2024年江苏省盐城市景山中学九年级数学中考模拟试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题纸上相应位置）
1. 如图所示的展开图能折叠成的长方体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：利用正方体及其表面展开图的特点依次分析选项可得答案．注意本题两个白面是相对的两个面．
解：根据题中展开图可知，长方体两端是黑色的小正方形，且两个黑面是相对的两个面，两个白面也是相对的两个面．
故选C．
点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式组的解集，然后问题可求解．
【详解】解：，
由①得：；
由②得：，
∴原不等组的解集为，；
在数轴上表示为
故选A．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
3. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论．
【详解】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的，
故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
4. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案．
【详解】解：设，
则……，，
即点，，……，在正比例函数上，
如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点．
故选：D
【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．
5. 我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国 约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国 约达135万亿元，将增长率记作 x ，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用2023年我国的年我国的×（1+我国每年的增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的垂线，垂足为点B，点C在y轴上，且则k的值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，便可求得结果．
【详解】解：连接，如图，
轴，
，
，
，
，
．
故选：C．
7. 如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
根据折叠可得，
故选：B．
8. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设马每匹两，牛每头两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题纸上相应位置）
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
10. 因式分解： ________________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
11. 一元二次方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
12. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右可估计点落入白色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得出答案．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
∴估计点落入白色部分的概率为，
∴估计白色部分的总面积约为，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13. 某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨，B种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求加权平均数、比例的性质等知识点，根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格是解题的关键．
根据已知条件表示出价格变化前后两种糖果的平均价格，进而得到等式化简即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，点A，B在x轴的正半轴上，以为边向上作矩形，过点D的反比例函数的图像经过的中点E．若的面积为1，则k的值为____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，根据题意设点E坐标为，然后表示其他点坐标及线段长度是解题的关键．
根据题意设点E坐标为，则，根据的面积为1，得到,然后求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，E为的中点，
∴，，
设，则，，
∴，则，
∴，
∵的面积为1，
∴，
解得：．
故答案：4．
15. 如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当， 时，A，C两点的距离为____.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．
如图：连接交于点O，可知，在中，可得，从而可求出的长度即可．
【详解】解：如图：连接交于点O，
在菱形中，，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点C作于点G，交于点H，过点B作于点I，过点D作，交延长线于点K，交于点L．若，，则的长为____．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
过点A作于点M，连接，，设，先证明四边形是矩形，四边形和均是矩形，可得，，再根据，可得四边形是正方形，四边形是正方形，从而得到，，，，再由可得，再根据，可得，从而得到，，进而完成解答．
【详解】解：如图，过点A作于点M，连接，，

根据题意得：，
∴，，
设，
∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
同理：四边形和均是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
同理四边形是正方形，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，解得：或0（舍去），
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合计算，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组并将其解集在数轴上表示．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解，然后把解集表示在数轴上．
【详解】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
解集数轴上表示如下：
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，再把代入，即可作答．
【详解】解：
当时，原式．
20. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【小问1详解】
解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
【小问2详解】
将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即，，
∴
21. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？
【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元
【解析】
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜单价为y元，根据：若购买甲种书柜5个、乙种书柜2个，共需资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（24-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费,且乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，求出m的范围，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
解得
答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金为元．
由题意得：．
解得
∵，随增大而减小
∴当时，（元）．
答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元．
【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一元一次不等式，一次函数性质，掌握二元一次方程组解应用题的方法与步骤，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题关键．
22. 如图①，在平行四边形中，将对角线分别向两端延长到点E和F，使得，连接，．

（1）求证：；
（2）连接，，，若，四边形是何种特殊四边形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形性质，得出，则，即可求证；
（2）根据全等是性质得出，则，得出四边形为平行四边形，再根据，即可得出四边形为菱形．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键熟练掌握平行四边形对边平行且相等，对角相等；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；以及全等三角形对应角相等，对应边相等．
23. 如图，在中，，现按如下过程进行尺规作图：
①作边的垂直平分线，交于点O；
②连接，以点O为圆心，为半径，作的外接圆；
③在右侧作；
④在上取点E，使（点E、O不重合），连接．

（1）图中已完成了①和②，请在图中完成③④；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当 时，与相切，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）45，理由见解析
【解析】
【分析】（1）作一个角等于已知角的尺规作图和作一条线段等于已知线段；
（2）先证，推出，再通过等边对等角推出，进而可得，，即可证明四边形是平行四边形；
（3）由切线的定义可得，结合，，可得．
【小问1详解】
解：作图如下；
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问3详解】
解：当时，与相切，理由如下：
与相切，
，
由（2）知，，
，
又，
．
【点睛】本题考查尺规作图，圆的基本知识，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，切线的定义等，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理和切线的定义．
24. 学校无人机兴趣小组进行测量活动．如图，甲楼与乙楼之间的距离为72米．无人机升空后，在点处测得甲楼顶部与乙楼顶部的俯角分别为和，点距地面的高度为50米．无人机沿水平方向由点飞行40米到达点，测得点的俯角为（结果保留整数）．点均在同一竖直平面内．求乙楼的高度．（参考数据：，，．）

【答案】29米
【解析】
【分析】延长，分别交所在直线于点．过点作，垂足为点，设为米，在中，，由可得，在中，，由可得，由可求出的值，最后根据矩形的性质和解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：延长，分别交所在直线于点．过点作，垂足为点，设为米，

