2023-2024学年高一数学下学期期中押题试卷01（新高考专用）

这是一份2023-2024学年高一数学下学期期中押题试卷01（新高考专用），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量+解三角形+复数
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则的虚部为
A．2B．C．5D．
2．已知，则的值为
A．1B．C．2D．5
3．函数的最小正周期和振幅分别是
A．，1B．，2C．，1D．，2
4．已知，均为锐角，且，则的最大值是
A．4B．2C．D．
5．已知，，则
A．B．C．D．
6．下列说法中，正确的是
①若，则或；
②向量与是共线向量，则、、、四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
A．①④B．③C．①②③D．②③
7．已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
8．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知向量，，则
A．
B．向量，的夹角为
C．
D．在方向上的投影向量是
10．的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是
A．若，则外接圆的半径等于1
B．若，则此三角形为直角三角形
C．若，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
11．如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则
A．B．面积的最小值是
C．D．存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． ．
13．已知向量在向量方向上的投影为，且，则 （结果用数值表示）．
14．如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数，，为虚数单位．
（1）若，求的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16．已知向量．
（1）已知且，求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
17．已知向量，，若函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到的图象，求的所有的对称轴的取值集合．
18．为边上一点，满足，，记，．
（1）当时，且，求的值；
（2）若，求面积的最大值．
19．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点，，，在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求点，之间的距离．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则的虚部为
A．2B．C．5D．
【分析】把复数化为即可．
【解答】解：因为，
所以的虚部为．
故选：．
【点评】本题考查了复数的基本运算问题，是基础题．
2．已知，则的值为
A．1B．C．2D．5
【分析】由已知结合同角基本关系进行化简即可．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
3．函数的最小正周期和振幅分别是
A．，1B．，2C．，1D．，2
【分析】利用两角和的正弦公式可求得，进而利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：，
可得的最小正周期，的振幅是1．
故选：．
【点评】本题考查了两角和的正弦公式，正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
4．已知，均为锐角，且，则的最大值是
A．4B．2C．D．
【分析】将变形，配角，利用两角差的正弦公式展开化简计算，可得关于的一元二次方程，根据△列不等式求解的取值范围，即可得最大值．
【解答】解：，
，
，，
，，
，又因为为锐角，所以该方程有解，
△，解得，又为锐角，．
所以的最大值是．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查两角和差公式，属于基础题．
5．已知，，则
A．B．C．D．
【分析】由题意结合二倍角公式化简后，解方程可得，由同角三角函数与角所在象限计算即可得．
【解答】解：因为，
即，
即，
故或，
由，
故需舍去，即，
又，
故，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
6．下列说法中，正确的是
①若，则或；
②向量与是共线向量，则、、、四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
A．①④B．③C．①②③D．②③
【分析】根据向量的基本概念和定义，即可判断选项．
【解答】解：对于①，由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系，故①错误；
对于②，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求两个向量，必须在同一直线上，因此点、、、不一定在同一条直线上，故②错误；
对于③，向量和是长度相等，方向相反的两个向量，是平行向量，故③正确；
对于④，单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同，故④错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的基本概念和定义，属于基础题．
7．已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
【分析】直接利用向量共线的充要条件求出结果．
【解答】解：由于，，
所以，
所以，
故、、三点共线．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
8．已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取的中点，根据题意，可得为的重心，则在上，又，可得，所以，，，四点共线，根据三角形的性质，设，即可求得答案.
