最新中考数学二轮核心考点专题训练 专题31 中考热点新定义问题专项训练
展开1、明确模拟练习的目的。检测知识的全面性,更是训练书写规范,表述准确的过程。
2、查漏补缺,以“错”纠错。查漏补缺的过程也就是反思的过程,逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。平时如考试,并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失,可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕,可怕的是不知道问题的存在,在复习中出现的问题越多,说明你距离成功越近,及时处理问题,争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题31 中考热点新定义问题专项训练(解析版)
专题诠释:新定义题型是近几年来中考的热点问题。它常集合数形结合思想,类比思想,转化思想,分类讨论思想,方程思想,函数思想于一体。常以压轴题身份出现。本专题精选新定义问题共20条,欢迎下载使用。
一.选择题
1.(2021•河北模拟)对于实数x,y,我们定义符号max{x,y}的意义:当x≥y时,max{x,y}=x,当x<y时,max{x,y}=y.例如max{﹣1,﹣2}=﹣1,max{3,π}=π,则关于x的函数y=max{3x,x+2}的图象为( )
A.B.
C.D.
思路引领:令3x=x+2,解得x=1,画出直线y=3x和直线y=x+2的图象即可判断.
解:令3x=x+2,解得x=1,
直线y=3x和直线y=x+2的图象如图所示,它们的交点坐标为(1,3),由图象可知,x<1时,x+2>3x;
当x>1时,3x>x+2,
故关于x的函数y=max{3x,x+2}的图象是选项C中的图象.
故选:C.
总结提升:本题主要考查了函数的图象,正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键.
二.填空题
2.(2021•深圳模拟)用“●”“□”定义新运算:对于数a,b,都有a●b=a和a□b=b.例如3●2=3,3□2=2,则(2020□2021)●(2021□2020)= .
思路引领:根据“●”“□”的运算法则进行计算即可得解.
解:∵a●b=a,a□b=b,
∴(2020□2021)●(2021□2020)
=2021●2020
=2021.
故答案为:2021.
总结提升:本题考查了有理数的混合运算,读懂题目信息,理清新定义的运算方法是解题的关键.
3.(2021•碑林区校级模拟)(正多边形的每个内角都相等)如图,在正八边形ABCDEFGH中,对角线BF的延长线与边DE的延长线交于点M,则∠M的大小为 .
思路引领:根据正求出多边形的内角和公式∠DEF,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE,计算即可.
解:∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠DEF=(8﹣2)×180°÷8=135°,
∴∠FEM=45°,
∴∠DEF=∠EFG,
∵BF平分∠EFG,
∴∠EFB=∠BFG=12∠EFG=67.5°,
∵∠BFE=∠FEM+∠M,
∴∠M=∠BFE﹣∠FEM,
∴∠M=22.5°.
故答案为:22.5°.
总结提升:本题考查的是正多边形和圆的有关计算,掌握正多边形的内角的求法是解题的关键.
4.(2019•福田区三模)对于m,n(n≥m)我们定义运算Anm=n(n﹣1)(n﹣2)(n﹣3)…(n﹣(m﹣1)),A73=7×6×5=210,请你计算A42= .
思路引领:将n=4,m=2代入公式求解可得.
解:A42=4×(4﹣1)=12,
故答案为:12.
总结提升:本题主要考查数字的变化规律,解题的关键是掌握新定义规定的运算法则.
5.(2022春•塔城地区期末)在实数范围内定义一种新运算“⊕”,其运算规则为:a⊕b=2a+3b.如:1⊕5=2×1+3×5=17.则不等式x⊕4>0的解集为 .
思路引领:根据新定义规定的运算规则列出不等式,解不等式即可求得.
解:不等式x⊕4>0化为:
2x+12>0,
2x>﹣12,
x>﹣6,
故答案为:x>﹣6.
总结提升:本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式的步骤.
6.(2022秋•魏县期中)若x是不等于1的实数,我们把11−x称为x的差倒数,如2的差倒数是11−2=−1,﹣1的差倒数为11−(−1)=12,现已知x1=13,x2是x1的差倒数,x3是x2的差倒数,x4是x3的差倒数,…,依此类推,则x2022的值为 .
思路引领:根据差倒数的定义,通过计算发现每3次运算结果循环出现一次,由此可得x2022=x3=﹣2.
解:∵x1=13,
∴x2=11−13=32,x3=11−32=−2,x4=11−(−2)=13,……,
∴每3次运算结果循环出现一次,
∵2022÷3=674,
∴x2022=x3=﹣2,
∴x2022的值为﹣2,
故答案为:﹣2.
总结提升:本题考查数字的变化规律,通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键.
