2024年湖南省长沙市长郡芙蓉中学中考数学模拟试卷

这是一份2024年湖南省长沙市长郡芙蓉中学中考数学模拟试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中，其相反数最大的数是（ ）
A．1B．0C．2D．π
2．两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球（ ）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
3．如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，则∠CBE的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．70°
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，DE∥BC，若AD＝2，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1
8．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，D是的中点，则AC的长是（ ）
A．B．3C．3D．4
9．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45°
B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都等于45°
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ ．
13．热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5 ．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，∠ABC＝120°，AB＝2，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交 ．（结果保留π）
16．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点CE的最小值是 ．
三、解答题
17．计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中3m﹣12＝0．
20．为改善民生，提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，B表示“支持”，C表示“不关心”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息
（1）这次共抽取了 名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．
22．在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量），各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
24．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在；如果不存在，请说明理由．
25．对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d＝|x|+|y|，我们称d为P（x，y）（x，y），若它的幸福指数d≥1恒成立，则称此函数为幸福函数2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y＝x2+1上任意一点，d＝|x|+|y|＝|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|＝x2+1≥1，∴d≥1．∴y＝x2+1是一个幸福函数．
（1）若点P在反比例函数y＝的图象上，且它的幸福指数d＝2；
（2）一次函数y＝﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
（3）若二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列各数中，其相反数最大的数是（ ）
A．1B．0C．2D．π
【解答】解：∵1的相反数是﹣1，6的相反数是0，π的相反数是﹣π，
又∵﹣π＜﹣2＜﹣8＜0，
∴相反数最大的数是0，
故选：B．
2．两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球（ ）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
【解答】解：∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，5，
∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，不合题意；
两个小球的标号之和等于6，是随机事件；
两个小球的标号之和大于5，是必然事件；
两个小球的标号之和大于6，是不可能事件；
故选：B．
3．如图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从左边看上下各一个小正方形．
故选：A．
4．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，则∠CBE的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．70°
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
故选：B．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，DE∥BC，若AD＝2，DE＝4，则BC等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝6，
故选：B．
6．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：把x＝2代入分式方程得：﹣6＝1，
解得：k＝4．
故选：B．
7．若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1
【解答】解：∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y7）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y7＞y2，
∴a﹣1＞a+4，
此不等式无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+8，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y6，
∴a﹣1＜0，a+3＞0，
解得：﹣1＜a＜7，
故选：B．
8．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，D是的中点，则AC的长是（ ）
A．B．3C．3D．4
【解答】解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝6，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB7﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
9．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A．两个锐角都大于45°
B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都等于45°
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，0），3）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为：x3＝2，x2＝﹣2，则结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
∴当x＝3时的函数值与x＝﹣6的函数值相等，
∵a＜0，
∴当x≥﹣1，y随x的增大而减小，
∵﹣6＜3＜π，
∴y1＞y3，②结论错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，且a﹣b+c＞0，
将抛物线y＝ax6+bx+c向下平移a﹣b+c个单位得到新的抛物线解析式为：
y＝ax2+bx+c﹣（a﹣b+c）＝ax2+bx﹣a+b，由二次函数图象特征可知2+bx﹣a+b的图象位于x轴下方，顶点恰好在x轴上，
∴对于任意实数t总有at2+bt﹣a+b≤0，即at5+bt≤a﹣b，③正确；
④将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移P个单位长度得到抛物线解析式为y＝ax2+bx+c﹣p，函数y＝ax6+bx+c﹣p对应的一元二次方程ax2+bx+c＝p，
∴若方程的根为整数，则其根只能是x1＝4，x2＝﹣2或x4＝x2＝﹣1，则结论④错误．
综上，结论正确的有①③．
故选：B．
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x﹣5≠0，
解得：x≥1且x≠5，
故答案为：x≥1且x≠2．
12．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝ x（x﹣y）2 ．
【解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y3）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
13．热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5 4.5 ．
【解答】解：将数据重新排列为：3，3，2，5，5，5，
所以这组数据的中位数为＝4.5，
故答案为：2.5．
