2024年河南省洛阳市中考数学质检模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 下列实数：，0，，，其中最小的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数大小比较的法则解答．
【详解】解：∵，
∴最小的数是，
故选：A．
【点睛】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
【详解】，故选项A不合题意；
，故选项B不合题意；
，故选项C不合题意；
，故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
3. 数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人．数据“3.46亿”用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】3.46亿=
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
4. 如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
【详解】∵
∴
∵
∴
故选：B
【点睛】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°．
5. 如果，那么代数式的值是（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先将等式变形可得，然后根据分式各个运算法则化简，最后利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵
∴
=
=
=
=
=1
故选C．
【点睛】此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的运算法则是解决此题的关键．
6. 如图，是半圆的直径，，是上两点，连接，并延长交于点，连接，，如果，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，
【详解】连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个实根是解题的关键，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
故选：．
8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
9. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定、、的正负，再利用代入解析式，得到的正负即可判定两个函数的图象所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限；
故选：A．
10. 如图，点从四条边都相等的的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题综合考查了性质，动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．
【详解】解：过点作于点
∵的四条边都相等，
∴．
由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．
，
，
，
当点从点到点时，用时为
，
中，
，
的四条边都相等，
，
中，
，
解得：
故选：C．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 某种商品原价每件a元，第一次降价打“八折”，第二次降价又减10元．则两次降价后的售价为________元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列代数式，列代数式注意规范书写格式．先表示出打“八折”后售价为元，再表示出第二次降价又减10元的售价为元．
【详解】解：第一次降价打“八折”为元，
第二次降价又减10元为元，
故答案为：元．
12. 不等式组所有整数解的和为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再确定出不等式组所有整数解即可求解.
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集是，
不等式组所有整数解是：-1，0，1，2，
不等式组所有整数解的和为.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键.
13. 根据如图所示的统计图，回答问题：
该超市年月的水果类销售额________月的水果类销售额（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查条形统计图与折线图的综合运用，掌握统计图的信息的关系是解题的关键，根据销售总额与占比计算出相应的量进行比较即可求解．
【详解】解：某超市月的销售总额为万元，水果类销售额占比为，
∴某超市月水果类的销售额为：万元；
某超市月销售总额为万元，水果类销售额占比为，
∴某超市月水果类的销售额为：万元；
∵，
故答案为：．
14. 如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为________．

【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称求最短路径的方法是解题的关键．
根据题意可求出，作点关于的对称点，可得最小，则扇形周长最小，由此即可求解．
【详解】解：∵平分，，
∴，
设扇形的半径，
∴的长为：，
阴影部分的周长最小为，
如图所示，作点关于的对称点，连接与交于点，此时，的值最小，即阴影部分的周长最小，

∴，
∴，
即，
解得，，
故答案为：．
15. 如图，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC上的中点．点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP＝__．
【答案】5或
【解析】
【分析】根据勾股定理算出AB，由已知得到DB，然后根据三角形相似和平行线分线段成比例定理可以得到PB的两个可能值 ．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵D是BC中点，
∴CD＝BD＝4，
分两种情形：①当∠DPB＝90°时，△DPB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．
②当∠PDB＝90°，易证：DP∥AC，
∵CD＝DB，
∴AP＝PB＝5，
综上所述，满足条件的PB的值为5或．
故答案为5或 ．
【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理、三角形相似的判定和性质及平行线分线段成比例定理是解题关键．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减和代数式求值．主要考查学生的化简能力和计算能力．
（1）代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简即可．
（2）先算利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】（1）解：原式

．
（2）解：原式
，
当时，原式．
17. 为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的__________；
（2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
【答案】（1）9；（2）72；（3）12，10；（4）该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图可知D组所占百分比，然后问题可求解；
（2）由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解；
（3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列，进而可得组数据的众数及中位数；
（4）根据题意可得50名被调查的人中不少于15双的人数所占的百分比，然后问题可求解．
【详解】解：（1）由统计图可得：；
故答案为9；
（2）由统计图可得组对应扇形的圆心角为；
故答案为72；
（3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列为：、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、10、11、12、12、12、13；
∴在组（）数据的众数是；
调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为；
故答案为12，10；
（4）由题意得：
（名）；
答：该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．
【点睛】本题主要考查中位数、众数及扇形统计图，熟练掌握中位数、众数及扇形统计图是解题的关键．
18. 如图，是菱形的对角线，，

（1）请用尺规作图作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质，垂直平分线的画法及性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质的综合，掌握菱形的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的画法即可求解；
（2）根据菱形的性质，分别求出的度数，根据含角的直角三角形的性质，设，可用含的式子表示的长，由此即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，直线即为所求；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
作于，则，

设，则，，，
∴．
19. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【答案】（1）；
（2）4 （3）点E的坐标为
【解析】
【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用的面积，即可求解；
（3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解.
【小问1详解】
解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
【小问2详解】
解：设一次函数与x轴交于点D，
xx令，则，令，则，
∴的面积
；
；
【小问3详解】
解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得，
∴.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键．
20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长，支撑板长，底座长．托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．若，，求点A到直线的距离；（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】如图，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，则四边形是矩形，在中，由求的值，进而可得的值，根据角度之间的数量关系求得，，则，在中，求的值，根据计算求解即可．
【详解】解：如图，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，则四边形是矩形，
由题意可知，，，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：点A到直线距离约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于确定线段之间的数量关系．
21. 如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．

（1）求证：是的切线；
（2）已知的半径与菱形的边长之比为，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用垂径定理得，利用菱形的性质得，利用半径相等得，即可证明，据此即可证明结论成立；
（2）设，由题意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形性质求得，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵，由垂径定理知，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴设，
∵的半径与菱形的边长之比为，
∴在中，，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）c的值为__________；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【小问1详解】
解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
【小问2详解】
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
【小问3详解】
解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
23. 综合与实践
数学活动课上同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片，其中
（1）操作判断
将矩形纸片按图1折叠，使点落在上的点处，可得到一个角，请你写出一个的角．
（2）探究发现
将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点，将沿折叠得到，延长交于点，求的周长．
（3）拓展应用
改变图2中点的位置，令点为射线上一动点，按照（2）中方式将沿折叠得到，所在直线交于点，若点为的三分点，请直接写出此时的长．
【答案】（1）（或）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论；
（2）连结，先证明四边形是矩形，可得，由折叠性质并结合为的中点可得到，，，然后证明可得到，最后计算；
（3）分两种情况计算：①当点为的三分点且靠近点时，②当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的角有（或）．
【小问2详解】
解：连结，
∵四边形矩形，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠性质得：，
∵为的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴的周长为：
．
【小问3详解】
解：①如图，当点为的三分点且靠近点，连接，
∴，
∴，
在中，，
；
②如图，当点为的三分点且靠近点时，连接，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
组别
使用数量（双）
频数
14
10
合
50