象限内，画，使，， ；
（2）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形．
【详解】解：（1），，，
如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
2.勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）将下列长度的线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10B．1，2，C．8，15，17D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴能组成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴能组成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴能组成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴不能组成直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
2．（23-24八年级上·河南郑州·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D．
【详解】解：A、，
，
，
，
，
是直角三角形，不符合题意；
B、，
，
是直角三角形，不符合题意；
C、，
最大角，
不是直角三角形，符合题意；
D、，，，，
是直角三角形，不符合题意
故选：C．
3．（23-24八年级上·江西九江·期中）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方即可，解题的关键是学会利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形．
【详解】，
选项A给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；
，，
选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；
，，
选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；
故选：C
二、填空题
4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，.则 °．
【答案】90
【分析】本题考查了基本作图，勾股定理的逆定理，根据同圆的半径相等，得到，求得，利用勾股定理逆定理计算即可．
【详解】∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，.
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为90．
三、解答题
5．（23-24八年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，．
(1)求对角线的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)10
(2)144
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握两个定理，是解题的关键。
（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）先根据勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进而利用分割法求出四边形的面积即可。
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）在中
∵，
∴是直角三角形，，
∴，
．
6．（23-24八年级上·吉林长春·期中）作图题：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点都在格点上，连接，请完成下列作图．请按要求画出格点三角形．
(1)在图1中找一个格点C，使得是等腰三角形（作一个即可）；
(2)在图中2找一个格点D，使得是直角三角形且其三边都不与网格线重合．（作一个即可）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，等腰三角形的定义、直角三角形的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）根据等腰三角形的定义 画出图形；
（2）根据直角三角形的定义画出图形．
【详解】（1）解：根据等腰三角形的定义画出图形，如图所示（答案不唯一）；
（2）解：根据直角三角形的定义画出图形，如图所示（答案不唯一）
．
7．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点.求的度数.
【答案】
【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
，，
，为直角三角形，即，
．
8．（23-24八年级上·福建漳州·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题：
已知平面内两点，这两点间的距离同时当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知点，则两点间的距离为______；已知点在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，则两点间的距离______；
(2)已知一个三角形的各顶点坐标分别为，你能判定此三角形的形状吗？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，在轴上有一点，若的值最小，请找出点（不求坐标，画出图形即可），求出的最小值．
【答案】(1)，；
(2)为等腰直角三角形；
(3)的最小值为．
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）根据两点之间的距离的定义计算及勾股定理的逆定理即可判断；
（3）根据两点之间、线段最短作出图形即可得解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∵点在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小，
∵，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形，坐标与图形的性质、两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理及两点间距离公式是解题的关键．
9．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．
(1)求证：；
(2)如图1，若，，求的长；
(3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为3.5
(3)以，和为边，能围成直角三角形，理由见解析
【分析】（1）在中，由，，可得，由勾股定理得，进而可证；
（2）由（1）可知，由勾股定理得，，在中，，可得是等腰直角三角形，则，根据，计算求解即可；
（3）如图，在上取一点H，使，连接，，由，，可得，，证明，则，，由，可得，，由，，可得，，则，即，由，可得，由勾股定理，得，则，进而可得以，和为边，能围成直角三角形．
【详解】（1）证明：在中，，，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：由（1）可知，
在中，由勾股定理得，，
∵在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长为3.5；
（3）解：能围成直角三角形，理由如下：