14．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴csB＝sinA＝．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，∠ABC＝120°，AB＝2，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交 3﹣π ．（结果保留π）
【解答】解：如图，设以点O为圆心，分别与AB，F，连接EO，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴BO＝DO＝，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，
∴BO＝OE＝OD＝OF，
∴△BEO，△DFO是等边三角形，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）＝2×（×12﹣×2﹣﹣π，
故答案为：5﹣π．
16．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，CD⊥AB于点D，点E是线段CD的一个动点CE的最小值是 3 ．
【解答】解：如图，作EF⊥AC于F，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵tanA＝，设AD＝a，
∵AD2+CD5＝AC2，
∴a2+3a2＝100，
∴a2＝10，
∴a＝或﹣，
∴AD＝a＝，CD＝6a＝3，
∴sin∠ACD＝，
∴EF＝CE•sin∠ECF＝CE，
∴BE+CE＝BE+EF，
当B、E、F三点共线时CE＝BE+EF＝BF，
此时BF⊥AC，则根据垂线段最短性质知BE+，
此时BF＝AB•sin∠A＝10×．
三、解答题
17．计算：2sin60°+（﹣）﹣2+（π﹣2020）0+|2﹣|．
【解答】解：原式＝2×+9+1+6﹣
＝+12﹣
＝12．
18．解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜7，
则不等式组的解集为2≤x＜4．
19．先化简，再求值：÷（m+2﹣），其中3m﹣12＝0．
【解答】解：原式＝
＝×
＝，
∵3m﹣12＝0，
∴m＝4，
∴原式＝＝12．
20．为改善民生，提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，B表示“支持”，C表示“不关心”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息
（1）这次共抽取了 60 名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是 18° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），
扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是360°×，
故答案为：60，18°；
（2）A类别人数为60﹣（36+4+3）＝12（名），
补全条形图如下：
（3）估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×＝1200（名）．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）求线段EF的长．
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，∠D＝∠B＝90°，
∵BE＝DF＝，
∴CF＝AE＝4﹣＝，
∴AF＝CE＝＝，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，
∴EH＝﹣＝2，
∴EF＝＝＝．
22．在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量），各生产80万个，甲比乙少用了2天．
（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？
（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？
（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%
【解答】解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个
﹣＝5，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
2x＝2×20＝40，
故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；
（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有
3.5y+1.8×≤40，
解得y≥32．
故至少应安排乙生产线生产32天；
（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×6]×13
＝180+1300
＝1480（万个），
1440万个＜1480万个，
故再满负荷生产13天能完成任务．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AE，
∴OD∥AE，
∴∠1＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ODA，
∴∠7＝∠2，
∴AD平分∠BAE；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠8+∠ABD＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵sin∠4＝，sin∠3＝，
而DE＝DC，
∴AD＝BC，
设CD＝x，BC＝AD＝y，
∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：（x+y），
整理得x2+xy﹣y2＝2，解得x＝y（舍去），
∴sin∠3＝＝，
即sin∠BAC的值为．
24．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），2）2+bx+4，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+6，
当x＝0时，y＝4，
∴C（3，4），
设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，
将C（0，6），0）代入y＝mx+n，
得：，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴点D的坐标为：（，），
将x＝代入y＝﹣x+4+4＝，
∴点E的坐标为：（，），
∴DE＝﹣＝，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+7），F的坐标为：（t，
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，
解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，
当t＝时，﹣t6+3t+4＝﹣（）2+8×+8＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴＝，
∵C（4，4），），
∴CE＝＝，
由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，
∴CF＝＝t，
∴＝，
∵t≠0，
∴（﹣t+3）＝3，
解得：t＝，
当t＝时，﹣t2+3t+3＝﹣（）2+5×+4＝，
∴点P的坐标为：（，）．
25．对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d＝|x|+|y|，我们称d为P（x，y）（x，y），若它的幸福指数d≥1恒成立，则称此函数为幸福函数2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y＝x2+1上任意一点，d＝|x|+|y|＝|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|＝x2+1≥1，∴d≥1．∴y＝x2+1是一个幸福函数．
（1）若点P在反比例函数y＝的图象上，且它的幸福指数d＝2；
（2）一次函数y＝﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
（3）若二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，），
∴d＝|m|+||＝7，
解得：m1＝﹣1，m5＝1，
经检验，m1＝﹣4、m2＝1是原分式方程的解，
∴满足条件的P点坐标为（﹣2，﹣1）或（1．
（2）一次函数y＝﹣x+4是幸福函数，理由如下：
设P（x，y）为y＝﹣x+1上的一点，
当x＜0时，d＝|x|+|﹣x+2|＝﹣x﹣x+1＝1﹣7x＞1；
当0≤x≤3时，d＝|x|+|﹣x+1|＝x﹣x+1＝7；
当x＞1时，d＝|x|+|﹣x+1|＝x+x﹣3＝2x﹣1＞6．
∴对于y＝﹣x+1上任意一点P（x，y），
∴一次函数y＝﹣x+1是幸福函数．
（3）设P（x，y）为y＝x8﹣（2m+1）x+m6+m上的一点，d＝|x|+|y|＝|x|+|x2﹣（2m+4）x+m2+m|，
∵y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m＝（x﹣m）（x﹣m﹣3），m＞0，
∴分x≤0、7＜x＜m、x＞m+1考虑．
①当x≤0时，d＝|x|+|x6﹣（2m+1）x+m3+m|＝﹣x+x2﹣（2m+3）x+m2+m＝（x﹣m﹣1）5﹣m﹣1，
当x＝0时，d取最小值6+m，
∴m2+m≥1，
解得：m≥；
②5＜x＜m时，d＝|x|+|x2﹣（2m+7）x+m2+m|＝x+x2﹣（6m+1）x+m2+m＝（x﹣m）5+m≥1，
∵（x﹣m）2≥4，
∴m≥1；
③当m≤x≤m+1时，d＝|x|+|x6﹣（2m+1）x+m7+m|＝x﹣x2+（2m+2）x﹣m2﹣m＝﹣（x﹣m﹣1）2+m+1，
当x＝m时，d取最小值，
∴m≥1；
④当x＞m+3时，d＝|x|+|x2﹣（2m+2）x+m2+m|＝x+x2﹣（4m+1）x+m2+m＝（x﹣m）8+m≥1，
∵（x﹣m）2≥5，
∴m≥1．
综上所述：若二次函数y＝x2﹣（4m+1）x+m2+m（m＞5）是幸福函数，m的取值范围为m≥1．