湖南省“一起考”大联考2023-2024学年高三下学期模拟考试数学（一）试题（Word版附解析）

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（时量：120分钟 满分：150分）
命题人：长郡中学 毛 水
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，若为纯虚数，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
2. 已知与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数的图象如图所示，那么该函数可能为（ ）
A B.
C. D.
4. 夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，则该容器的容积为（ ）（不考虑材料厚度）

A. B. C. D.
5. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积取值范围是
A. B. C. D.
6. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后可以得到的图象，则的一个对称中心为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图所示，面积为的扇形中，分别在轴上，点在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，且与交于点，其中与轴交于点，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D. 2
8. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与所成的角的大小为
B. 直线平面
C. 平面平面
D. 四面体外接球的体积与正方体的体积之比为
11. 玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知全集，集合，则__________．
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________.
14. 已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）证明：是锐角三角形；
（2）若，求面积．
16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCE和四边形CDEF是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中．
（1）证明：平面BCD；
（2）求平面BCD和平面ABF的夹角的余弦值．
17. 已知函数，.
（1）若的极大值为1，求实数a的值；
（2）若，求证：.
18. 某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：
（1）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；
（2）若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．
附：．
19. 已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若l交y轴于点P，，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.
观点
高二
高三
热爱
30
20
不热爱
20
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828