三.解答题
7.(2021秋•汉阳区期中)对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.
(1)请任意写出两个“极数” , ;
(2)猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;
(3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=m33,则满足D(m)是完全平方数的所有m的值是 .
思路引领:(1)根据“极数”的定义,任意写出两个“极数”即可;
(2)由“极数”的定义可得出n=99(10a+b+1),进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数;
(3)由(2)可得出D(m)=3(10x+y+1),由D(m)为完全平方数,可得出10x+y+1=12,10x+y+1=27,10x+y+1=48,10x+y+1=75,解之可得出x,y的值,进而可得出m的值,即可得出结论.
解:(1)由“极数”的定义得,1287,2376,
故答案为1287,2376;
(2)任意一个“极数”都是99的倍数,理由如下:
设任意一个“极数”为ab(9−a)(9−b)(1≤a≤9,0≤b≤9,且a、b为整数),
则ab(9−a)(9−b)=1000a+100b+10(9﹣a)+(9﹣b)=990a+99b+99=99(10a+b+1),
∵1≤a≤9,0≤b≤9,且a、b为整数,
∴10a+b+1是整数,
∴任意一个“极数”都是99的倍数.
(3)设四位数m为xy(9−x)(9−y)(1≤x≤9,0≤y≤9,且x、y为整数),
∵四位数m为“极数”,D(m)=m33,
∴D(m)=99(10x+y+1)33=3(10x+y+1).
∵D(m)是完全平方数,1≤x≤9,0≤y≤9,且x、y为整数,
∴10x+y+1=3×4=12,10x+y+1=3×9=27,10x+y+1=3×16=48,10x+y+1=3×25=75,
∴x=1y=1或x=2y=6或x=4y=7或x=7y=4,
∴m可以为1188或2673或4752或7425.
总结提升:本题考查了完全平方数以及倍数,解题的关键是:(1)根据“极数”的定义,任意写出两个“极数”;(2)根据“极数”的定义,找出n=99(10a+b+1);(3)根据D(m)是完全平方数,找出10x+y+1的值.
8.(2022秋•胶州市期末)《道德经》中的“道生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究,如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”.
定义:对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n为“纯数”.
例如:32是“纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位;23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位.
(1)判断2022是否是“纯数”?请说明理由;
(2)请直接写出2023到2050之间的“纯数”;
(3)不大于100的“纯数”的个数为 .
思路引领:(1)根据“纯数”的定义判断;
(2)根据“纯数”的定义求解;
(3)根据“纯数”的定义写出数,再查个数.
解:(1)∵计算2022+2023+2024时,各数位都不产生进位,
∴2022是“纯数”;
(2)2023到2050之间的“纯数”有:2030,2031,2032,;
(3)不大于100的“纯数”有:0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,30,32,100共13个,
故答案为:13.
总结提升:本题考查了整式的加减,理解新定义是解题的关键.
9.(2021•任城区二模)如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半,那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”.这条高称为“半高”.如图1,对于△ABC,BC边上的高AD等于BC的一半,△ABC就是“半高三角形”.此时,称△ABC是“BC边半高三角形”,AD是“BC边半高”;如图2,对于△EFG,EF边上的高GH等于EF的一半,△EFG就是半高三角形,此时,称△EFG是EF边半高三角形,GH是“EF边半高”.
(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,若ABC是“BC边半高三角形”,则AC= cm;
(2)若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形,且“半高”长为2cm,则该等腰三角形底边长的所有可能值为 .
(3)如图3,平面直角坐标系内,直线y=x+2与抛物线y=x2交于R,S两点,点P是抛物线y=x2上的一个动点,点Q是坐标系内一点,且使得△RSQ为“RS边半高三角形”.当点P介于点R与点S之间,且PQ取得最小值时,求点P的坐标.
思路引领:(1)设AC=h,则BC=2AC=2h,由勾股定理即可求解;
(2)分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况,分别求解即可;
(3)当点P介于点R与点S之间时,与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时,PQ取得最小值,即可求解.