【详解】取的中点，连接，则，
由，知为的重心，则在上，
所以，而，
所以，，，四点共线，所以，即，
不妨令，则，，则，
所以．

故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知向量，，则
A．
B．向量，的夹角为
C．
D．在方向上的投影向量是
【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，模公式，投影向量的公式，即可依次求解．
【解答】解：对于，，，
，
，
，故错误；
对于，，
则向量的夹角为，故正确；
对于，，
，故错误；
对于，在方向上的投影向量为，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角公式，模公式，投影向量的公式，属于基础题．
10．的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是
A．若，则外接圆的半径等于1
B．若，则此三角形为直角三角形
C．若，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【分析】根据正弦定理，即可判断、；根据二倍角公式、余弦定理，即可判断；根据在上单调递增，即可判断．
【解答】解：对于：在中，，由正弦定理得，即，故外接圆的半径等于1，故正确；
对于，，
，
在中，由余弦定理得，
，即，
是直角三角形，且，故正确；
对于：若，在中，由正弦定理得，即，解得，
只有一解，即解此三角形必有一解，故错误；
对于是锐角三角形，，即，
又在上单调递增，则，
同理可得，
，故正确．
故选：．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2．点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则
A．B．面积的最小值是
C．D．存在最小值
【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出，，坐标，根据及即可找到三个点的坐标关系，分别写出即可判断；取中点为，连接，根据，可得，，三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断，求出，再根据基本不等式可判断；写出 进行化简，根据的范围即可得的最值情况．
【解答】解：设中点为，连接，以为原点，，方向分别为，轴建立如图所示直角坐标系：
所以，，
设，，，，，，，且，，
所以，
因为，所以，
即，故，即，所以，
，
因为，所以，
因为，
故，选项错误；
因为，所以，
即，所以，，三点共线，且为靠近的三等分点，
所以
，
当且仅当，即时取等，所以选项正确；
因为，
所以
，
当且仅当，即时取等，故，选项正确：
因为，
所以
．
因为且，
所以，
记，，
可知单调递增，没有最值，即没有最值，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查诱导公式及两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
13．已知向量在向量方向上的投影为，且，则 （结果用数值表示）．
【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解．
【解答】解：向量在向量方向上的投影向量为，
故，故．
故答案为：．
【点评】本题考查投影向量的定义、数量积的定义，属于基础题．
14．如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为 ．
【分析】建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积运算得出，，根据二次函数性质即可求的最小值．
【解答】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，
则，，，
设点坐标为，则，，，
，
当时，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数，，为虚数单位．
（1）若，求的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：（1），，
，
．
（2）在复平面上对应的点在第四象限，
，解得，
故实数的取值范围为．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
16．已知向量．
（1）已知且，求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
【分析】（1）设，得到方程，解出即可；
（2）由题意得，利用向量数量积运算律及定义得，解出即可．
【解答】解：（1）已知向量，
又，
设，
又，
则，
解得，
所以或；
（2）由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以向量与向量的夹角为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属基础题．
17．已知向量，，若函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到的图象，求的所有的对称轴的取值集合．
【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算求出，然后求其周期即可；
（2）由三角函数图象的变换求出，再求其对称轴即可．
【解答】解：（1）由题意向量，，
则函数，
即函数的最小正周期为；
（2）将的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到的图象，
则，
令，
则，，
即的所有的对称轴的取值集合为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了三角函数图象的变换及性质，属中档题．
18．为边上一点，满足，，记，．
（1）当时，且，求的值；
（2）若，求面积的最大值．
【分析】（1）设长为，可知，再利用正切的二倍角公式可求解；
（2）利用正弦定理得，再利用三角形面积公式结合两角差的正弦公式及辅助角公式可得，利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设长为，当时，，，
则，
因为，所以，
即，
所以，得，所以，
所以为．
（2）在中，，
则，
由正弦定理得，
又，
所以，
则的面积，
又，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，有最大值，
又的面积等于，
故的面积的最大值为．
【点评】本题考查了二倍角的正切公式，正余弦定理的应用以及三角形面积的最值问题，属于中档题．
19．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在，处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点，，，在同一平面内）
（Ⅰ）求的面积；
（Ⅱ）求点，之间的距离．
【分析】（Ⅰ）由三角形内角关系求出，利用正弦定理可得，计算，利用三角形面积公式计算可得结果；
（Ⅱ）中由余弦定理可得结果．
【解答】解：在中，，，所以，
由正弦定理：，得，
所以，
，
所以的面积为．
（Ⅱ）由，，得．
在中由余弦定理，得
，
所以．
即点，之间的距离为．
【点评】本题考查了正余弦定理和三角形面积的计算问题，属于中档题．