如图，在上取一点H，使，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴以，和为边，能围成直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，垂足为D，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，若的角平分线交于点E，交于点F，
①求证：；
②求点E到的距离．
(3)若点P为边上一点，连接，若为等腰三角形，请直接写出的长为______________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②点E到的距离为
(3)15或或18
【分析】（1）根据勾股定理求出，的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
（2）①根据角平分线定义得出，根据余角性质得出，根据对顶角相等得出，证明，根据等腰三角形的判定得出结论；
②过点E作于点G，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可；
（3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴根据勾股定理得：，
，
∵，
∴，
即，
∴为直角三角形，
∴；
（2）解：①∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点E作于点G，如图所示：
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即点E到的距离为；
（3）解：①当时，如图所示：
∵，
∴；
②当时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上所述：的长为15或或18．
故答案为：15或或18．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形判定与性质的应用，掌握勾股定理、逆定理的应用是解第（1）（2）小题的关键，利用等腰三角形的性质与判定并能结合分类讨论的思想是解第（3）小题的关键．
11．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，是由小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，直线与交于点E，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，画出的中线和角平分线；
(2)如图2，连接．
①是______三角形；
②在图2中的线段上画点P，使．
【答案】(1)画图见解析
(2)①等腰直角；②画图见解析
【分析】（1）如图，取格点，，连接，交于，连接，则为的中线，连接，取格点，连接，交于，由全等三角形的性质可得，利用等腰三角形的性质可得为的角平分线；
（2）①利用勾股定理分别求解，，，再结合勾股定理的逆定理可得结论；②如图，取格点，，，连接，交于点，由可得，可得，结合三角形的内角和定理可得，结合，，可得，可得．
【详解】（1）解：如图，，即为所求；
（2）①连接，由勾股定理可得：
，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，；
②如图，点P即为所求；
【点睛】本题考查的是利用网格特点作图，三角形的中线，角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，属于复杂作图，掌握基本图形的性质与判定是解本题的关键．
3种方法
1.化曲（折）为直法
1．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）cm．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．如图，将长方体侧面展开，连接，求出的长度即可．
【详解】解：将长方体展开，连接，
∵，，
根据两点之间线段最短，．
故选：A．
2．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为，高为，则一只小虫从下底点处爬到上底处，则小虫所爬的最短路径长是（取3） ．
【答案】15
【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开式关键．
先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【详解】解：展开圆柱的侧面如图，
根据两点之间线段最短就可以得知最短．
由题意，得，
在中，由勾股定理，得．
故答案为：．
3．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知．
(1)求当x等于何值时，?
(2)当时，求的长．
(3)利用图形求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想
（1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可．
（2）当时，，利用勾股定理计算即可．
（3）根据得，
构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可．
【详解】（1）根据题意，，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（2）根据题意，，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
故．
（3）根据得，
构造．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长到点F，过点A作于点F，
则四边形是矩形，
故．
故．
2.分类计算法
一、解答题
1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作．
(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度＝______米．
(2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；
(3)当他在丙房间时，测得米，且，．求丙房间的宽．
【答案】(1)；
(2)；
(3)丙房间的宽是米．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据以及的度数得到为等边三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）证明，从而得到米，米， 即可求出；
（3） 根据以及的度数得到为等边三角形利用相应的三角函数表示出，的长，可得到房间宽和长相等．
【详解】（1）解：在中，
∵，米，米，
∴，
∵，
∴甲房间的宽度米，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴米．
（3）解：过点作垂线，垂足点，连接，
设，且．
∵梯子的倾斜角为，
∴为等腰直角三角形，为等边三角形，梯子长度相同，，
∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴米，即丙房间的宽是米．
2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，等腰三角形中，，点在边上，且．
(1)如图①，当时，将沿折叠，点落在处，再将沿折叠，点也恰好落在点处，此时，的形状是，线段之间的关系是__________；
(2)如图②，绕点在内部任意位置时，线段之间的数量关系是__________．试证明你的猜想：若，求的长．
(3)当图③的位置时，线段之间的数量关系是__________．（不要求证明）
【答案】(1)等腰直角三角形；
(2)，；
(3)
【分析】此题主要考查了几何变换综合题，需要综合掌握图形的翻折变换，勾股定理的应用．
（1）根据折叠的性质知：，，所以，首先可得到是直角三角形，故、、的数量关系符合勾股定理，即；而，所以可得到，即是等腰直角三角形，因此．
