【期中讲练测】苏科版八年级下册数学 专题04平行四边形与菱形（考点清单）.zip

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【考点一】平行四边形的性质与判定
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心.
【解题技巧】
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．
6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
平行四边形的判定定理：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；
2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；
3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．
【考点题型一】利用平行四边形的性质求解
1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形ABCD中，BD=CD，AE⊥BD于点E，若∠C=70°，则∠BAE=（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
2．（22-23八年级下·天津河东·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 ．
3．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD=8，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3B．3.5C．4D．4.5
4．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，CD的中点，连接OE，OF，若OE=2，OF=3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．10B．14C．16D．20
【考点题型二】利用平行四边形的性质证明
5．（22-23八年级下·河南鹤壁·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
【性质应用】如图2，在▱ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，EF过点O且与边AD,BC分别相交于点E,F．
求证：OE=OF．
【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连结AF．若EF⊥AC，△ABF的周长是13，则▱ABCD的周长是________．
6．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知ABCD为平行四边形．
(1)如图1，若AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，求证：BM=CN；
(2)如图2，若AC，BD为两条对角线，求证：AC2+BD2=2AB2+BC2．
7．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE、BF分别与直线CD交于点E、F，请直接写出EF的长．
（1）探究：把“问题”中的条件“AB＝10”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，AB的长为 ．
②当点E与点C重合时，EF的长为 ．
（2）把“问题”中的条件“AB＝10，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求ADAB的值．
【考点题型三】平行四边形性质的其它应用
8．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知▱ABCD，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作▱CEFG，请用一条直线平分▱ABCD与▱CEFG组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出▱ABCD，▱CEFG，▱DGFH，▱ABEH对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（ ）

A．甲对，乙、丙错B．甲、丙对，乙错C．甲、乙对，丙错D．乙、丙对，甲错
9．（20-21八年级下·广东广州·期中）如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得AB=10cm，AD=8cm，固定AB．逆时针转动AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，则（ ）

A．甲说的对B．乙说的对C．甲、乙说的都对D．甲、乙说的都不对
10．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．

11．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD延长线上，连接BE，AE．
(1)在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的周长等于65；
(2)在图乙中画出一个以AB为对角线的平行四边形，且它的面积为12．
【考点题型四】判断给出的条件能否构成平行四边形
12．（23-24八年级下·全国·随堂练习）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．OA=OB，OC=ODB．OA=OC，OB=OD
C．OB=AB，OD=CDD．OA=OB，AC=BD
13．（2024八年级下·江苏·专题练习）不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）
A．AB=CD，AD∥BC B．AB平行且相等CD
C．AB=CD，AD=BC D．AB∥CD，AD∥BC
【考点题型五】添加一个条件成为平行四边形
14．（23-24八年级下·全国·随堂练习）如图，木棒a平行于木棒b，当木棒c 木棒d时，木棒a、b、c、d围城的四边形是平行四边形．

15．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点（不与B,C重合），AD与EF交于点O，连接DE,DF．要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件 （只添加一个条件即可）．
16．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，E，F是□ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．

【考点题型六】求与已知三点组成平行四边形点的个数
17．【多选】（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，以点O0,0，A-2,-1，B0,2为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ）

A．(-2,1)B．(-2,-3)C．(3,3)D．(2,3)
18．（22-23八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（4，3）、（6，﹣2），在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
19．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E,F，且∠EAF=60°．