解:(1)设AC=h,则BC=2AC=2h,
由勾股定理得:h2+(2h)2=102,解得:h=25,
故答案为25;
(2)①当“半高”是底边上的高时,
如图1,AD是“半高”,AB、AC为等腰三角形的腰,
由题意得:AD=2,BC=4;
②当“半高”是腰上的高时,
如下图,底边为BC、“半高”CD为腰上的高,
如图2,当△ABC为锐角三角形时,CD=2,AB=AC=4,
在Rt△ADC中,AD=AC2−CD2=23,
在Rt△BCD中,BC=BD2+CD2=(4−23)2+22=26−22;
如图3,当△ABC为钝角三角形时,CD=2,AB=AC=4,
同理可得:BC=26+22;
故答案为:4或26+22或26−22;
(3)将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x+2联立并解得:x=﹣1或2,
即:点R、S的坐标分别为(﹣1,1)、(2,4),则RS=32,
则RS边上的高为:12×32=322,
则点Q在于RS平行的上下两条直线上,如下图,
设直线RS与y轴交于点N,故点N作NQ⊥TQ于点Q,
则NQ=322,则QT=QHsin45°=3,
点T(0,5),则点M(0,5),点M于点T重合,
则点Q的直线方程为:y=x+5,
当该直线在直线RS的下方时,y=x﹣1,
故点Q所在的直线方程为:y=x+5或y=x﹣1;
如图4,当点P介于点R与点S之间时,
设与RS平行且与抛物线只有一个交点P′的直线方程为:y=x+d,
将该方程与抛物线方程联立并整理得:x2﹣x﹣d=0,
△=1+4d=0,解得:d=−14,
此时,x2﹣x+14=0,解得:x=12,
点P′(12,14),此时,P(P′)Q取得最小值.
总结提升:本题主要考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等,此类新定义型题目,通常按题设顺序逐次求解.
10.(2022春•梁平区期末)在平面直角坐标系中,对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x=a+c3,y=b+d3那么称点T是点A,B的融合点.
例如:A=(﹣1,8),B=(4,﹣2),当点T(x,y)满足x=−1+43=1,y=8+(−2)3=2时,则点T(1,2)是点A,B的融合点.
(1)已知点A(﹣1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.
(2)如图,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线l:y=2x+3上任意一点,点T(x,y)是点D,E的融合点.
①试确定y与x的关系式.
②若直线ET交x轴于点H,当∠TDH为直角时,求直线ET的解析式.
思路引领:(1)根据点T是点A,B的融合点的定义判断即可;
(2)①根据融合点的定义,构建关系式,可得结论;
②图中,当∠TDH=90°时,点T、D横坐标相同,再根据①中得到的横纵坐标关系即可求出点T坐标,再根据融合点定义求出点E坐标,求一次函数解析式即可.
解:(1)∵A (﹣1,5),B(7,7),C(2,4),
∴x=13×(﹣1+7)=2,y=13×(5+7)=4,
∴点C是点A、B的融合点;
(2)①∵点T(x,y)是点D,E的融合点,
∴x=13(3+t),y=13(0+2t+3),
∴y=2x﹣1;
②如图,当∠TDH=90°时,
∴点T、D横坐标相同,xT=xD=3,
∴yT=2x﹣1=2×3﹣1=5,即T(3,5),
∵点E(t,2t+3),点T(3,5),点D(3,0),且点T(x,y)是点D,E的融合点.
∴3=13(3+t),
∴t=6,
∴点E(6,15),
设直线ET的解析式为:y=kx+b,
把E(6,15),T(3,5),代入得:
6k+b=153k+b=5,
解得:k=103b=−5,
∴直线ET的解析式为:y=103x﹣5.
总结提升:本题属于三角形综合题,考查了直角三角形的判定和性质,融合点的定义,一次函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
11.(2019•浙江)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=﹣(x﹣m)2+m+2的顶点.
(1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.
(2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标.
(3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围.
思路引领:(1)如图1中,当m=0时,二次函数的表达式y=﹣x2+2,画出函数图象,利用图象法解决问题即可.
(2)如图2中,当m=3时,二次函数解析式为y=﹣(x﹣3)2+5,如图2,结合图象即可解决问题.
(3)如图3中,∵抛物线的顶点P(m,m+2),推出抛物线的顶点P在直线y=x+2上,由点P在正方形内部,则0<m<2,如图3中,E(2,1),F(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时,抛物线与线段EF有交点(点F除外),求出抛物线经过点E或点F时m的值,即可判断.
解:(1)如图1中,当m=0时,二次函数的表达式y=﹣x2+2,函数图象如图1所示.
∵当x=0时,y=2,当x=1时,y=1,
∴抛物线经过点(0,2)和(1,1),
观察图象可知:好点有:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个.
(2)如图2中,当m=3时,二次函数解析式为y=﹣(x﹣3)2+5.如图2.
∵当x=1时,y=1,当x=2时,y=4,当x=4时,y=4,
∴抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4),
根据图象可知,抛物线上存在好点,坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4).
