2023-2024学年四川省德阳市中江县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省德阳市中江县八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.式子 x+3有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥3B. x≤3C. x≥−3D. x≤−3
2.下列二次根式： 5、 13、−2 a2b、 x2+y2中，是最简二次根式的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.下列运算中，正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 3− 2=1C. 3× 2= 6D. 3÷ 2= 32
4.满足下列条件的三角形中，不能判断三角形为直角三角形的是( )
A. 三角形三边长为7，24，25B. 三角形的三内角度数之比为3：4：5
C. 在△ABC中，∠A=∠B+∠CD. 三角形的三边之比为1： 2： 3
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )
A. 225
B. 200
C. 150
D. 无法计算
6.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为( )
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
7.若x=3− 2023，则代数式x2−6x−8的值是( )
A. 2006B. 2005C. 2004D. 2003
8.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. −3− 5B. 3− 5C. − 5D. −3+ 5
9.将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是( )
A. h≤19
B. 11≤h≤19
C. 12≤h≤19
D. 13≤h≤19
10.(易错题)把−a 1a根号外的因式移到根号内的结果是( )
A. aB. −aC. − aD. − −a
11.如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，且AB=6，AD=5，AC=8，则△ABC的面积为( )
A. 48B. 30C. 24D. 15
12.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2<2(AD2+AB2).其中结论正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
13.计算： 2a⋅ 6a= ______．
14.若 12与最简二次根式 m+1可以合并，则m= ______．
15.已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ．
16.如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知AD=6米，AB=5米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是______米．
17.如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC=6，BC=8时，则阴影部分的面积为______．
18.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′=______．
19.观察并分析下列数据，寻找规律：0， 2，2， 6，2 2， 10，2 3，…那么第10个数据应是______．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
20.计算：
(1) 48÷ 3+2 15× 30−(2 2+ 3)2
(2)(−12)−2−(−1)2012×(π− 2)0− (−4)2+ 25
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知a= 11+4，b= 11−4，求下列代数式的值．
(1)a2−b2；
(2)a2+b2+ab．
22.(本小题12分)
荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动.有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送1.8m(水平距离BC=1.8m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=CE=1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
23.(本小题12分)
如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为 72m，宽AB为 32m，现要在空地中划出一块长方形地养鸡(即图中阴影部分)，其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为( 10+1)m，宽为( 10−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)若市场上蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
24.(本小题12分)
如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9，
(1)求DC的长．
(2)求证：△ABC是直角三角形．
25.(本小题14分)
如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A−B−C−D回到点A，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t=3秒时，求△ABP的面积；
(2)当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
(3)当t为何值时(2答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥−3．
故选：C．
根据二次根式的性质和被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
此题主要考查了二次根式的意义的条件．关键是把握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解： 5， 13，−2 a2b， x2+y2中是最简二次根式的有 5， x2+y2，共2个．
故选：B．
根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3.【答案】C
【解析】解：A.不是同类二次根式不能合并，选项错误；
B.不是同类二次根式不能合并，选项错误；
C. 3× 2= 3×2= 6，选项正确；
D. 3÷ 2= 3 2= 62，选项错误；
故选：C．
根据二次根式的运算法则进行判断便可．
本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.∵72+242=49+576=625=252，根据勾股定理的逆定理，
可判断该三角形为直角三角形；
B.∵三个角的度数比为3：4：5，所以这个三角形三个角的度数为：45°、60°、75°，
∴该三角形不是直角三角形；
C.∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，该三角形为直角三角形；
D.∵三角形三边的比为1： 2： 3，则三角形的三边长分别为a、 2a、 3a，
由于a2+( 2a)2=3a2=( 3a)2，
∴该三角形为直角三角形．
故选：B．
利用三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理逐个判断得结论．
本题主要考查了直角三角形的判断，掌握三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理等知识点是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=152=225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
根据勾股定理得AC2+BC2=AB2=152=225，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：直角三角形较短的直角边为 102−82=6，
所以，正方形EFGH的面积=10×10−8×6÷2×4=100−96=4．
故选：A．
根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积−4个全等的直角三角形的面积，求出即可．
本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题．
7.【答案】A
【解析】解：∵x=3− 2023，
∴x−3=− 2023；
∴x2−6x−8
=(x−3)2−17
=(− 2023)2−17
=2023−17
=2006．
故选：A．
对原式配方再根据已知条件代入求解即可．
本题主要考查了二次根式化简求值和完全平方公式的运用，对原式能进行正确的变形是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，
在Rt△BCD中，由勾股定理，得
BD= BC2+CD2= 22+12= 5，
由圆的性质，得
AB=BD= 5，
∴−3−a= 5，
∴a=−3− 5，
故选：A．
根据勾股定理，可得圆的半径，根据圆的性质，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出BD的长是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
此时h=24−5=19(cm)，
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD=12cm，BD=5cm，
∴AB= AD2+BD2= 122+52=13(cm)，
此时h=24−13=11(cm)，
所以h的取值范围是11≤h≤19．
故选：B．