(1)如图1，当E是线段CB的中点时，直接写出线段CE、CF、CB之间的数量关系（不必写出证明过程）；
(2)如图2，当E是线段CB上任意一点时（点E不与点B，C重合），求证：BE=CF；
(3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，直接写出线段CE、CF、CB之间的数量关系．
(4)如图4，将图1放在平面直角坐标系中，点B与原点重合，若菱形边长为4，在平面内有一点P，使以A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标．
【考点题型七】证明四边形是平行四边形
20．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
(2)若BD=BC=5，CD=6，求平行四边形AEBD的面积．
21．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究.
【知识回顾】
如图，四边形ABCD中，我们用符号语言表示出所有的8个边、角、对角线的数量关系：
我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形.
（1）请选择上面①~⑥中的2个，写出一个除了课本上“平行四边形的定义及3条判定定理”外可以判定四边形为平行四边形的方法： （填序号），并用文字语言表述为
【数学思考】
若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：AB+AD=CD+CB；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：OA+OD=OB+OC.那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？
（2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形.
如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD=CD+CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
（3）请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明.
如图2，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O， （填序号），OA+OD=OB+OC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
22．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度α得到△DEB，点A,C的对应点分别是D,E，连接AD．
(1)如图1，当点E恰好在AB上时，求∠ADE的大小；
(2)如图2，若α=60°，点F是AB的中点，判断四边形CEDF的形状，并证明你的结论．
【考点题型八】利用平行线的性质与判定求解
23．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，点D为BC的延长线上的一点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接DE，过点E作EF∥BC交直线AB于点F．
(1)猜想线段AC,DC,CE之间的数量关系，并说明理由；
(2)求出EF的长度．
24．（22-23八年级下·浙江·期中）在平行四边形ABCD中，AB=a，BC=b，∠BAD＝120°．
(1)若a=b=2，则BD=______；
(2)如图1，求对角线BD的长（用含a，b的式子表示）；
(3)如图2，四边形BCEF也是平行四边形，连结AF并延长交BE于点G，若AG⊥BE，AB=3，BC=2，AF=1，求BE的长．
25．（2023·河南新乡·二模）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转与翻折”为主题开展数学活动．
活动一：图形的旋转：
（1）当点D在线段AC上时，如图1，小明为探究AF与EF的关系，给出了如图的思路：根据思路，可知：AF与EF的数量关系是：______ ；
（2）当点D在线段AC上时，如图2，（1）的结论是否成立？请说明理由；
活动二：图形的翻折：
（3）如图3，当AC=6，CD=CF=2时，M为直线AB上一动点，连接FM，作△EFB关于直线FM的对称图形得到△E'FB'，当线段CE'最小时，直接写出△DB'E'的面积．
【考点题型九】利用平行线的性质与判定证明
26．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE=CF．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接BD交AC于点O，若BD=14，AE+CF=EF，求EG的长．
27．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上（不与点B，C重合），且BD>CD，过点D作DP⊥BC，分别交BA的延长线和AC于点P和点Q．
(1)求证：AP=AQ．
(2)若点Q是线段DP的中点，探索AQ与QC的数量关系．
(3)若△ABC的形状和大小都确定，说说DP+DQ的值是否为定值，如果是定值，直接写出这个定值的几何意义；如果不是定值，说明理由．
28．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，点H是FG的中点，连接DH，AF．
(1)若∠BAE=65°，∠DCE=25°，求∠DEC的度数；
(2)求证：四边形AFHD为平行四边形；
(3)连接EH，交BC于点O，若OB=OE，FG=8，直接写出OH的长度．
【考点题型十】平行线的性质与判定的应用
29．（22-23八年级下·湖南岳阳·期中）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等
30．（20-21八年级下·山东潍坊·期末）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．（BM垂直于a）B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b）D．（AM平行BN）
31．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是 ．

32．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．
【考点题型十一】与三角形中位线有关的求解问题
33．（23-24九年级上·山东淄博·期末）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【探究】下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
【应用】如图1，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
【拓展】如图2，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知S△ABC=24，BC=8，请求出点G到直线BC的距离．

34．（22-23八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC=7，AB=3，求DE的长．
35．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=x+3分别交x轴，y轴于点A，B．
(1)求∠ABO的度数；
(2)点C是线段AB上一点，连接OC，以OC为直角边作等腰直角△OCD，点D在第三象限，其中OC=OD，连接AD．设点C的横坐标为t，△ACD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，连接BE，点F是BE的中点，连接CF并延长交x轴于点G，过点D作DH∥CF交x轴于点H，若∠AEB-∠ADH=45°，CG=3DH，求点D的坐标．
（说明：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．）
36．（21-22八年级下·辽宁锦州·期末）在Rt△ABC与Rt△BDE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BD=BE．

