黑龙江省鸡西市第十九中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题

这是一份黑龙江省鸡西市第十九中学2023-2024学年高二下学期4月阶段检测数学试题，共19页。试卷主要包含了曲线在点处的切线的斜率为，函数的图象在点处的切线方程是，函数的单调递增区间为，已知函数的极小值为，已知在处的极大值为5，则，若函数在处有极小值，则，函数的单调减区间可以为，已知函数，则下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

（试题总分：150分 答题时间：120分钟）
命题人：于连祉 审核人： 王玉柱 校对：高二数学组
温馨提示：沉着应对，冷静作答，成功属于自信的你!
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1B． C．D．
6．已知函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知在处的极大值为5，则（ ）
A． B．6 C．或6 D．或2
8．若函数在处有极小值，则（ ）
A． B． C．或 D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得2分或3分，有选错的得0分）
9．函数的单调减区间可以为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．在上有两个极值点 B．在处取得最小值
C．在处取得极小值 D．函数在上有三个不同的零点
11．若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．3D．4
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)
12．若函数有极值点，则实数c的取值范围为 ．
13．函数极大值点为 ．
14．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（13分）已知函数（，）的图象过点，且．
(1)求，的值；
(2)求曲线过点的切线方程．
16．（15分）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数在上的最小值．
17．（15分）已知函数在与时都取得极值.
(1)求的值与函数的单调区间.
(2)求该函数在的极值.
(3)设，若恒成立，求的取值范围.
18．（17分）设函数，其中.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
19．（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的取值范围．
1．B
【分析】求函数在处的导数即可.
【详解】
因为，
所以
曲线在点处的切线的斜率为．
故选：B
2.B
【分析】
利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】
因为，所以，所以切点为，又，
由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，
故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．
故选：B
3．B
【分析】
利用导数求函数的单调递增区间.
【详解】函数，定义域为，
，，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B
4．A
【分析】
根据导数的几何意义结合基本不等式求解即可.
【详解】，
因为函数在点处的切线与直线垂直，
所以，即，则不可能同时为负数，
当或时，，
当时，，
当时，，
当且仅当时，取等号，
综上所述，的最大值为.
故选：A.
5．D
【分析】
利用导数与函数性质的关系，分类讨论的取值范围，分析得的最值，从而得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】
因为，所以，
当时，则，所以在单调递增，
此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递减，在单调递减增，
①当时，在区间上单调递增，
所以最小值为，不符合题意舍去；
②当时，在上先减后增，
所以最小值为，解得；
③当时，在上单调递减，
所以最小值为，解得，不符合题意，舍去，
综上所述.
故选：D.
6．D
【分析】
利用极值的概念求解即可.
【详解】
因为，所以，令得，
令得，令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为.
故选：D
7．B
【分析】
求出函数的导数，利用极大值及极大值点求出并验证即得.
【详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，
当或时，，当时，，因此在处取得极小值，不符题意；
当时，，
当时，，当或时，，因此在处取得极大值，符合题意，
所以，所以.
故选：B
8．A
【分析】
求得，由，求得或，分别求得函数的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解.
【详解】
由函数，可得，
因为函数在处取得极小值，可得，解得或，
当时，令，解得或；令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以在处有极大值，不符合题意，舍去；
当时，令，可得或；令，可得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以在处有极小值，符合题意，
综上可得，.
故选：A.
9．AC
【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，
令，解得或，
结合选项可知函数的单调减区间可以为,,
故选:AC.
10．AC
【分析】利用导数可求得的单调性，结合极值可作出的图象，结合图象依次判断各个选项即可.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，
当时，，，恒成立；
可作出图象如下图所示，

对于A，的极大值点为，极小值点为，A正确；
对于B，不是的最小值，B错误；
对于C，在处取得极小值，C正确；
对于D，由图象可知，有且仅有两个不同的零点，D错误.
故选：AC.
11．CD
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：CD.
12．
【分析】依题意，有两个不同的实数根，利用求解实数c的取值范围.
【详解】，则，
函数有极值点，则有有两个不同的实数根，
可得，解得或.
实数c的取值范围为.
故答案为：
13．
【分析】利用导数分析函数的单调性即可求解.
【详解】的定义域为：.
由．令，解得．
当变化时，与的变化情况如下表：
因此，极大值点为.
故答案为：.
14．
【分析】
求出导函数，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性，利用单调性研究函数最值即可求解.
【详解】因为，所以，
若，则时，，故在上单调递减，
时，，故在上单调递增，
所以当时，有最小值，满足题意；
若，则当无限趋近于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，没有最小值，不符合题意；
综上，，所以实数的取值范围为.
故答案为：
15．(1)，．
(2)
【分析】
（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解；
（2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解.
【详解】（1）
因为函数的图象过点，所以①．
又，，所以②，
由①②解得，．
（2）
由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
16．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】
（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数分类讨论求出在上的最小值.
【详解】（1）
当时，函数，求导得，则，又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）
函数，求导得，，
令，解得，
①当，即时，，，函数在上单调递减，
因此函数的最小值为；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数的最小值为；
③当，即时，，，函数在上单调递增，
因此函数的最小值为，
所以当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
17．(1)，增区间，减区间
(2)极大值是，极小值是
(3)或
【分析】
（1）求导，根据极值点是导函数的零点列方程求解，然后根据导函数的正负确定单调性；
（2）先确定单调性，再确定极值即可；
（3）先根据单调性求最值，然后将恒成立问题转化为最值求解即可.
【详解】（1）由已知， 由于在与时都取得极值，
所以，解得，
所以，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
所以是的极大值，是的极小值.
所以，单调增区间，单调减区间；
（2），
由（1）得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上，
极大值是，
极小值是；
（3）由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，
所以在区间上的最大值是，
在区间上恒成立，
所以，，解得或.
18．(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可.
（2）含参讨论函数单调性即可.
【详解】（1）
当时，，故，
此时函数在处的切线方程为：.
（2）
由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递增；当时，单调递减.
故函数在上单调递减，在上单调递增.
19．(1)
(2)
【分析】（1）求出导数，根据导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出导数，分三种情况讨论的范围，判断单调性求得函数最小值，令所求最小值等于，排除不合题意的的取值，即可求得到符合题意实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
则，，
所以曲线在点处切线的方程为.
（2）当时，，，
令，得或，
当即时，对，，即函数在上单调递增，
所以，符合题意；
当，即时，，，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，不合题意；
当即时，，，即函数在上单调递减，
所以函数在上无最小值，不合题意；
综上，实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：本题第二问利用单调性求最值. 求出导数，，分析发现导数正负取决于的正负，抓住零点与区间的关系讨论，得到函数在上的单调性，求出最小值进行判断求解.
考 号
姓 名
班 级
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
B
B
A
D
D
B
A
AC
AC
CD
＋
0
－
单调递增
单调递减