广东省中山市华侨中学2023-2024学年高二上学期第二次段考（期中）数学试题

这是一份广东省中山市华侨中学2023-2024学年高二上学期第二次段考（期中）数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.抛物线的焦点为（ ）
A. B. C. D.
2.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3.已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
4.已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6.等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B． C． D．
7.在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
8.圆锥曲线光学性质（如图1所示）：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点路线长为；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点路线长为.若与的离心率之比为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn， ，下列说法正确的是（ ）
A.等差数列｛an｝的公差为2 B.等差数列｛an｝为递增数列；
C. D.当取最小值时，
10.已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A.曲线可以表示圆 B.当时，曲线为双曲线，渐近线为
C.若表示双曲线，则或 D.若表示椭圆，则
11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线与交，两点，则（ ）
A. B.若，则直线的斜率为
若直线的斜率为2，则 D.
12.已知点在圆上，点P是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为,又设直线分别交轴于C,D两点，则（ ）
A.的最小值为 B.直线AB必过定点
C.满足的点有两个 D.的最小值为
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.如图曲线AB是以O为对称中心的椭圆的四分之一，A,B分别为长、短轴端点； 现只用圆规确定该椭圆的右焦点位置，步骤：以____为圆心以______为半径画弧与x轴的交点 （填序号即可）
①点O； ② 点A； ③点B；
④ OB长； ⑤ OA长；
14.设等差数列的前项和为，, 则
15.若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则____________.
16.已知双曲线的左焦点为，方向向量为的直线l过与双曲线左，右两支分别交于，两点且，则双曲线离心率为__________
四、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）数列的前项和为，
（1）求数列的通项公式
（2）是否存在正整数使得成等差数列？说明理由
（12分）已知圆过点，圆
求圆的方程
判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长
19.（12分）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点
（1）求双曲线的标准方程
（2）若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围
（3）是否存在实数使得直线与双曲线交于A,B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？
20.（12分）如图，在几何体中，底面为正方形，，平面平面，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面的所成角的正弦值．
21.（12分 ）已知数列满足，数列满足
（1）求数列的前20项和
（2）求数列的通项公式
（3）数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数
的取值范围
22.（12分）已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点。当点运动时，设点的轨迹为E
（1）求点的轨迹方程
（2）已知过点的直线分别交E于和，且两直线的斜率之积为1，
设的中点分别为,探究轴上是否存在定点，使得与的面积之比，若存在，求出定点；若不存在，说明理由
2023-2024学年中山市华侨中学高二第一学期第二次段考
数学答案
1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.C
9.ABD 10. AC 11.ABD 12.BCD
③,⑤; 14. ； 15. 8； 16. ；
12.C项：即判断以CD为直径的圆与圆C的位置关系； D项：由阿氏圆定义可在y轴上找一点S（0，t）,使得(其中M的轨迹就是圆Q)
所以
16.连接,由及双曲线定义可得，取AB中点Q,
中，，中，由勾股定理即得
17.（1）（过程略，注意格式） 5分
（2）若成等差数列，则 7分

这与为正整数且矛盾，所以不存在正整数使得成等差数列 10分
18.（1）圆的方程 (过程略) 6分
（2），，，
所以圆和圆相交， 8分
设交点为A,B,直线AB方程为即： ， 10分
所以到直线AB的距离所以 12分
两圆公共弦的长
19.（1）设双曲线的标准方程为代入，
解得，双曲线的标准方程 4分
（2）直线方程：，联立得
6分

直线与双曲线有两个交点，所以
（或：） 9分

（3）设A,B两点坐标分别为,由（2）可得，若P为AB中点，则， 11分
此时，直线与双曲线没有两个交点，所以不存在实数使得直线与双曲线交于A,B两点，且点P恰好为AB中点。注：也可现由点差法求出直线斜率为2，在代入（2）判别式检验 12分
20.【小问1详解】平面平面，且平面平面，
取的中点为坐标原点，因为四边形为等腰梯形，所以连结与的中点的直线与垂直，则平面,如图，连结与的中点，则,以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：

得，，，，，，
，，，设平面的一法向量为，
由，即，取，，平面的一法向量为，因此点到平面的距离； 6分
【小问2详解】由于，，，设平面的一个法向量为，由，得，取，，
得．设平面的法向量为，，
由，即，取，，
求得平面的一个法向量为．因此平面与夹角的余弦值为
即因此平面与夹角的余弦值为． 12分
21.（1）
4分
（2） ①② ②-①得
，数列是以3为首项，公差为2的等差数列 （由归纳猜测得出答案给2分但整道题三问总得分不超过9分） 8分
（3）, 9分
当且仅当即时取等号， 11分
因,当时 ；当时
12分
22.【小问1】由已知所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆,，则E的方程 4分
【小问2详解】存在轴上存在定点和使得
，理由如下：设直线（），
联立可得，，则
6分
所以，所以， 7分
设，同理可得 8分
所以，
所以直线即 所以恒过定点， 10分
设点到直线的距离分别是 所以，所以和 12分