精品解析：河南省焦作市2024届高三第二次模拟考试数学试题

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数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码形贴在答题卡上的指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A 或B.
C. 或D.
2. 已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知内角的对边分别是.若，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
5. 已知直四棱柱的底面为梯形，，若平面，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，（ ）
A B. C. D.
7. 记椭圆：与圆：的公共点为，，其中在的左侧，是圆上异于，的点，连接交于，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在定义域上存在最小值，则当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在一次数学测试中，老师将班级60位同学的成绩按照从小到大的顺序进行排列后得到的原始数据为（数据互不相同），其极差为，平均数为，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的平均数为
B. 的第25百分位数与原始数据的相同
C. 若的极差为，则
D. 的平均数大于
10. 已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的图象不可能关于轴对称
B. 若且在上恰有4个零点，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，且在上的值域为，则的取值范围是
11. 费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线为在其上一点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的一条渐近线与直线相互垂直
B. 若点在直线上，且，则（为坐标原点）
C. 直线的方程为
D. 延长交于点，则的内切圆圆心在直线上
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形均为正方形，，则__________.
13. 已知数列的前项和，若是的等差中项，则__________.
14. 已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列的首项为，公比为整数，且.
（1）求通项公式；
（2）设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由.
16. 如图，在四棱柱中，二面角均为直二面角.

（1）求证：平面；
（2）若，二面角的正弦值为，求的值.
17. 在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲､乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场三胜制，即先赢三场者获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同.在两天的比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢两场者获胜，并获得最终冠军，决赛结束.每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独立，且每场比赛甲获胜的概率均为.
（1）若，求第一天比赛的总场数为4的概率；
（2）若，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8的概率.
18. 已知抛物线的焦点为，在轴上的截距为正数的直线与交于两点，直线与的另一个交点为.
（1）若，求；
（2）过点作的切线，若，则当的面积取得最小值时，求直线的斜率.
19. 已知函数.
（1）若，讨论的零点个数；
（2）若是函数（为导函数）的两个不同的零点，且，求证：.