(3)由于0<m<2,取m=1开始,发现抛物线内有10个好点,不符合意思,所以抛物线向下并向左移动,可得如图3中,
∵抛物线的顶点P(m,m+2),
∴抛物线的顶点P在直线y=x+2上,
∵点P在正方形内部,则0<m<2,
如图3中,E(2,1),F(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时,抛物线与线段EF有交点(点F除外),
当抛物线经过点E时,﹣(2﹣m)2+m+2=1,
解得m=5−132或5+132(舍弃),
当抛物线经过点F时,﹣(2﹣m)2+m+2=2,
解得m=1或4(舍弃),
∴当5−132≤m<1时,顶点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点.
总结提升:本题属于二次函数综合题,考查了正方形的性质,二次函数的性质,好点的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会正确画出图象,利用图象法解决问题,学会利用特殊点解决问题,属于中考压轴题.
12.(2022•亭湖区校级三模)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.
求证:四边形ABEF是邻余四边形.
(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.
(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE=4BE,QB=6,求邻余线AB的长.
思路引领:(1)由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC,则可得∠DAB与∠DBA互余,即∠FAB与∠EBA互余,从而可得答案;
(2)画出图形即可.
(3)先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD=CD、DM=ME,再判定△DBQ∽△ECN,从而列出比例式,将已知线段的长代入即可得解.
解:(1)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠FAB与∠EBA互余,
∴四边形ABEF是邻余四边形;
(2)如图所示(答案不唯一),
四边形AFEB为所求;
(3)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
∴BD=CD,
∵DE=4BE,
∴BD=CD=5BE,
∴CE=CD+DE=9BE,
∵∠EDF=90°,点M是EF的中点,
∴DM=ME,
∴∠MDE=∠MED,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴△DBQ∽△ECN,
∴QBNC=BDCE=59,
∵QB=6,
∴NC=545,
∵AN=CN,
∴AC=2CN=1085,
∴AB=AC=1085.
总结提升:本题考查了四边形的新定义,综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点,读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键.
13.(2021•南丰县模拟)如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形,一个是等边三角形,另一个是该对角线所对的角为60°的三角形,我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线,这个四边形称为理想四边形.
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB,E为BC中点,连接DE.求证:四边形ADEC为理想四边形;
(2)如图2,△ABD是等边三角形,若BD为理想对角线,为使四边形ABCD为理想四边形,小明同学给出了他的设计图(见设计后的图),其中圆心角∠BOD=120°;请你解释他这样设计的合理性.
(3)在(2)的条件下,
①若△BCD为直角三角形,BC=3,求AC的长度;
②如图3,若CD=x,BC=y,AC=z,请直接写出x,y,z之间的数量关系.
思路引领:(1)证明△ACB∽△ADC,推出∠ADC=∠ACB=90°,再证明△CDE是等边三角形即可.
(2)如设计后的图中,△ABD是等边三角形,当点C在BCD上时,∠DCB=12∠DOB=60°,满足条件.
(3)①分两种情形:如图3中,当∠CDB=90°时,如图4中,当∠CBD=90°时,分别利用勾股定理求解即可.
②以CD为边作等边△ECD,连接BE,作EF⊥BC交BC的延长线于F.利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论.
解:(1)如图1,∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=60°,
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=°﹣∠B=90°﹣30°=60°,
∵E为BC中点,
∴DE=CE,
∴△CDE是等边三角形,
∴四边形ADEC为理想四边形;
(2)如设计后的图中,△ABD是等边三角形,OD=OB,∠BOD=120°,
当点C在BCD上时,∠DCB=12∠DOB=60°,故四边形ABCD为理想四边形.
(3)①当∠CDB=90°时,如图3中,
∵∠CDB=90°,∠BCD=60°,BC=3,
∴BD=BC•sin60=332,∠CBD=30°,
∵△ABD是等边三角形,
∴AB=BD=332,∠ABD=60°,
∴∠ABC=90°,
∴AC=AB2+BC2=(332)2+32=372;
当∠CBD=90°时,如图4中,同法可得AC=AD2+CD2=(33)2+62=37;
综上所述,AC的值为372或37.
②如图5中,结论:x2+xy+y2=z2.
理由如下:以CD为边作等边△ECD,连接BE,作EF⊥BC交BC的延长线于F.
∵∠EDC=∠ADB=60°,
∴∠EDB=∠CDA,
∵ED=CD,BD=AD,
∴△EDB≌△CDA(SAS),
∴AC=BE=z,
∵∠ECD=∠DCB=60°,CD=CE=x,
∴∠ECF=60°,∠CEF=30°,
∴CF=12EC=12x.EF=3CF=32x.
在Rt△EFB中,∵BE2=EF2+BF2,
∴z2=(32x)2+(y+12x)2,
整理得:x2+xy+y2=z2.
