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    天津市和平区2024届高三下学期一模试题 数学 Word版含答案

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    这是一份天津市和平区2024届高三下学期一模试题 数学 Word版含答案,共12页。试卷主要包含了已知a,,则“”是“”的,25;,设,,,则有等内容,欢迎下载使用。

    温馨提示:本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.祝同学们考试顺利!
    第Ⅰ卷(选择题 共45分)
    注意事项:
    1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.
    2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
    3.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
    参考公式:
    •球的表面积公式,其中R表示球的半径.
    •如果事件A、B互斥,则.
    •如果事件A、B相互独立,则.
    一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.已知集合,,集合,则集合C的子集个数为( )
    A.1B.2C.3D.4
    2.函数的图象大致是( )
    A.B.C.D.
    3.已知等比数列的各项均为正数,若,,成等差数列,则( )
    A.B.C.D.
    4.已知a,,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.既不充分也不必要条件D.充要条件
    5.某市为了减少水资源浪费,计划对居民生活用水实施阶梯水价制度,为确定一个比较合理的标准,从该市随机调查了100位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,则以下四个说法正确的个数为( )
    ①估计居民月均用水量低于的概率为0.25;
    ②估计居民月均用水量的中位数约为;
    ③该市有40万居民,估计全市居民中月均用水量不低于的人数为6万;
    ④根据这100位居民的用水量,采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法,抽取了容量为20人的样本,则在用水量区间中应抽取4人.
    (第5题)
    A.1B.2C.3D.4
    6.设,,,则有( )
    A.B.C.D.
    7.已知函数,是的导数,则以下结论中正确的是( )
    A.函数是奇函数
    B.函数与的值域相同
    C.函数的图象关于直线对称
    D.函数在区间上单调递增
    8.若三棱台的上、下底面均是正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且其各顶点都在表面积为的球O的表面上,,则三棱台的高为( )
    A.B.8C.6或8D.或6
    9.设双曲线的左、右焦点分别为点,,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,,的面积为,且,若双曲线C的实轴长为4,则双曲线C的方程为( )
    A.B.C.D.
    第Ⅱ卷(非选择题 共105分)
    注意事项:
    1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上,答在本试卷上的无效.
    2.本卷共11题,共105分.
    二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分)
    10.i为虚数单位,复数,则______.
    11.在的二项展开式中,的系数为______(请用数字作答).
    12.为深入学习贯彻党的二十大精神,推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台,某单位组织“学习强国”知识竞赛,竞赛共有10道题目,随机抽取3道让参赛者回答,规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道,那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为______;党员甲能通过初试的概率为______.
    13.圆与抛物线的准线相交于A,B两点.若,则抛物线的焦点坐标为______.
    14.青花瓷,常简称青花,代表了我国古代劳动人民智慧的结晶,是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘,已知图二中正六边形的边长为4,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为2,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称.
    (i)请用、表示______;
    (ii)请写出的取值范围______.
    图一 图二
    第(14)题
    15.若函数(其中)在区间上恰有4个零点,则a的取值范围为______.
    三、解答题(本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    16.(本小题满分14分)
    在中,内角A,B,C所对的边分别a,b,c,其中,,且.
    (Ⅰ)求c的值;
    (Ⅱ)求的值;
    (Ⅲ)求的值.
    17.(本小题满分15分)
    如图,四棱锥的底面是正方形,平面,,点E,F分别是棱,的中点,点M是线段上一点.
    第(17)题
    (Ⅰ)求证:平面;
    (Ⅱ)求平面与平面的夹角的余弦值;
    (IⅢ)若直线与平面所成的角的正弦值为,求此时的长度.
    18.(本小题满分15分)
    在平面直角坐标系中,椭圆的左焦点为点F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
    (Ⅰ)求椭圆C的方程;
    (Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,线段的中点为T,直线与椭圆C交于两点M,N,证明:.
    19.(本小题满分15分)
    若数列满足,其中,,则称数列为M数列.
    (Ⅰ)已知数列为M数列,当,时,
    (i)求证:数列是等差数列,并写出数列的通项公式;
    (ii),求.
    (Ⅱ)若是M数列,且,证明:存在正整数n,使得.
    20.(本小题满分16分)
    已知函数,,(,e为自然对数的底数).
    (Ⅰ)求函数的单调区间;
    (Ⅱ)设在处的切线方程为,求证:当时,;
    (Ⅲ)若,存在,使得,且,求证:当时,.
    和平区2023-2024学年度第二学期高三年级第一次质量调查
    数学学科试卷参考答案及评分标准
    一、选择题(分分)
    二、填空题(分分)
    10..11..12.;.
    13..14.;.
    15..
    三、解答题(共75分)
    16.(本小题满分14分)
    解:(Ⅰ)因为,由正弦定理,所以,……1分
    所以,解得,所以.……4分
    (Ⅱ)由余弦定理,……6分
    ,所以.……8分
    (Ⅲ),.……12分
    所以.……14分
    17.(本小题满分15分)
    解:(Ⅰ)证明:因为四棱雉的底面是正方形,平面,所以以点D为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,……1分
    则有,,,,,,.
    因为,,设平面的法向量为,
    则,令,则,……3分
    又因为,则,即,……4分
    由平面,所以平面得证.
    (Ⅱ)设平面与平面的夹角为,
    平面的法向量,平面的法向量,……5分
    所以,,
    则平面与平面的夹角的余弦值为.……8分
    (Ⅲ)设长度为,,
    设直线与平面所成角为,已知,,……10分
    ,……13分
    求得,则此时长度为1.……15分
    18.(本小题满分15分)
    解:(Ⅰ)依题意,,解得所以椭圆C的方程为.……4分
    (Ⅱ)设直线l的方程为,设点,,
    ,联立方程组,整理得.……6分
    ,即,即且.……7分
    由韦达定理得,所以中点,
    所以直线方程为,设点N在第二象限,……10分
    ,联立方程组,求得,,……11分
    所以,……13分
    ……14分
    ……15分
    所以.
    19.(本小题满分15分)
    解:(I)(i)证明:由,可得,……2分
    所以,数列是首项为公差为1的等差数列,
    所以,,……4分
    又因为,所以.……5分
    (ii),,……6分