(1)如图1，若点D，B，C在同一直线上，连接AD，CE，则AD与CE的关系为________．
(2)如果将图1中的△BDE绕点B在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断AD与CE的关系，并说明理由
(3)如图3，若AB=6，BD=2，连接AE，分别取DE，AE，AC的中点M，P，N，连接MP，NP，MN，将△BDE绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中△MPN的面积最大值和最小值．
【考点题型十二】与三角形中位线有关的证明
37．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边BA，BC的中点，连接DE．点F为CA延长线上一点，且FA=12AC，连接FD，FE，AE．
(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；
(2)若∠DEB=∠DEF，求证：EF=EC；
(3)在（2）的条件下，若DE=2，∠C=45°，求BC的长．
38．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）
(1)方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
(2)探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
39．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系上，已知三点Aa,0、B0,b，连接AB，过点A作AC⊥AB，垂足为点A，且AC=AB，AC交y轴于点D，若a、b满足a-22+b+4=0，请完成以下问题：
图1 图2
(1)填空：a=______，b=______；
(2)求证：CD=AD；
(3)如图2，在原有条件下，BC交x轴于点E，连接DE．
①探究∠CED和∠OEB的数量关系；
②求AE+DEBD的值．
【考点二】菱形的性质与判定
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.
菱形的判定：
1）A
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2）一组邻边相等的平行四边形是菱形.
3）四条边相等的四边形是菱形.
【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．
菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）.
菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）.
【易错易混】
1. 对于菱形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.一组邻边相等.
2. 定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形,不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形.
3. 菱形的面积S=对角线乘积的一半，适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算.
4. 在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条体灵活选择面积公式来解决问题，
5. 在利用对角线长求菱形的面积时,要特别注意不要漏掉计算公式中的12 .
【考点题型十三】利用菱形的性质求解（角度、线段长、周长、面积）
40．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在菱形ABCD中，∠C=140°，以点B为圆心，以AB长为半径画弧，交对角线BD于点E，再分别以点A、E为圆心，以大于12AE的长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AD于点P，则∠APB的大小为（ ）
A．15°B．20°C．30°D．40°
41．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC=8，BD=6，则PE+PF的值为（ ）

A．65B．125C．245D．485
42．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
43．（22-23八年级下·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，菱形ABCD的两对角线AC，BD相交于点O，若AC=4，BD=6，则菱形的边长为 ，周长为 面积为
44．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若AC=10，BD=4，则图中阴影部分的面积等于 ．
【考点题型十四】利用菱形证明
45．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期末）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E是对角线AC上一点，点F在BA的延长线上，将EF绕点E逆时针旋转120°得到EM．
(1)如图1，若点M恰好落在边BC上，且S菱形ABCD=183，BM=2，CE=3，求EM的长度；
(2)如图2，若点M恰好落在边BC上，且∠MEC=75°，求证：AF+CM=2ME；
(3)如图3，若S菱形ABCD=183，AF=CE，连接CM，BE，将△CEM沿AC翻折，点M的对应点为点M'，连接AM'，当CM取最小值时，直接写出点D到AM'的距离．
46．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为BC边上一个动点，以AE为边作∠EAF=60°，交边CD于F，连接AF．

(1)求证：△AEF为等边三角形；
(2)如图2，连接BD交AE，AF于M，N．
①若∠DAF=15°，求证：以BM，MN，ND为边所构成的三角形为直角三角形；
②若BM=6，ND=8，试直接写出MN的长_______．
47．（22-23八年级下·重庆北碚·阶段练习）在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，点F在射线CD上，∠EAF=60°．

(1)当点E在线段BC上时（如图1），求证：EC=DF；
(2)当点E在线段BC的延长线上时（如图2），线段AB与EC，CF之间的数量关系又如何，写出你的结论，并加以证明；求证：CF=AB+EC；
(3)连接DE，当∠ADE为直角，且AB=4时（如图3），求AF的长．
【考点题型十五】添加一个条件使四边形是菱形
48．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA．添加一个条件，使四边形AMCN是菱形，这个条件可以是（ ）
A．OM=12ACB．MB＝MO
C．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
49．（22-23八年级下·山东烟台·期中）已知如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A'B'C'，若使四边形AB'C'D是菱形，需添加一个条件，甲方案：AB'=DC'；乙方案：B'D⊥AC'；方案丙：∠A'C'B'=∠A'C'D；其中正确的方案是（ ）

A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲
【考点题型十六】判断给出的条件能否构成菱形
50．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是（ ）
A．AB=ADB．∠ABD=∠ADB
C．∠AOB=90°D．AB=CD
51．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）

A．BC=CDB．AB=ACC．AC⊥BDD．∠ABO=∠CBD
【考点题型十七】菱形的证明
52．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC的延长线上，CE=BC，连接AE，交CD边于点F，且CF=DF．