总结提升:本题属于四边形综合题,考查了理想四边形的定义,解直角三角形,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对角线”,学会用分类讨论的思想思考问题.
14.(2020•朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中,点A(t,0),B(t+2,0),C(n,1),若射线OC上存在点P,使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形,就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点.
(1)如图,t=0,
①若n=0,则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是 ;
②若n<0,且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1,求n的取值范围;
(2)若n=33,且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点,则t的取值范围是 .
思路引领:(1)①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP=AB=2,由此即可解决问题.
②如图2中,当OP=AB时,作PH⊥x轴于H.求出点P的横坐标,利用图象法即可解决问题.
(2)如图3﹣1中,作CH⊥y轴于H.分别以A,B为圆心,AB为半径作⊙A,⊙B.首先证明∠COH=30°,∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点,推出射线OC与⊙A,⊙B只有一个交点,求出几种特殊位置t的值,利用数形结合的思想解决问题即可.
解:(1)①如图1中,由题意A(0,0),B(2,0),C(0,1),
∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点,
∴OP=AB=2,
∴P(0,2).
故答案为(0,2).
②如图2中,当OP=AB时,作PH⊥x轴于H.
在Rt△POH中,∵PH=OC=1,OP=AB=2
∴OH=OP2−PH2=22−12=3,
观察图象可知:若n<0,且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时,n<−3.
(3)如图3﹣1中,作CH⊥y轴于H.分别以A,B为圆心,AB为半径作⊙A,⊙B.
由题意C(33,1),
∴CH=33,OH=1,
∴tan∠COH=CHOH=33,
∴∠COH=30°,
当⊙B经过原点时,B(﹣2,0),此时t=﹣4,
∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点,
∴射线OC与⊙A,⊙B只有一个交点,观察图象可知当﹣4<t≤﹣2时,满足条件,
如图3﹣2中,当点A在原点时,∵∠POB=60°,此时两圆的交点P在射线OC上,满足条件,此时t=0,
如图3﹣3中,当⊙B与OC相切于P时,连接BP.
∴OC是⊙B的切线,
∴OP⊥BP,
∴∠OPB=90°,
∵BP=2,∠POB=60°,
∴OB=PBcs60°=433,此时t=433−2,
如图3﹣4中,当⊙A与OC相切时,同法可得OA=433,此时t=433,此时符合题意.
如图3﹣5中,当⊙A经过原点时,A(2,0),此时t=2,
观察图形可知,满足条件的t的值为:433−2<t≤2,
综上所述,满足条件t的值为﹣4<t≤﹣2或t=0或433−2<t≤2或t=433
故答案为:﹣4<t≤﹣2或t=0或433−2<t≤2或t=433.
总结提升:本题属于三角形综合题,考查了等腰三角形的判定和性质,线段AB关于射线OC的等腰点的定义,解直角三角形等知识,解题的关键是学会利用辅助圆解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
15.(2022•房山区模拟)对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2,给出如下定义:在图形W1上存在两点A,B(点A,B可以重合),在图形W2上存在两点M,N(点M,N可以重合)使得AM=2BN,则称图形W1和图形W2满足限距关系.
(1)如图1,点C(3,0),D(0,﹣1),E(0,1),点P在线段CE上运动(点P可以与点C,E重合),连接OP,DP.
①线段OP的最小值为 ,最大值为 ;线段DP的取值范围是 ;
②在点O,点D中,点 与线段DE满足限距关系;
(2)在(1)的条件下,如图2,⊙O的半径为1,线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F,G,且FG∥EC,若线段FG与⊙O满足限距关系,求点F横坐标的取值范围;
(3)⊙O的半径为r(r>0),点H,K是⊙O上的两个点,分别以H,K为圆心,2为半径作圆得到⊙H和⊙K,若对于任意点H,K,⊙H和⊙K都满足限距关系,直接写出r的取值范围.
思路引领:(1)①根据垂线段最短以及已知条件,确定OP,DP的最大值,最小值即可解决问题;
②根据限距关系的定义判断即可;
(2)根据两直线平行k相等计算设FG的解析式为:y=−33x+b,得G(0,b),F(3b,0),分三种情形:①线段FG在⊙O内部,②线段FG与⊙O有交点,③线段FG 与⊙O没有交点,分别构建不等式求解即可;
(3)如图3﹣1中,不妨设⊙K,⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧,根据⊙H和⊙K都满足限距关系,构建不等式求解即可.
