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山东省泰安市2024届高三下学期3月一轮检测试卷 数学
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这是一份山东省泰安市2024届高三下学期3月一轮检测试卷 数学，共14页。试卷主要包含了03，已知复数，则下列说法正确的是，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学试题
2024.03
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线，则的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆
4.若，则（ ）
A. B. C.2 D.
5.在同一直角坐标系中，函数，且的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知非零向量满足，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则在复平面内对应的点在第二象限
C.若，则
D.若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为
10.下列说法中正确的是（ ）
A.一组数据的第60百分位数为14
B.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则从的中生中抽取的人数为70
C.若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D.随机变量服从二项分布，若方差，则
11.已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.有最大值
C. D.函数是奇函数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知二项式的展开式中的系数为15，则___________.
13.在中，内角的对边分别为，已知，则___________.
14.如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为___________，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成夹角的大小.
16.（15分）
某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记-1分，得分在5分以上（含5分）则获奖.
（1）求在1次游戏中，获奖的概率；
（2）求在1次游戏中，得分的分布列及均值.
17.（15分）
已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率.
18.（17分）
已知函数.
（1）若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明：；
（2）若对任意的且，函数，证明：函数在上存在唯一零点.
19.（17分）
已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）.
（1）求数列的前项和；
（2）定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”.
证明：①对任意且，存在“-数列”，使得成立；
②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立.
高三一轮检测
数学试题参考答案及评分标准
2024.03
一､选择题：
二､多选题：
三､填空题：
12.6 13. 14.；
四､解答题：
15.（13分）
解：取中点，连接
因为底面为菱形，，
所以
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
（1）
（2）设平面的法向量为
又
所以即
取，则
为平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则
平面与平面的夹角为
16.（15分）
解：设“在1次游戏中摸出个红球”为事件
（1）设“在1次游戏中获奖”为事件，则，且互斥
（2）由题意可知，所有可能取值为
的分布列为
17.（15分）
解：（1）圆过
又圆过
又
椭圆的方程为
（2）（法一）解：设，则
由题知且
则
由解得
又
又
直线的斜率或
（法二）解：如图，连接
关于原点对称
三点共线且为中点
又
为的重心
为边中点
设，则
又
直线的斜率或
18.（17分）
解：（1）
设，则
设，则
单调递增
又
存在使得即
当时，单调递减
当时，单调递增
（2）
在上单调递增
又
设，则
令，解得
当时，单调递减；当时，单调递增
当时，，即
，
又
存在，使得
又在上单调递增
函数在上存在唯一零点
19.（17分）
解：（1）
各项均不为0且递增
化简得
为等差数列
（2）证明：设“G-数列”公比为，且，
①由题意，只需证存在对且成立
即成立
设，则
令，解得，
当时，单调递增，当时，单调递减
存在，使得对任意且成立
经检验，对任意且均成立
对任意且，存在“G-数列”使得成立
②由①知，若成立，则成立
当时，取得，取得
由得
不存在
当且时，不存在“G-数列”使得对任意正整数成立.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
D
C
B
C
B
D
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
ACD
2
5
8
数学试题
2024.03
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线，则的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）
A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆
4.若，则（ ）
A. B. C.2 D.
5.在同一直角坐标系中，函数，且的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知非零向量满足，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若的最小值为，且，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则在复平面内对应的点在第二象限
C.若，则
D.若，复数在复平面内对应的点为，则直线（为原点）斜率的取值范围为
10.下列说法中正确的是（ ）
A.一组数据的第60百分位数为14
B.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则从的中生中抽取的人数为70
C.若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D.随机变量服从二项分布，若方差，则
11.已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.有最大值
C. D.函数是奇函数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知二项式的展开式中的系数为15，则___________.
13.在中，内角的对边分别为，已知，则___________.
14.如图，在水平放置的底面直径与高相等的圆柱内，放入三个半径相等的实心小球（小球材质密度），向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球，若圆柱底面半径为，则球的体积为___________，圆柱的侧面积与球的表面积的比值为___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成夹角的大小.
16.（15分）
某学校为了缓解学生紧张的复习生活，决定举行一次游戏活动，游戏规则为：甲箱子里装有3个红球和2个黑球，乙箱子里装有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，且每次游戏结束后将球放回原箱，摸出一个红球记2分，摸出一个黑球记-1分，得分在5分以上（含5分）则获奖.
（1）求在1次游戏中，获奖的概率；
（2）求在1次游戏中，得分的分布列及均值.
17.（15分）
已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率.
18.（17分）
已知函数.
（1）若，曲线在点处的切线与直线垂直，证明：；
（2）若对任意的且，函数，证明：函数在上存在唯一零点.
19.（17分）
已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）.
（1）求数列的前项和；
（2）定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”.
证明：①对任意且，存在“-数列”，使得成立；
②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立.
高三一轮检测
数学试题参考答案及评分标准
2024.03
一､选择题：
二､多选题：
三､填空题：
12.6 13. 14.；
四､解答题：
15.（13分）
解：取中点，连接
因为底面为菱形，，
所以
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
（1）
（2）设平面的法向量为
又
所以即
取，则
为平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则
平面与平面的夹角为
16.（15分）
解：设“在1次游戏中摸出个红球”为事件
（1）设“在1次游戏中获奖”为事件，则，且互斥
（2）由题意可知，所有可能取值为
的分布列为
17.（15分）
解：（1）圆过
又圆过
又
椭圆的方程为
（2）（法一）解：设，则
由题知且
则
由解得
又
又
直线的斜率或
（法二）解：如图，连接
关于原点对称
三点共线且为中点
又
为的重心
为边中点
设，则
又
直线的斜率或
18.（17分）
解：（1）
设，则
设，则
单调递增
又
存在使得即
当时，单调递减
当时，单调递增
（2）
在上单调递增
又
设，则
令，解得
当时，单调递减；当时，单调递增
当时，，即
，
又
存在，使得
又在上单调递增
函数在上存在唯一零点
19.（17分）
解：（1）
各项均不为0且递增
化简得
为等差数列
（2）证明：设“G-数列”公比为，且，
①由题意，只需证存在对且成立
即成立
设，则
令，解得，
当时，单调递增，当时，单调递减
存在，使得对任意且成立
经检验，对任意且均成立
对任意且，存在“G-数列”使得成立
②由①知，若成立，则成立
当时，取得，取得
由得
不存在
当且时，不存在“G-数列”使得对任意正整数成立.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
D
C
B
C
B
D
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
ACD
2
5
8
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