2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题14 三角形的相关性质与判定（二）（原卷版+解析版）

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【解题策略】
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
方法总结
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b26. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1800−∠A2
7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.
8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．
【典例分析】
例1．（2023·山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为
例2．（2024·江西模拟）已知点A在反比例函数y=12x(x>0)的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 ．
【变式演练】
1.（2023·上海）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于点D，DE // BC交AC于点E，BC=3cm，AB=2cm，那么△ADE的周长为__________cm．
2.（2023·北京）如图，OA是⊙O的半径，BC 是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE 是⊙O的切线，AE 交OC 的延长线于点E.若∠AOC=45∘，BC=2，则线段AE 的长为 ．
题型02 等边三角形的性质与判定
【解题策略】
等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等.
2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.
2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
方法总结
1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形=34边长2
【典例分析】
例1．（2023·湖北模拟）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为( )
A. 4 3m2B. 12 3m2C. 24m2D. 24 3m2
例2．（2023·黑龙江模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠DAC=60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE=∠EFC；②ED=EC；③∠ADF=∠ECF；④点E运动的路程是2 3，其中正确结论的序号为( )
A. ①④B. ①②③C. ②③④D. ①②③④
【变式演练】
1.（2023·广东模拟）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA=3，则劣弧BD的长是( )
A. π2B. πC. 3π2D. 2π
2.（2023·四川模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=2，△DEF的周长为3 6，则AD的长为
( )
A. 6B. 2 3C. 3+1D. 2 3−1
题型03 直角三角形的性质与判定
【解题策略】
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
面积公式：S=12ab=12cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
【典例分析】
例1．（2022·浙江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
2．（2022·甘肃）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC=60°，BD=43，则OE=（ ）
A．4B．23C．2D．3
【变式演练】
1.（2023·广东模拟）下列各组线段a、b、c中不能组成直角三角形的是( )
A. a=7，b=24，c=25B. a=40，b=50，c=60
C. a=54，b=1，c=34D. a= 41，b=4，c=5
2.（2023·辽宁模拟）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，若∠EAD=48°，则∠BCE的度数为( )
A. 48°B. 45°C. 42°D. 132°
3.（2023·江苏模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′，若∠B=80°，则∠CC′B′的大小是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
题型04 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题
【解题策略】
1）因为正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1,然后应用勾股定理来进行计算.
2）网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形(或正方形)的面积减去直角三角形面积.
【典例分析】
例1．（2024·陕西模拟）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A．102B．10C．3102D．310
例2．（2023·北京模拟）图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么∠ECD+∠EDC= °．
【变式演练】
1．（2023·吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．

题型05 赵爽弦图
【解题策略】
赵爽弦图的几何意义：
1）证明勾股定理：c2=a2+b2
2) IJ=b-a
3）S正方形EFGH= c2 = a2+b2 , S正方形IJKL=(b-a) 2
4）S阴影= S正方形EFGH- S正方形IJKL=2ab
【典例分析】
例1．（2024·湖北模拟）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1=S2，则nm的值为 ．
【变式演练】
1．（2023·山东模拟）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是

题型06 利用勾股定理解决实际问题
【解题策略】
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1)将实际问题转化为数学问题；
2)明确已知条件及结论；
3)利用勾股定理解答，并确定实际问题的答案.
【典例分析】
例1．（2023·四川）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）

2．（2023·山东）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
【变式演练】
1．（2023·陕西模拟）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．
2．（2023·北京模拟）一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，求此木板的面积 ．
题型07 与三角形有关的折叠问题
【解题策略】
利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：
1）运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
2）在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；
3）利用勾股定理列方程求出x；
4）进行相关计算解决问题.
【典例分析】
1．（2024·四川模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A．198B．2C．254D．74
2．（2024·重庆模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（ ）．
A．5B．3C．32D．34
【变式演练】
1．（2024·广东模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ．
2．（2023·安徽模拟）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在边AB上，以CD为折痕将△CBD折叠得到△CDF，CF与边AB交于点E，当DF⊥AB时，BD的长是 ．

1.（2023·天津）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG的值等于 ．
2.（2023·广东）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB=∠BOC=30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB= 3，反比例函数y=kx(k≠0)恰好经过点C，则k= ______．
3.（2023·青海）一次函数y=2x−4的图象与x轴交于点A，且经过点B(m,4)．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y=2x−4的图象；
(3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
4.（2023·浙江）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，则AC的长为( )
A. 12
B. 1
C. 32
D. 3
5．（2023·山东·中考真题）△ABC的三边长a，b，c满足(a−b)2+2a−b−3+|c−32|=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
6．（2023·河北）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4．已知∠C=n°，则∠C'=（ ）
A．30°B．n°C．n°或180°−n°D．30°或150°
7．（2022·内蒙古）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB,CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
8．（2022·四川）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A．35B．255C．25D．55
9．（2022·辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B'恰好落在AB上，连接CB'，若CB'=BB'，则AD的长为 ．
10．（2023·湖北）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2= ．

11．（2023·湖北）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、O、Q，若BE:EQ=3:2，则OPOE的值是 ．

12．（2023·内蒙古）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A．30 cmB．303 cmC．60 cmD．20π cm