解:(1)①如图1中,
∵点C(3,0),E(0,1),
∴OE=1,OC=3,
∴EC=2,∠ECO=30°,
当OP⊥EC时,OP的值最小,当P与C重合时,OP的值最大是3,
Rt△OPC中,OP=12OC=32,即OP的最小值是32;
如图2,当DP⊥EC时,DP的值最小,
Rt△DEP中,∠OEC=60°,
∴∠EDP=30°,
∵DE=2,
∴cs30°=DPDE,
∴DP2=32,
∴DP=3,
当P与E重合时,DP的值最大,DP的最大值是2,
∴线段DP的取值范围是:3≤DP≤2;
故答案为:32,3,3≤DP≤2;
②根据限距关系的定义可知,线段DE上存在两点M,N,满足OM=2ON,如图3,
故点O与线段DE满足限距关系;
根据限距关系的定义可知,线段DE上存在两点M,N,满足DM=2DN,如图3,
故点D与线段DE满足限距关系;
故答案为:O和D;
(2)∵点C(3,0),E(0,1),
∴设直线CE的解析式为:y=kx+m,
∴3k+m=0m=1,解得:k=−33m=1,
∴直线CE的解析式为:y=−33x+1,
∵FG∥EC,
∴设FG的解析式为:y=−33x+b,
∴G(0,b),F(3b,0),
∴OG=b,OF=3b,
当0<3b<1时,如图5,线段FG在⊙O内部,与⊙O无公共点,
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1−3b,最大距离为1+3b,
∵线段FG与⊙O满足限距关系,
∴1+3b≥2(1−3b),
解得3b≥13,
∴b的取值范围为13≤3b<1;
当1≤3b≤6时,线段FG与⊙O有公共点,线段FG与⊙O满足限距关系,
当3b>6时,如图6,线段FG在⊙O的外部,与⊙O没有公共点,
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为3b﹣1,最大距离为3b+1,
∵线段FG与⊙O满足限距关系,
∴3b+1≥2(3b﹣1),
而3b+1≥2(3b﹣1)总成立,
∴3b>6时,线段FG 与⊙O满足限距关系,
综上所述,点F横坐标的取值范围是:3b≥13;
(3)如图3﹣1中,不妨设⊙K,⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧,
两圆的距离的最小值为2r﹣4,最大值为2r+4,
∵⊙H和⊙K都满足限距关系,
∴2r+4≥2(2r﹣4),
解得r≤6,
故r的取值范围为0<r≤6.
总结提升:本题属于圆综合题,考查了解直角三角形,垂线段最短,直线与圆的位置关系,限距关系的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数构建不等式解决问题,属于中考创新题型.
16.(2022•西城区校级模拟)点P(x1,y1),Q(x2,y2)是平面直角坐标系中不同的两个点,且x1≠x2.若存在一个正数k,使点P,Q的坐标满足|y1﹣y2|=k|x1﹣x2|,则称P,Q为一对“限斜点”,k叫做点P,Q的“限斜系数”,记作k(P,Q).由定义可知,k(P,Q)=k(Q,P).
例:若P(1,0),Q(3,12),有|0−12|=14|1﹣3|,所以点P,Q为一对“限斜点”,且“限斜系数”为14.
已知点A(1,0),B(2,0),C(2,﹣2),D(2,12).
(1)在点A,B,C,D中,找出一对“限斜点”: ,它们的“限斜系数”为 ;
(2)若存在点E,使得点E,A是一对“限斜点”,点E,B也是一对“限斜点”,且它们的“限斜系数”均为1.求点E的坐标;
(3)⊙O半径为3,点M为⊙O上一点,满足MT=1的所有点T,都与点C是一对“限斜点”,且都满足k(T,C)≥1,直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
思路引领:(1)根据定义通过计算求解即可;
(2)设E(x,y),由题意可得|y|=|x﹣1|,|y|=|x﹣2|,求解方程即可求点E的坐标;
(3)由题意可知C点在直线y=﹣x上,T点在以M为圆心1为半径的圆上,M点在以O为圆心3为半径的圆上,则T点在以O为圆心2为半径的圆上或以O为圆心4为半径的圆上,当T点在直线y=﹣x上时,k=1,再由k(T,C)≥1,可知T点在直线y=﹣x的上方,T点在直线y=﹣x的上方,直线y=x﹣4的上方,半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部.
解:(1)A(1,0),C(2,﹣2),有|0+2|=2|1﹣2|,
∴A、C为一对“限斜点”,且“限斜系数”为2;
A(1,0),D(2,12),有|0−12|=12|1﹣2|,
∴A、D为一对“限斜点”,且“限斜系数”为12;
故答案为:A、C或A、D,2或12;
(2)设E(x,y),
∴|y|=|x﹣1|,|y|=|x﹣2|,
∴|x﹣1|=|x﹣2|,
解得x=32,
∴y=±12,
∴E(32,12)或(32,−12);
(3)∵C(2,﹣2),
∴C点在直线y=﹣x上,
∵MT=1,
∴T点在以M为圆心1为半径的圆上,
∵M点在以O为圆心3为半径的圆上,
∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环,
当T点在直线y=﹣x上时,设T(m,﹣m),
∴|﹣m+2|=k|m﹣2|,
∴k=1,
∵k(T,C)≥1,
∴T点在直线y=﹣x的上方,直线y=x﹣4的上方,半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部,如图所示,
∴−322≤xM≤4.