在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵四边形MHDF是矩形，
∴，
∴．
答：乙楼的高度为29米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—俯角仰角问题，掌握俯角仰角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25. 甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，已知甲出发后乙开始出发，如图，线段、分别表示甲、乙两车离A地的距离与时间的关系，请结合图中的信息解决如下问题：
（1）计算甲、乙两车的速度及a的值；
（2）乙车到达B地后以原速立即返回．
①在图中画出乙车在返回过程中离A地距离与时间的函数图象；②请问甲车在离B地多远处与返程中的乙车相遇？
【答案】（1）甲车的速度， 乙车的速度，
（2）①见解析，②甲车在离B地处与返程中的乙车相遇．
【解析】
【分析】本题考查的是用函数解决实际问题，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，求出甲、乙两车的速度是解题的关键．
（1）表示出M点的坐标，再根据速度=路程÷时间，分别列式进行计算即可求出两车的速度，再根据甲到达的时间为小时，然后利用路程=速度×时间列式计算即可求出a的值；
（2）①求出甲走完全程的时间，从而得到返回A地的时间，然后作出图形即可； ②先根据相遇问题求出甲车返回途中与乙车相遇的时间，再根据路程=速度×时间求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可知，线段、都经过，
甲车的速度，
乙车的速度，
∴；
【小问2详解】
①∵小时，
∴乙车到达B地，所用时间为小时，
∴的横坐标为，
∴小时返回A地，
∴乙车在返回过程中离A地的距离与时间的函数图象为线段；

②甲车离A地的距离是：；
设乙车返回与甲车相遇所用时间为，
则，
解得，
∴，
答：甲车在离B地处与返程中的乙车相遇．
26. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）函数的图象上有两个“等值点”或；
（2）或；
（3）当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．
【解析】
【分析】（）根据定义分别求解即可求得答案；
（）根据定义分别求，，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为，可得与的图象关于对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【小问1详解】
在中，令，得不成立，
∴函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图象上有两个“等值点”或；
【小问2详解】
在函数中，令，
解得：，
∴，
在函数中，令，
解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
当时，，
解得:，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，
解得：或，
综上所述，的值为或；
【小问3详解】
令，
解得：，，
∴函数的图象上有两个“等值点”或，
当时，，两部分组成的图象上必有个“等值点”或，
：，
：，
令，
整理得：，
∵的图象上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
当时，有个“等值点”，，，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．
【点睛】此题考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性，掌握计算方法，结合一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识是解题的关键．
27. 某学习小组开展了图形旋转的探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，连结．
（1）如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求的长．
（2）如图2，连结，过点作交于点M．观察思考线段与数量关系并说明理由．
（3）在（2）的条件下，射线交于点N（如图3），若，旋转角等于多少度时是等边三角形，请写出的值，并说明是等边三角形的理由．
【答案】（1）1＋；
（2）M＝DM，理由见解析；
（3）＝60°，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质和旋转的性质证明点A、B、在同一条直线上，再证明△B∽△ABD，设BC＝DA＝A＝x，则B＝x﹣2，由相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可；
（2）连结D，由A＝AD得∠AD＝∠AD，由MA得∠AM＝∠A，再证明∠AM＝∠ADB，则∠AD﹣∠AM＝∠AD﹣∠ADB，得∠MD＝∠MD，即可得到M＝DM；
（3）＝60°，先证明△AM≌△ADM，得∠MA＝∠MAD＝＝30°，再证明∠NA＝∠ADM＝30°，则∠NA+∠MA＝∠ADM+∠MAD＝60°，此可证得∠NAM＝∠NMA，则MN＝AN，又∠NAM＝∠NA+∠MA＝60°，即可得证．
【小问1详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，BC＝DA，∠BAD＝90°，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形，
∴∠AD＝∠BAD＝90°，＝CD＝AB＝2，
∴AB与A重合，即点A、B、在同一条直线上，
设BC＝DA＝A＝x，则B＝x﹣2，
∵∠＝∠BAD＝90°，∠B＝∠ABD，
∴△B∽△∠ABD，
∴，
∴，
解得x1＝1＋，x2＝1－（不符合题意，舍去），
∴BC＝1＋．
【小问2详解】
解：M＝DM，理由如下：
如图4，连结D，
∵A＝AD，
∴∠AD＝∠AD，
∵＝AB，∠A＝∠BAD＝90°，A＝DA，
∴△A≌△BAD（SAS），
∴∠A＝∠ADB，
∵MA，
∴∠AM＝∠A，
∴∠AM＝∠ADB，
∴∠AD﹣∠AM＝∠AD﹣∠ADB，
∴∠MD＝∠MD，
∴M＝DM．
【小问3详解】
解：＝60°，理由如下：
如图5，连结AM，
∵A＝AD，M＝DM，AM＝AM，
∴△AM≌△ADM（SSS），
∴∠AM＝∠ADM，∠MA＝∠MAD＝∠DA＝＝30°，
∵∠AM＝∠NA，
∴∠NA＝∠ADM＝30°，
∴∠NA+∠MA＝∠ADM+∠MAD＝60°，
∵∠NAM＝∠NA+∠MA，∠NMA＝∠ADM+∠MAD，
∴∠NAM＝∠NMA，
∴MN＝AN，
∴△AMN是等腰三角形，
∵∠NAM＝∠NA+∠MA＝60°，
∴△AMN是等边三角形．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、分式方程和一元二次方程等知识与方法，此题难度较大，属于常考题．