陕西省西安市长安区2024届高三下学期第一模拟考试理科数学试卷(含答案)

这是一份陕西省西安市长安区2024届高三下学期第一模拟考试理科数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,则的子集个数为( )
A.8B.16C.32D.64
2．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．等于( )
A.B.C.D.1
4．算盘起源于中国,迄今已有2600多年的历史,是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前,算盘是世界广为使用的计算工具,下图一展示的是一把算盘的初始状态,自右向左分别表示个位,十位,百位,千位,,上面的一粒珠子(简称上珠)代表5,下面的一粒珠子(简称下珠)代表1,五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二,个位上拨动一粒上珠,两粒下珠,十位上拨动一粒下珠至梁上,代表数字17.现将算盘的个位,十位,百位,千位,万位,十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上,则表示的六位数至多含4个5的情况有( )
A.57种B.58种C.59种D.60种
5．在中,点D是线段AC上一点,点P是线段BD上一点,且,,则( )
A.B.C.D.
6．已知圆,直线,若圆C上任意一点关于直线的对称点仍在圆C上,则点必在( )
A.一个离心率为的椭圆上B.一个离心率为2的双曲线上
C.一个离心率为的椭圆上D.一个离心率为的双曲线上
7．的展开式中的系数为( )
A.B.C.40D.80
8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?现有这样一个相关的问题:被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前n项和为,则的最小值为( )
A.60B.61C.75D.76
9．设P为抛物线上的动点,关于P的对称点为B,记P到直线,的距离分别,,则的最小值为( )
A.B.C.D.
10．已知函数,若存在实数,,,满足,则错误的是( )
A.B.C.D.
11．已知函数,关于有下面说法:
①函数的最小正周期为.
②函数在单调递减.
③函数的图像关于y轴对称.
④函数的最小值是则正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
12．如图,在棱长为2的正方体中,E,F,G,M,N均为所在棱的中点,动点P在正方体表面运动,则下列结论中正确的个数为( )
①P在BC中点时,平面平面GMN
②异面直线EF,GN所成角的余弦值为
③E,F,G,M,N在同一个球面上
④,则P点轨迹长度为
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
13．若x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为________.
14．已知,x,,i是虚数单位,复数是实数.则的最小值为________.
15．某网店统计了A商品最近40天的日销售量,日销售量依次构成数列,已知,且,则A商品这40天的总销量为________.
16．若不等式恒成立,则实数a的取值范围为________.
三、解答题
17．某公司有甲,乙,丙三个部门,其员工人数分别为6,15,21,员工A隶属于甲部门.在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查,已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为,且每个人血检是否呈阳性相互独立.
（1）现采用分层抽样的方法从中抽取14人进行前期调查,求从甲,乙,丙三个部门的员工中分别抽取多少人,并求员工A被抽到的概率;
（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验;若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验.记X为甲部门此次检查中血样化验的总次数,求X的分布列和期望.
18．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设.
（1）求B;
（2）若的面积等于,求的周长的最小值.
19．如图,在三棱锥中,侧面PAC是边长为1的正三角形,,,E,F分别为PC,PB的中点,平面AEF与底面ABC的交线为l.
（1）证明:平面PBC;
（2）若三棱锥的体积为,试问在直线上是否存在点Q,使得直线PQ与平面AEF所成的角为,异面直线PQ与EF所成的角为,且满足.若存在,求出线段AQ的长度;若不存在,请说明理由.
20．已知椭圆的短轴长等于焦距,且过点
（1）求椭圆C的方程;
（2）P为直线上一动点,记椭圆C的上下顶点为A,B,直线PA,PB分别交椭圆C于点M,N,当与的面积之比为时,求直线MN的斜率.
21．已知函数,.
（1）若函数的图像在处的切线与直线垂直,求a的值并求函数的极值;
（2）若恒成立,求证:对任意正整数,都有.
22．在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
（2）曲线与交于A,B两点,求直线AB的直角坐标方程及.
23．已知函数.
（1）若,求的解集;
（2）若关于x的不等式有解,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,,
所以,所以中含有个元素,
所以的子集有(个).
故选:C
2．答案：B
解析：因为圆的圆心为,半径,
圆的圆心为,半径,
又,所以两圆相内切,
又表示圆及圆内的点,
表示圆及圆内的点,
即由推不出,故充分性不成立,
由推得出,故必要性成立,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
3．答案：C
解析：
.
故选:C
4．答案：A
解析：至多含4个5,有以下5种情况:
不含5,有种;含1个5,有种;
含2个5,有种;含3个5,有种;
含4个5,有种;
所以,所有的可能情况共有种,
故选:A.
5．答案：A
解析：因为,所以,即,
又,所以,
因为点P是线段上一点,即B,P,D三点共线,
所以,解得.
故选:A
6．答案：B
解析：圆的圆心为,
依题意可知直线l过圆C的圆心,则,
所以点必在双曲线即上,且该双曲线的离心率.
故选:D.
7．答案：B
解析：因为,
故可以来自5个因式的2个因式提供x,余下3个因式提供,
或者5个因式的3个因式提供x,余下1个因式提供,一个因式提供,
故的系数为,
故选:B.
8．答案：B
解析：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为8,公差为15的等差数列,
所以,
,
当且仅当,即时取等号,
当时取最小值为61.
故选:B.
9．答案：D
解析：抛物线C:的焦点为,准线方程为,
如图,
因为,且关于P的对称点为B,所以,
所以
.
当P在线段AF与抛物线的交点时,取得最小值,且最小值为.
故选:D
10．答案：A
解析：,
故的图象如图所示,
考虑直线与图象的交点,
则,且,,故BD正确.
由可得即,
整理得到,故C正确.
又,
由可得,但,故,
故,故A错误.