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后根据勾股定理求出AB的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：由二次根式的意义可知a>0，
∴−a 1a=− a2a=− a．
故选：C．
如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算．从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
11.【答案】C
【解析】解：如图，延长AD至点E，使得DE=AD，连接CE，
在△ABD和△CDE中，
AD=DE∠ADB=∠CDEBD=CD，
∴△ABD≌△CDE(SAS)，
∴AB=CE=6，AD=DE=5，
∴AE=10，
∵AC=8，
∴62+82=102，
∴CE2+AC2=AE2，
∴△ACE是直角三角形，
∴△ABC的面积=△AEC的面积=12AC⋅CE=12×8×6=24．
故选：C．
延长AD至点E，使得DE=AD，连接CE，可证△ABD≌△CDE(SAS)，可得AB=CE=6，AD=DE=5，然后根据勾股定理逆定理证明△ACE是直角三角形，利用△ABC的面积=△AEC的面积，即可解决问题．
本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，三角形的面积等知识，得到△ACE是直角三角形是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：
BE2=BD2+DE2，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE= 2AD，
即DE2=2AD2，
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，
∵BC= 2AB，
∴BC2=2AB2，
∵BD∴BD2<2AB2
∴BE2<2(AD2+AB2).故④正确，
综上，正确的个数为4个．
故选：D．
①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
13.【答案】2 3a
【解析】解： 2a⋅ 6a= 2a⋅6a= 12a2=2 3a，
故答案为：2 3a．
根据二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解： 12=2 3，
∵ 12与最简二次根式 m+1可以合并，
∴m+1=3，
解得：m=2．
故答案为：2．
根据二次根式的性质得出 12=2 3，根据同类二次根式的定义得出m+1=3，再求出m即可．
本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程m+1=3是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
15.【答案】4或 34
【解析】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x= 52−32=4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x= 52+32= 34．
综上所述，第三边的长为4或 34．
故答案为：4或 34．
由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
16.【答案】 85
【解析】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为5+2×1=7米；宽为6米．
于是最短路径为： 72+62= 85米．
故答案为： 85
解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
17.【答案】24
【解析】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 62+82=10，
所以阴影部分的面积S=12×π×32+12×π×42+12×6×8−12⋅π×52=24，
故答案为：24．
根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，即可得出答案．
本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．
18.【答案】1.5
【解析】解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，
设BE=EB′=x，则EC=4−x，
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC= AB2+BC2= 32+42=5，
∴B′C=5−3=2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=(4−x)2，
解得x=1.5，
故答案为：1.5．
首先根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3，然后设BE=EB′=x，则EC=4−x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理可得方程x2+22=(4−x)2，再解方程即可算出答案．
此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的．
19.【答案】3 2
【解析】解：第十个数为 2(10−1)= 18=3 2．
故答案为：3 2．
根据0， 2，2， 6，2 2， 10，2 3，…即可得到0， 2， 4， 6， 8， 10， 12…，从而得到第n个数为 2(n−1)．
本题考查了二次根式的定义，能够由题中得出的规律求解一些第几项的值的问题．
20.【答案】解：(1)原式= 48÷3+2 15×30−(8+4 6+3)
=4+2 6−11−4 6
=−7−2 6；
(2)原式=4−1×1−4+5
=4−1−4+5
=4．
【解析】(1)先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；
(2)根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21.【答案】解：(1)∵a= 11+4，b= 11−4，
∴a+b= 11+4+ 11−4=2 11，a+b= 11+4− 11+4=8，
则a2−b2=(a+b)(a−b)=2 11×8=16 11．
(2)∵a= 11+4，b= 11−4，
∴a+b= 11+4+ 11−4=2 11，ab=( 11+4)( 11−4)=−5，
则a2+b2+ab=(a+b)2−ab=(2 11)2+5=49．
【解析】(1)根据平方差公式将原式整理成(a+b)(a−b)，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
(2)根据完全平方公式将原式整理成(a+b)2−ab，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算，正确进行计算是解题关键．
22.【答案】解：由题意得：∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
设绳索AD的长度为x m，则AC=(x−1.1+0.5)m，
∴x2=1.82+(x−0.6)2，
解得：x=2.4，
答：绳索AD的长度是2.4m．
【解析】设绳索AD的长度为x m，则AC=(x−0.6)m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)长方形ABCD的周长=2×( 72+ 32)=2×(6 2+4 2)=20 2(m)．
答：长方形ABCD的周长是20 2m；
(2)蔬菜地的面积= 72× 32−( 10+1)×( 10−1)
=48−(10−1)=39(m2).
39×8×15=4680(元)．
答：张大伯如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
【解析】(1)利用长方形的周长公式即可求解；
(2)先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵CD⊥AB
∴∠CDB=∠CDA=90°，
在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9，
∴根据勾股定理，得CD= BC2−BD2=12，
(2)证明：在Rt△CDA中，∵CD2+AD2=AC2
∴122+AD2=202
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25，
∴AC2+BC2=202+152=625=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)直接根据勾股定理求出CD的长；
(2)根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，求出AB是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)
当t=3时，点P的路程为2×3=6cm，
∵AB=4cm，BC=6cm
∴点P在BC上，
∴S△ABP=12AB⋅BP=4(cm2).
(2)
(Ⅰ)若点P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4
∴BP=2t−4=3，
∴t=72；
(Ⅱ)若点P在DC上，
则在Rt△ADP中，AP是斜边，
∵AD=6，
∴AP>6，
∴AP≠5；
(Ⅲ)若点P在AD上，
AP=5，
则点P的路程为20−5=15，
∴t=152，
综上，当t=72秒或t=152时，AP=5cm．
(3)当2∵BP=2t−4，CP=10−2t，
∴AP2=AB2+BP2=42+(2t−4)2
由题意，有AD2+CP2=AP2
∴62+(10−2t)2=42+(2t−4)2
∴t=133<5，
即t=133．
【解析】(1)求出P运动的距离，得出O在BC上，根据三角形面积公式求出即可；
(2)分为三种情况：P在BC上，P在DC上，P在AD上，根据勾股定理得出关于t的方程，求出即可；
(3)求出BP=2t−4，CP=10−2t，根据AP2=AB2+BP2=42+(2t−4)2和AD2+CP2=AP2得出方程62+(10−2t)2=42+(2t−4)2，求出方程的解即可．
本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，矩形性质的应用，注意要进行分类讨论．