（2）参照（1）的思路，可将沿折叠，得，然后连接，证，后面的解法同（1）．
（3）解法同（2）．
【详解】（1）解：如图①，根据折叠的性质知：，；
，，，；
，，
故是等腰直角三角形，（或．
故答案为：等腰直角三角形；；
（2）解：；
如图②，将沿折叠，得，连，则，
，，，同理可知，
，，而，
，
，
．
当，时，．
．
故答案为：．
（3）解：；
如图，将沿折叠，得，连，则，
，，，同理可知，
，，而，，
，
，
．
故答案为：．
3．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
(1)AC的长为______．
(2)①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为______；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为______；
(3)当是直角三角形时，求t的值；
(4)在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值______．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)或
(4)或或
【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；
（1）在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①根据当点在的延长线上时，点运动的长度为：，即可求解．
②过点作于点，证明，设，则，在中，，得出，即可求解．
（3）当点与点重合时，，当时，设，根据等面积法求得，进而勾股定理，即可求解；
（4）分当作为底边时，当作为腰时，分别画出图形，求得的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
故答案为：．
（2）①∵已知点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
∴当点在的延长线上时，点运动的长度为：，
，
．
故答案为：．
②解：过点作于点，如图所示：
∵，
∴，
∵点在的角平分线上， ，
∴，
又∵，
∴，
，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴
故答案为：．
（3）解：当点与点重合时，，
当时，如图所示，
设，则
∴
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
综上所述，当是直角三角形时，或
（4）解：当作为等腰三角形的底边时，如图所示：
则，设，则，
在中，，
，
解得：，
此时；
当作为腰时，如图所示：
，此时；
当时，
∵，
∴，
此时，
综上分析可知，的值为或或．
3.化斜为直法
1．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【解析】解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×14×12＝84.
2个应用
1.勾股定理的应用
1．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 米．
【答案】//
【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题．
【详解】解：根据上图，进行如下标注：
由题知，，，，，，
，
梯子长度不变，
，
，
，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·广东佛山·期中）某段公路限速是100km/h．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得，若．
(1)求BC的长度；
(2)求出速度判断可疑汽车是否超速？
【答案】(1)m；
(2)可疑汽车已经超速．
【分析】
本题考查的是勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理求出敌方汽车行驶的距离；
（2）根据速度的计算公式计算即可．
【详解】（1）
解：由题意得，m，m，
由勾股定理得，m；
（2）
解：km/h，
，
答：可疑汽车已经超速．
3．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
【答案】秋千绳索的长度为14.5尺．
【分析】
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：设尺，
尺，尺，
（尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，
即，
解得：，
则秋千绳索的长度为14.5尺．
4．（22-23八年级上·四川成都·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，）
【答案】距离为73米，速度为24米/秒
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出轿车的速度，由此即可求解．
【详解】解：，，，
∴，
∵，则，，
∴在中，，
∴，
∵从处行驶到处所用的时间为3秒，
∴轿车的速度是（米/秒）.
5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）问题：在平面直角坐标系中有两点，，如何求线段的长度？小明在网上搜索到下面的文字材料：
在轴上有两个点，它们的坐标分别为和．则这两点所成线段长为；同样的，若在轴上的两点坐标分别为和，则这两点所成线段长为．
根据上面材料，完成探究：
（1）如图1，在直角坐标系中的任意两点其坐标分别是和，分别过这两点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边 ， ，利用勾股定理可得， ．
应用：
（2）平面直角坐标系中，已知两点和，线段 ．
（3）若点在轴上，点的坐标是，且，则点的坐标是 ．
拓展：
（4）如图2，在直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的动点，且，，三点不在同一条直线上，点在什么位置时的周长最小？最小值是多少？
【答案】（1），，；（2）5；（3）或；（4）点，
【分析】本题考查了两点之间距离公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识；
（1）先求出点坐标，即可求解；
（2）由两点之间距离公式可求解；
（3）由两点之间距离公式可求解；
（4）作点关于轴的对称点，当点在线段上时，的周长有最小值，再由两点之间距离公式和等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）两点其坐标分别是和，轴，轴，
点，
，，
，
故答案为：，，；
（2）两点和，
，
故答案为：；
（3）设点C(x,0)，
∵点D的坐标是(0,-4)，，
∴，
∴，
∴点C坐标为(4,0)或( ,0)；
（4）如图2，作点关于轴的对称点，连接
，
点，的坐标分别为和，
，
的周长，
的周长，
当点在线段上时，的周长有最小值，
点，的坐标分别为和，
，
的周长最小值为，
过点作于，
点，
，，
点，
，
，
，
，
，
点．
综上所述：点，的周长最小值为．
2.勾股定理的逆定理的应用
1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知王大爷有个长方形池塘，，米，米，王大爷依据地势修了块草莓园（如图阴影部分），并测得米，米．求王大爷的草莓园的占地面积有多大？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键，连接，证明是解题的关键．
【详解】解：连接
∵在中，
∴米．
∵
∴是直角三角形，且
∴
，
2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图是一块地，已知，且