故选:A.
11．答案：B
解析：因为函数的最小正周期为,的最小正周期为,
又,
所以的最小正周期为,故①正确;
由,
当时,所以,
则,,
所以,所以函数在单调递增,故②错误;
因为,
所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故③错误;
因为恒成立,令,则,
解得或,,
所以的单调递减区间为,,,
令,则,解得,,
所以的单调递增区间为,,
又,,,
所以函数的最小值是,故④正确.
故选:B
12．答案：D
解析：①:取AD的中点Q,连接PQ,FQ,在棱长为2的正方体中,E,F,G,M,N均为所在棱的中点,
易知,,平面ABCD,GM在面ABCD内,
所以,面PQF,面PQF,,
所以面PQF,面PQF,所以,
连接,是正方形,,
因为面,面,所以,
因为面,面,,
所以面,因为面,所以,
综上,面GMN,面GMN,又,
所以面GMN,面PEF,故平面平面GMN,故①正确;
②:取的中点T,连接ET,FT,则,
所以是异面直线EF,GN所成的角,
又,则,,故②错误;
③:记正方体的中心为点O,则,
所以E,F,G,M,N在以O为球心,以为半径的球面上,故③正确;
④:因为,且E为的中点,
所以,故,
所以P点轨迹是过点M与平行的线段,且,
所以,故④正确;
故选:D
13．答案：
解析：不等式组对应的可行域如图所示,初始直线为:,
将初始直线平移至A,取最小值,
由可得,故,
所以,
故答案为:.
14．答案：
解析：因为
,
又复数是实数,所以,即,
所以,
所以当,时.
故答案为:
15．答案：1160
解析：当时,,
当时,,
故且,故,
故前40天的总销量为:
.
故答案为:1160.
16．答案：
解析：不等式移项可得,
设,则,
设,则恒成立,
所以函数在上单调递减,
因为,
所以,使得,①
所以在上单调递增,在上单调递减,最大值为,
所以当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;
,代入①可得,
所以,所以实数a的取值范围为,
故答案为:.
17．答案：（1）分别抽2人,5人,7人,
（2）分布列见解析,
解析：（1）由已知,甲,乙,丙三个部门的员工人数之比为,
由于采用分层抽样的方法从中抽取14人,
因此应从甲,乙,丙三个部门的员工中分别抽取人,人,人.
记事件M:“员工A被抽到”,由于每位员工被抽到的概率相等,
所以员工A被抽到的概率为.
（2）甲部门的6名员工随机平均分成2组,每组3人,记“小组血样化验结果呈阴性”为事件B,
由于每个人血检是否呈阳性相互独立,所以,
所以X的可能取值为2,5,8,
所以﹔
,
所以的分布列为下表:
则X的期望为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以,
因为,
所以,
所以,
,所以,
所以,;
（2）
依题意,,
所以,当且仅当时取等号,
又由余弦定理得,
,当且仅当时取等号,
所以的周长最小值为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）因为E,F分别为PC,PB的中点,
所以.
又平面ABC,平面ABC,
所以平面ABC.
又平面AEF,平面AEF与底面ABC的交线为l,所以.
从而.
而平面PBC,平面PBC,所以平面.
（2）取AC的中点记为D,连接PD,
因为是边长为1的正三角形,所以,.
由（1）可知,在底面ABC内过点A作BC的平行线,即平面AEF与底面ABC的交线l.
由题意可得,即,
所以的面积.
设点P到平面ABC的距离为h,
则由已知可得,于是.
因为,所以平面ABC,
取AB的中点记为M,连接DM,则.
因为,所以.
以D为坐标原点,DA,DM,DP所在直线分别为x轴､y轴､z轴,如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,,设.
于是,,.
设平面AEF的一个法向量为,
则,即,
取,则,,即是平面AEF的一个法向量,
所以.
又直线PQ与平面AEF所成角为,
于是.
又,
而异面直线PQ,EF所成角为,于是.
假设存在点Q满足题设,则,
即,所以.
当时,,此时有;
当时,,此时有.
综上所述,这样的点Q存在,且有.
20．答案：（1）
（2）0
解析：（1）由题意可得,解得,,
所以椭圆的方程为.
（2）因为,,
设,,,
则直线PA的方程的方程为,
联立,消去y可得,
,
解得,代入直线方程可得,故,
直线PB的方程为,由,消去y可得,,
解得,,故,
设与的面积分别为,,则,
因为,且P,A,M三点共线,P,B,N三点共线,结合距离公式化简可得
,
由,化简解得,
当时,,,MN的斜率为,
当时,,,MN的斜率为,
综上,直线MN的斜率0.
21．答案：（1）,极大值为,无极小值
（2）证明见解析
解析：（1）因为,
所以,
依题意可得,即,
所以,定义域为,
所以,
令可得,
所以当时,,当时,.
在上单调递减,在上单调递增,
的极大值为,无极小值.
（2）函数的定义域为,
因为恒成立,即对任意的恒成立,
即,其中,
令,则,即,
构造函数,,则,令,得,列表如下:
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,
所以,,
即时,恒成立,
取,则对任意的恒成立,
令,则,
所以,
所以.
22．答案：（1）曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为
（2）直线,
解析：（1）因为曲线的参数方程为(为参数),
所以,因为曲线的极坐标方程为,
所以,
所以,
所以曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;
（2）由题设,曲线的方程与曲线方程作差,
得公共弦所在直线方程为,所以直线AB的方程为,
设曲线圆心到直线AB的距离为d,
所以,所以.
23．答案：（1）
（2）.
解析：（1）当时,,
当时,由,解得,当时,由,解得.
故的解集为.
（2）当时,恒成立,故,又,即,故,
所以m的取值范围为.
X
2
5
8
P
t
e
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减