总结提升:本题考查圆的综合应用,弄清定义,熟练掌握圆与直线的关系,绝对值方程的解法,数形结合解题是关键.
17.(2020•密云区一模)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P,给出如下定义:经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫做点P的“特征线”.
例如:点M(1,3)的特征线是y=x+2和y=﹣x+4;
(1)若点D的其中一条特征线是y=x+1,则在D1(2,2)、D2(﹣1,0)、D3(﹣3,4)三个点中,可能是点D的点有 D2 ;
(2)已知点P(﹣1,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A,直线y=kx+b(k≠0)经过点P,且与x轴交于点B.若使△BPA的面积不小于6,求k的取值范围;
(3)已知点C(2,0),T(t,0),且⊙T的半径为1.当⊙T与点C的特征线存在交点时,直接写出t的取值范围.
思路引领:(1)画出图形,根据点的特征线的定义解决问题即可.
(2)过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=﹣x+b,求出△PAB的面积为6时点B的坐标,再利用待定系数法求直线PB的解析式,结合图形即可解决问题.
(3)如图3中,由题意点C的特征线的解析式为y=x﹣2或y=﹣x+2,设当⊙T与直线y=﹣x+2相切于点M时,当⊙T′与直线y=x﹣2相切于点N时,分别求出OT,OT′结合图象即可解决问题.
解:(1)如图1中,观察图象可知,点D2的特征线是y=x+1.
故答案为D2.
(2)如图2中,
设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=﹣x+b,
∴1+b=2,
∴b=1,
∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=﹣x+1,
∴A(1,0),
当△BPA的面积=6时,12•AB•2=6,
∴AB=6,
∴B(﹣5,0)或(7,0),
当y=kx+b′经过P(﹣1,2),B(﹣5,0)时,
−k+b′=2−5k+b′=0解得k=12,
当直线y=kx+b′经过P(﹣1,2),B(7,0)时,
−k+b′=27k+b′=0,解得k=−14,
观察图形可知满足条件的k的值为−14≤k≤12且k≠0.
(3)如图3中,由题意点C的特征线的解析式为y=x﹣2或y=﹣x+2,
当⊙T与直线y=﹣x+2相切于点M时,连接TM,
在Rt△TCM中,∵∠TMC=90°,∠MCT=45°,
∴MT=MC=1,
∴TC=2TM=2,
∴OT=2−2,此时t=2−2.
当⊙T′与直线y=x﹣2相切于点N时,同理可得OT′=2+2,此时t=2+2,
结合图象可知满足条件的t的值为:2−2≤t≤2+2.
总结提升:本题属于圆综合题,考查了直线与圆的位置关系,一次函数的性质,三角形的面积,点P的“特征线”的定义,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,学会利用特殊位置解决问题,属于中考压轴题.
18.(2022秋•西城区校级期中)已知函数y=x2+bx+c(x≥2)的图象过点A(2,1),B(5,4).
(1)直接写出y=x2+bx+c(x≥2)的解析式;
(2)如图,请补全分段函数y=−x2+2x+1(x<2)x2+bx+c(x≥2)的图象(不要求列表).
并回答以下问题:
①写出此分段函数的一条性质: ;
②若此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点,请结合函数图象直接写出实数m的取值范围;
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记(2)中函数的图象与直线y=12x−1围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”,请直接写出区域内所有整点的坐标.
思路引领:(1)用待定系数法求函数解析式即可;
(2)①根据函数图象写出性质即可;②由图象可求出m的取值范围;
(3)根据图象求整点坐标即可.
解:(1)把A(2,1),B(5,4)代入解析式得:4+2b+c=125+5b+c=4,
解得b=−6c=9,
∴y=x2+bx+c(x≥2)的解析式为y=x2﹣6x+9;
(2)如图所示:
①性质:抛物线关于点(2,1)成中心对称,
故答案为:抛物线关于点(2,1)成中心对称;
②由图象可得:实数m的取值范围为0<m<2;
(3)如图:
由函数图象可得:“W区域“内所有整点的坐标为(0,0),(1,1).