    设,,

    ,……8分
    所以,,,……9分
    所以,.……10分
    (Ⅱ)若是M数列,有,故,且,
    即……12分
    ,……14分

    ,由随n的增大而增大,
    法(一) 若是M数列,则且,
    且时,,
    故对任意的,总存在正整数n使,
    即总存在正整数n,使得.
    法(二) 若,可得,因为,
    故对任意的,总存在正整数n使,
    即总存在正整数n,使得.……15分
    20.(本小题满分16分)
    解:(Ⅰ)因为,令,即,,……1分
    所以在单调递增,单调递减.……3分
    (Ⅱ)因为,所以,而,……4分
    所以在点处的切线方程为:,……5分
    当时,令,,
    法(一):令,
    ,则时,,所以在上单调递增,,即,所以在上单调递增,,
    所以.
    法(二) 易证,
    所以,,
    所以,
    所以在时恒成立,
    即时,得证.……8分
    (Ⅲ)证明:由题意可知……9分
    因为时,,
    令,,所以在时单调递减,
    所以,所以在为减函数.
    则由(Ⅰ)有在和上单调递减,在上单调递增,……10分
    所以,,
    设,
    设与交点横坐标为,则,有,……11分
    因为,
    可得,……12分
    所以,又,
    所以,……13分
    令,则,,
    法(一): 易证,
    所以,,,
    所以在单调递增.
    法(二) 令,则,
    当时,可得恒成立,在上单调递增,
    ,即恒成立,
    所以在上单调递增.
    在时,,……15分
    所以,……16分
    所以.
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    A
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    D
    B
    D
    C
    C
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