【期中讲练测】人教版八年级下册数学 期中模拟01（二次根式、勾股定理、平行四边形）.zip

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一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，属于最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：、属于最简二次根式，故本选项符合题意；
、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．若二次根式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】二次根式的被开方数是非负数，即．
【解答】解：依题意得：，
解得．
故选：．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．当时，化简的结果是
A．B．C．D．
【分析】根据条件，先判断和的符号，再根据二次根式的性质开方，然后合并同类项．
【解答】解：，
，
，
原式
．
故选：．
【点评】此题考查了二次根式的化简，涉及绝对值、合并同类项等概念，要特别关注二次根式的性质：
4．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为
A．4米B．7米C．8米D．9米
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是米．
故选：．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．
5．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为
A．1B．2C．1.5D．2.5
【分析】先根据三角形中位线定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可得到答案．
【解答】解：是的中位线，，
，是的中点，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6．已知的三边分别为、、，下列条件中，不能判定为直角三角形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形内角和定理可分析出、的正误；根据勾股定理逆定理可分析出、的正误．
【解答】解：、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
、，
能构成直角三角形，故此选项不合题意；
、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意；
、，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
7．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是
A．，B．，C．，D．，
【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
【解答】解：、，，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
、，，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形是平行四边形，故选项符合题意；
、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
8．下列命题的逆命题中，真命题有
①全等三角形的对应角相等；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③关于某一条直线对称的两个三角形全等；
④等腰三角形的两个底角相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：①全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意；
③关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题为全等的两个三角形关于某条直线对称，错误，是假命题，不符合题意；
④等腰三角形的两个底角相等的逆命题为两角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意．
真命题有2个，
故选：．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出原命题的逆命题，难度不大．
9．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，点为线段的中点，连接，若，，，则的长为
A．B．C．5D．
【分析】由平行四边形的性质得，再证是的中位线，得，然后由平行线的性质得，则，进而由勾股定理求解即可．
【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
又点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
10．矩形中，，，连结，，分别在边，上，连结，分别交于点，，若，，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；结论正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形内角和定理得与两个三角形所有内角相加为，结合矩形性质：每个内角都为 即可判断①；利用勾股定理求出，利用矩形的性质证明，利用相似三 角形相似比即可求出，从而判断②；利用矩形 的性质及已知条件，证明，得到，进而说明，，得，再证明，即可求得，进而求得，再证明，即可求出，从而判断③④⑤．
【解答】解：，
，
，
，
，
，，
，，
故①正确；
，，
在中，
，
，
，
，
，，
．
，故②正确；
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故③错误；
，故④错误；
，故⑤错误；
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，则 11 ．
【分析】根据分母有理化得，再利用完全平方公式得，代入计算即可．
【解答】解：，
．
故答案为：11．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是关键．
12．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为 10 ．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母所代表的正方形的面积．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，一直角边的平方，
则斜边的平方，
边长为10
故答案为：10．
【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．正确解题相关知识点是解题关键．
13．在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ．
【分析】利用折叠的性质即，可得，所以，再解直角三角形即可．
【解答】解：如图所示：
沿直线翻折后得，
，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
【点评】本题考查折叠问题，折叠是对称变换，根据对称变换的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题的关键．
14．已知实数、、满足等式，则 5 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出的值，再根据非负数的性质列出方程组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得，且，
解得且，
所以，
所以，等式可化为，
由非负数的性质得，，
解得，
故的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，二元一次方程组的解法，难点在于求出并整理等式．
15．如图：，，，，的面积为6，则四边形的面积为 20 ．
【分析】作，，根据的面积为6，求出，根据两平行线间的距离相等得到的长，根据平行四边形的面积公式得到答案．
【解答】解：作于，于，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，又，
，又的面积为6，
，
四边形的面积，
故答案为：20．
【点评】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键．
16．如图，中，，，点，分别在边，上，且，连接，点是的中点，点是的中点，线段的长为 ．
【分析】如图，作，连接，延长交于，连接，作于．首先证明，，解直角三角形求出，利用三角形中位线定理即可解决问题．
【解答】解：如图，作，连接，延长交于，连接，作于．
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共8小题，8+8+8+8+8+10+10+12，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算除法和完全平方公式，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【分析】（1）根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理的逆定理得出；求出和的面积，相加即可得出答案．
【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
即；
四边形的面积，
，
，
．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键．
19．如图，的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据三角形中位线定理求出，根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：、分别是、的中点，
，
，
，
的周长．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
20．如图，在正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．
（1）如图1，在网格中画出格点，则 ；
（2）请用无刻度的直尺画出图1中中边上高（结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且 ；
（3）如图2，点为与网格线的交点，请在网格中画出，并用无刻度的直尺画出过点且平分的面积的直线（结果用实线表示，其它辅助线用虚线表示）．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
（2）利用面积法求解即可．
（3）利用平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）．
故答案为：．
（2），
，
故答案为：．
（3）如图，直线即为所求作．
【点评】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；
，；
（1）请用含有为正整数）的等式表示上述变化规律： ， ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；
（2）利用（1）的规律代入求出即可；
（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．
【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：，，，所以．故：答案为 与
（2）当时，有：，解之得：
即：说明它是第32个三角形．
（3）
即：的值为11.25．
【点评】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．
22．综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将正方形纸片依次沿对角线、对折，把纸片展平，折痕的交点为；
操作二：在上取一点，在上取一点，沿折叠，使点落在点处，然后延长交于点，连接．
如图1是经过以上两次操作后得到的图形，则线段和的数量关系是 ．
（2）迁移思考
图2是把矩形纸片按照（1）中的操作一和操作二得到的图形．请判断，，三条线段之间有什么数量关系？并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
图2中，若点是边的三等分点，直接写出的值．
【分析】（1）线段和的数量关系是：．先证和全等得，再由折叠的性质得，据此得为的垂直平分线，进而可得出结论；
（2），，三条线段之间的数量关系是：先证和全等得，，由折叠的性质得，据此得为的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理可得出结论；
（3）的值为或．①当时，设，，则，由（2）可知：，再过点作于点，则，然后可用，表示出的面积和四边形的面积，进而可得出结论；②当时，设，，同理可用，表示出的面积和四边形的面积，进而可得出结论．
【解答】解：（1）线段和的数量关系是：．
理由如下：
四边形为正方形，点为对角线，的交点，
，，，
在和中，
，
，
，
由折叠的性质得：，
即：，
为的垂直平分线，
．
（2），，三条线段之间的数量关系是：．
证明如下：
四边形为矩形，点为对角线，的交点，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
由折叠的性质得：，
即：，
为的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即：．
（3）的值为或．
理由如下：
点为边的三等分点，
有以下两种情况，
①当时，
设，，
，
，
由（2）可知：，
过点作于点，
则为的中位线，
，
，，
．
②当时，
设，，
，
，
过点作于点，
同理得：，
，，
．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的翻折变换及性质．
23．如图，在中，，过上一点作交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）延长图①中的到点，使，连接，，，得到图②，若，判断四边形 的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据题意得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形为平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
24．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标
【分析】（1）证，再由证即可；
（2）证，得，，即可解决问题；
（3）过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点，证，得，，则，，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
即的长为；
（3）解：如图3，过点作直线轴，交轴于点，过作于点，过作于点，交轴于点，
则，
，，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
点坐标为．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．