(1)求证：AD=BC；
(2)连接BD、DE，若BD⊥DE，求证：四边形ABCD为菱形．
53．（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）在▱ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，连接EG、GF、FH、HE．
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是______；
(3)如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是________；
(4)如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试四边形EGFH的形状是，并说明理由．
54．（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53．∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为： ．
【考点题型十八】利用菱形的性质与判定求角度
55．（22-23八年级下·广西贵港·期末）【问题情境】在如下的三个图中，四边形ABCD都是平行四边形，∠BAD的平分线与直线BC交于点E，与直线CD交于点F．
【思考发现】（1）在图1中，线段CE，CF的数量关系是______；
【探究论证】（2）如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接BD，BG，DG．求证：△BDG是等腰直角三角形；
【拓展应用】（3）如图3，若∠ABC=120°，FH∥BC交AB的延长线于点H，点K在FH上且FK=FC，连接BD，KD，求∠BDK的度数．

56．（22-23八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，线段CD是AB边上的中线．
①请通过测量，试猜想CD与AB的数量关系是__________；
②证明你的猜想；
（2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠ABC=120°，过点C作直线l∥BD，点P在线段AO上且不与点O重合，以DP为边作矩形DPEF，使得点F在直线l上（点F不与点C重合），连接CE，试求∠ECF的度数．
57．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交线段BC于点E，交线段DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作▱ECFG．

(1)如图1，证明：CE=CF．
(2)如图2，若∠ABC=90，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
(3)如图3，若∠ABC=120，请直接写出∠BDG的度数．
【考点题型十九】利用菱形的性质与判定求线段长
58．（22-23八年级下·河南信阳·阶段练习）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P，Q的速度都是1cm/s.
(1)连接PQ，当运动时间为2秒时，求线段PQ的长．
(2)连接PQ、AC，在运动过程中，当运动时间为多少秒时, PQ⊥AC.
59．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的点（不与点A，C重合），且EF=12AC．
(1)如图1，若AB=4，
①四边形BFDE的面积为______．
②若四边形BFDE为菱形，求BE长；

(2)如图2，过点F作AC的垂线交BC，CD于点M，N，连接EN，猜想BE与EN的数量关系与位置关系，并证明．

60．（22-23八年级下·四川乐山·期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

(1)AE的长为______，CD的长为______（用含t的代数式表示）；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【考点题型二十】利用菱形的性质与判定求面积
61．（23-24八年级上·吉林长春·期中）猜想：如图①，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．若▱ABCD的面积是20，则四边形CDEF的面积是______．
探究：如图②，在▱ABCD中，AB=BC，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．若AC=4,BD=8，求四边形ABFE的面积．
应用：如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D，使DC=BC，连结AD．若AB=4,AD=213，则△ABD的面积是______．
62．（22-23八年级下·吉林·期末）如图是某数学教材中的部分内容．
(1)请根据教材中的分析和图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程；
(2)如图②，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F，连接AF，CE．求证：四边形AFCE是平行四边形；
(3)如图②，若EF⊥AC，△ABC的周长是23，△ABF的周长是15，且AB比AF的长多1，AF比BF的长多1，则四边形AFCE的面积是________．
63．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．

初步思考
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图1）．
①当点P与点A重合时，∠DEF=_________°，当点E与点A重合时，∠DEF=_________°，
②当点F与C重合时，AP=_________；
深入探究
（2）当点E在AB上，点F在DC上，EF、DP交于点O时（如图2），
①求证：四边形DEPF为菱形；
②若AP=6，则EP=_________
③若△DOE的面积为S，则S的取值范围为_________；
拓展延伸
（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线FP与射线BA交于点M（如图3）．当AM=DE时，AE=_________．平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图1，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA=OC,OB=OD．
①AB=CD；
②AD=BC；
③AB∥CD；
④AD∥BC；
⑤∠BAD=∠BCD；
⑥∠ABC=∠ADC；
⑦OA=OC；
⑧OB=OD．
情境导入：在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为直线AC上一点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°至BE，连接AE交直线BC于点F．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．求证：DE∥BC，且DE=12BC．

方法一：
证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．

方法二：
证明：取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF=GE，连接AF．

平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图 ▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA=OC；OB=OD．

观察图形，OA与OC、OB与OD分别属于哪两个三角形？