(1)连接，说明是直角三角形；
(2)求这块地的面积
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．
（1）先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理进行求解即可；
（2）两个直角三角形的面积差即为的面积．
掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
，
，
又，
；
，
，
又，
，
，
是直角三角形；
（2）．
3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）著名的赵爽弦图（如图（1），其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为），可以推导出重要的勾股定理．
(1)请你利用图（2）推导勾股定理．
(2)如图（3）一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于种种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．是不是从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明；并求比原来的路线近了多少．
【答案】(1)见解析
(2)是从村庄到河边的最近路，理由见解析；千米
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，勾股定理的逆定理：
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）在中，根据勾股定理的逆定理可得，从而得到是从村庄到河边的最近路；设千米，则千米，在中，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果．
【详解】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，即；
（2）解：是从村庄到河边的最近路，理由如下：
在中，千米，千米，千米，
∴，
∴为直角三角形，，
即，
∴是从村庄到河边的最近路，
设千米，则千米
在中， ，
∴，
解得：，
即千米，
千米．
即比原来的路线近了千米．
4．（23-24八年级上·广东梅州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
(1)着火点C 受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见详解
(2)能，理由见详解
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，
（1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案；
（2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
5．（22-23八年级上·山东青岛·期中）有一块薄铁皮，，各边的尺寸如图所示，若沿对角线剪开，则得到的两块三角形铁皮的面积分别是多少？
【答案】，．
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先在中，由，可得为直角三角形；根据勾股定理得出，那么，由勾股定理的逆定理可得也为直角三角形．继而可求面积．
【详解】解：连接．
在中，∵，
∴为直角三角形；
∴，；
又∵，而，
∴，
∴为直角三角形．，
所以两块三角形铁皮的面积分别是，．
6．（22-23八年级上·四川遂宁·期末）如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】(1)海港C受台风台风影响，理由见解析
(2)小时
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、勾股定理实际生活的应用等知识点，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）先根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，过点C作于D，再根据等面积法求得，然后再与比较即可解答；
（2）根据勾股定理求出斜边为的直角边，然后根据行程问题即可解答．
【详解】（1）解：海港C受台风台风影响． 理由如下：
，
，
是直角三角形， ，
过点C作于D，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心以内为内为受影响区，
海港C受台风影响．
（2）解：当时，正好影响C港口，
，
，
台风风的速度25干米/小时时
（小时）．
7．（22-23八年级上·四川成都·期中）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的零件，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成角，即；在的中点D处固定了一个激光扫描仪，需要对零件进行扫描，已知扫描光线的张角恒为，即．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫到的部分（即线段和线段）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时，________（填“>”，“<”或“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当时，________（填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当时，________，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果，求出的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）连接，先证明是等边三角形，即，当F点与B点重合时，即，根据“三线合一”可得，即有，同理：如果点E刚好和点A重合，同样有；问题得解；先证明是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合含角的直角三角形的性质可以求出，即问题得解；
（2）将绕D点逆时针旋转120°至，连接，先证明，再证明，问题即可得解；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接，根据（2）中的方法，同理可证明：，，再证明是直角三角形，，结合含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）如图，连接根据题意有，，即，
∵点D为中点，
∴，
∴是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
当F点与B点重合时，如上图左图，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理：如果点E刚好和点A重合，同样有，
故答案为：；
当时，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
将绕D点逆时针旋转至连接如图，
根据旋转的性质有：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：；
（3）将绕D点逆时针旋转至，连接如图，
根据（2）中的方法，同理可证明：，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵在（1）中已证明，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．
8．（22-23八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，.