总结提升:本题考查了待定系数法求函数解析式,二次函数的性质,关键是对函数性质的掌握和运用.
19.(2021春•丰台区校级月考)在平面直角坐标系xOy中,过⊙T(半径为r)外一点P引它的一条切线,切点为Q,若0<PQ≤2r,则称点P为⊙T的伴随点.
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点A(﹣3,0),B(﹣1,3),C(2,﹣1)中,⊙O的伴随点是 ;
②点D在直线y=﹣x+3上,且点D是⊙O的伴随点,求点D的横坐标d的取值范围;
(2)⊙M的圆心为M(m,0),半径为3,直线y=2x+3与x轴,y轴分别交于点E,F.若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点,直接写出m的取值范围.
思路引领:(1)①画出图形,求出切线长,根据⊙O的伴随点的定义判断即可.
②如图2中,设点D的坐标为(d,﹣d+3),构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题.
(2)求出几种特殊位置时m的值即可判断.①如图3﹣1中,设ET是⊙M的切线,当FT=6时,线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点.②如图3﹣2中,设ET是⊙M的切线,连接MT,则∠MTE=90°.③如图3﹣3中,当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时,设切点为T,连接MT.分别求出m的值,结合图形即可得出结论.
解:(1)①如图1中,
∵A(﹣3,0),B(﹣1,3),C(2,﹣1),
∴切线AG的长=32−12=22>2,
切线BN的长=2,
切线CM的长=2,
∴点B,C是,⊙O的伴随点,
故答案为:B,C.
②如图2中,设点D的坐标为(d,﹣d+3),
当过点D的切线长为2r=2时,
OD=12+22=5,
∴d2+(﹣d+3)2=5,
解得 d1=2,d2=1.
结合图象可知,点D的横坐标d的取值范围是1≤d≤2.
(2)由题意E(−32,0),F(0,3).
①如图3﹣1中,设ET是⊙M的切线,当FT=6时,线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点,此时m=6.
观察图象可知:当﹣6≤m<−92时,线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点.
②如图3﹣2中,设ET是⊙M的切线,连接MT,则∠MTE=90°
当ET=6时,EM=ET2+MT2=32+62=35,此时m=35−32,
③如图3﹣3中,当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时,设切点为T,连接MT.
∵E(−32,0),F(0,3),
∴OE=32,OF=3,
∴EF=1.52+32=352,
∵EF是切线,
∴EF⊥MT,
∴∠MTE=∠EOF=90°,
∵∠MET=∠FEO,
∴△MTE∽△FOE,
∴EMEF=MTOF,
∴EM352=33
∴EM=352,
此时m=352−32,
结合图象可知,当352−32<m≤35−32时,线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点,
综上所述,m的取值范围是﹣6≤m<−92或352−32<m≤35−32.
总结提升:本题属于圆综合题,考查了圆的伴随点的定义,切线的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,学会利用特殊位置解决问题,属于中考压轴题.
20.(2020•丰台区校级开学)已知:点P为图形M上任意一点,点Q为图形N上任意一点,若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ>0,则称图形M与图形N相离.
(1)已知点A(1,2)、B(0,﹣5)、C(2,﹣1)、D(3,4).
①与直线y=3x﹣5相离的点是 ;
②若直线y=3x+b与△ABC相离,求b的取值范围;
(2)设直线y=x+3、直线y=﹣x+3及直线y=﹣3围成的图形为W,正方形T的对角线长为2,两条对角线分别平行于坐标轴,该正方形对角线的交点坐标为(t,0),直接写出正方形T与图形W相离的t的取值范围.
思路引领:(1)①将A,B,C,D四个点的坐标代入直线y=3x﹣5计算即可判断.
②根据直线y=3x+b经过点A,和点C计算b的值即可得出答案.
(2)先画出图形,再分三种情形求出经过特殊位置的T的坐标即可得出答案.
解:(1)①∵点A(1,2),
∴当x=1时,3﹣5=﹣2,
∴点A不在直线y=3x﹣5上,
同理,点C(2,﹣1)不在直线y=3x﹣5上,点B(0,﹣5),点D(3,4)在直线上,
∴与直线y=3x﹣5相离的点是A,C;
故答案为:A,C;
②当直线y=3x+b过点A(1,2)时,
∴3+b=2.
∴b=﹣1.
当直线y=3x+b过点C(2,﹣1)时,
∴6+b=﹣1.
∴b=﹣7.
∴b的取值范围是b>﹣1或b<﹣7.
(2)如图所示,正方形T与图形W相离的t的取值范围是t<﹣4或﹣2<t<2或t>4.
总结提升:本题考查了一次函数综合题,涉及一次函数的性质,正方形的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
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