(1)试判断的形状，并证明：
(2)当时，点从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒，
①当平分时，求的值：
②当点落在边的垂直平分线上时，求的值；
③在整个运动过程中，直接写出为等腰三角形时的值.
【答案】(1)是直角三角形
(2)①秒；②秒或秒；③秒或11秒或2.5秒或1.4秒
【分析】（1）根据所给数据可得，即可判断的形状；
（2）①根据题意作出图形，再过点作，垂足为，可发现，设，则，，通过是直角三角形建立方程解答即可；②根据题意作出图形，分两种情况：点在中点；点在上．当点在中点时，此时即可解答；当点在上时，连接，设为，则，根据是直角三角形列出方程即可解答；③由题意可知，当点在上，且；当点在上，；当点在上，且过的垂直平分线，；当点在上，；分别求出四种情况的值即可．
【详解】（1）解：，
，
，
则，
，
是直角三角形；
（2）解：当时，，，，
①如图，平分，过点作，垂足为，
在和中，
，
，
，
设，
，，
在中，有，
，
，
此时，，
（秒）；
②如图，垂直平分，
点可能在点处，也可能在点处，
当点在点处时，
，
（秒），
当点在处时，
连接，垂直平分，
，
设为，
则，
在中，有，
，
，
，
（秒），
综上，秒或秒；
③当点在上，时，
此时，
（秒），
当点在上，时，
此时，
（秒），
当点在上，且过的垂直平分线，时，如图，
此时点为的中点，，
（秒），
当点在上，时，
如图，过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
在中，有，
，
或（舍去），
综上，秒或11秒或2.5秒或1.4秒．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义，掌握勾股定理及其逆定理、灵活运用分类讨论思想是解题关键．
9．（22-23八年级上·福建漳州·期中）问题提出如图，等腰直角中，，，点，在边上，且，问是否存在以，，为边的三角形？若存在，判断该三角形的形状，并说明理由，若不存在，请说明理由．
笑笑同学看完题后，经过认真思考，给出了如下解答思路：将沿翻折，得到，连接
(1)问题解决请你按笑笑同学的思路，在图中补全图形，并完成解答；
(2)问题拓展如图，正方形（正方形的四条边相等，四个角为直角）中，点在边上，点在边上，使得平分，问是否存在以，，为边的三角形？若存在，判断该三角形的形状，并说明理由，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）将沿翻折，得到，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，，
再根据折叠的性质可得：，，，，从而可得，，进而利用可得≌，然后利用全等三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答；
（2）过点作，垂足为，连接，根据垂直定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用证明≌，从而可得，，进而可得，最后利用证明≌，从而可得，进而可得，即可解答．
【详解】（1）解：存在以，，为边的三角形，该三角形是直角三角形，
理由：如图，将沿翻折，得到，连接，
，，
，
，
，，
由折叠得：，，，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
存在以，，为边的三角形，该三角形是直角三角形；
（2）解：不存在以，，为边的三角形，
理由：过点作，垂足为，连接，
，
四边形是正方形，
，，
，
平分，
，
，
≌，
，，
，
，
≌，
，
，
，
不存在以，，为边的三角形．
【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
(1)当为几秒时，平分；
(2)问为何值时，为等腰三角形？
(3)另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，再证，得，则，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）如图，在边上时，，当在边上时，有三种情况：①当，此时，运动的路程为，②当，过作斜边的高，③当时，则，证明，从而可得答案；
（3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
，，，
平分，，
．
在与中，
，
，
．
设，则
在中，，
即，解得：，
当秒时，平分；
（2）如图，在边上时，，
∴此时用的时间为，为等腰三角形；
当在边上时，有三种情况：
①当，此时，运动的路程为，
∴用的时间为，故时为等腰三角形；
②当，过作斜边的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴运动的路程为，
的时间为，为等腰三角形；
③当时，则，
，，
，
，
，
的路程为，所以时间为时，为等腰三角形．
或或或时，为等腰三角形
（3）如图，相遇前当点在上，在上，
∴，，
∴，
；
如图，相遇后当点在上，在上，
∴，，
∴，
，
或时，直线把的周长分成相等的两部分．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，角平分线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出方程是解本题的关键．
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