昆明市官渡区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份昆明市官渡区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足,其中i为虚数单位,则( )
A.B.C.D.2
2．已知平面向量,,若,则( )
A.B.C.D.
3．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则( )
A.，B.，
C.，D.，
4．记等差数列的前n项和为,,,则( )
A.120B.140C.160D.180
5．高二年级计划从3名男生和4名女生中选3人参加某项会议,则选出的3人中既有男生又有女生的选法种数为( )
A.24B.30C.60D.90
6．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.B.
C.D.
7．直线：与直线：平行，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要
8．设，，，则a，b，c的大小顺序为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.若,则
B.若,则函数在点处的切线方程是
C.,
D.若有解,则函数必有极值点
10．函数（其中,,）的部分图象如图所示,则( )
A.
B.函数的最小正周期是
C.函数的图象关于直线对称
D.将函数的图象向左平移个单位长度以后,所得的函数图象关于原点对称
11．如图,在正方体中,点为线段上一动点,则( )
A.直线平面
B.异面直线与所成角为
C.三棱锥的体积为定值
D.平面与底面的交线平行于
12．双曲线具有如下光学性质:如图,是双曲线的左,右焦点,从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点.若双曲线C的方程为,下列结论正确的是( )
A.若,则
B.当反射光线n过时,光由所经过的路程为7
C.反射光线n所在直线的斜率为k,则
D.记点,直线PT与C相切,则
三、填空题
13．已知,则的值为______.
14．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,,且,则周长的取值范围为________________.
15．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左焦点为,点P在椭圆上,的中点为Q,若,,则椭圆离心率的值为______.
16．三棱锥的所有顶点都在球O的表面上,平面平面BCD,,,,则球O的体积为______.
四、解答题
17．①,
②,
③,,成等差,这三个条件中任选两个,补充到下面问题中,并解答本题.
设正项等比数列的前n项和为,满足______.
（1）求;
（2）求数列的前n项和.
18．已知函数.
（1）若时,求在上的最大值和最小值;
（2）若在上是增函数,求实数a的取值范围.
19．如图,在圆锥DO中,D为圆锥顶点,AB为圆锥底面的直径,O为底面圆的圆心,C为底面圆周上一点,四边形OAED为矩形.
（1）求证:平面平面ACE;
（2）若,,,求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值
20．甲,乙两人组队参加答题竞赛,每轮比赛由甲,乙各答一道题,已知甲每轮答对的概率为,乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
求:（1）甲,乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率;
（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率.
21．已知函数,
（1）求函数的单调区间与极值点;
（2）若,方程有三个不同的根,求的取值范围.
22．已知点在椭圆上,椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若不过点P的直线交椭圆于A,B两点,直线PA,PB的斜率分别为,且,求面积的取值范围(O为坐标原点).
参考答案
1．答案：B
解析:因为,所以.
故选:B.
2．答案：D
解析:平面向量,,则,
由,则,解得.
故选:D.
3．答案：D
解析：由题意得，解得，
因为，，则，
则样本数据的75%分位数位于，则，解得，
因为样本数据中位于成绩之间最多，则众数为，
故选：D.
4．答案：C
解析:因为,所以,所以,
所以,
故选:C.
5．答案：B
解析:选出的3人中既有男生又有女生的选法有两类:第一类是1男2女,这类共有种;第二类是2男1女,这类共有种,所以选出的3人中既有男生又有女生的选法种数有种,故选B.
6．答案：C
解析：设，，由图可得，
而，
故，
故选：C.
7．答案：B
解析：当时，有，故或，
当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合；
当时，的方程为，的方程为，符合；
综上，“”是“”的充要条件，
故选：B.
8．答案：B
解析：设，则，，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取最大值，故，.
又，且，
所以，即，故选B.
9．答案：ABC
解析:对于A,若,则,故A正确;
对于B,若,则,,则函数在点处的切线方程是,故B正确;
对于C,令,则,所以单调递减,从而,即时,,故C正确;
对于D,若,则,尽管,但单调递增,故不是的极值点,故D错误.
故选:ABC.
10．答案：AC
解析:由图可知,,
函数的最小正周期满足,则,,B错;
所以,,
,可得,
因为,所以,,则,可得,
所以,,则,A对;
,
所以,函数的图象关于直线对称,C对;
将函数的图象向左平移个单位长度以后,
得到函数的图象,所得函数为非奇非偶函数,D错.
故选:AC.
11．答案：ACD
解析:选项A:连接,
在正方体中,
,,,则平面
又平面,则
,,,则平面
又平面,则
又,则直线平面.判断正确;
选项B:在正方体中,,
则四边形为平行四边形,则
则为异面直线与所成角或其补角,
又为等边三角形,则
则异面直线与所成角为.判断错误;
选项C:点P为线段上一动点,设正方体棱长为a
由,可得
则三棱锥的体积为定值.判断正确;
选项D:连接AC
正方体中,,
又平面ABCD,平面ABCD,则平面ABCD
设平面与底面ABCD的交线为l,则
即平面与底面ABCD的交线平行于.判断正确.
故选:ACD
12．答案：BCD
解析:对于A:若,则.
因为P在双曲线右支上,所以.由勾股定理得:
二者联立解得:.故A错误;
对于B:光由所经过的路程为.
故B正确;
对于C:双曲线的方程为.设左,右顶点分别为A,B.如图示:
当与同向共线时,的方向为,此时,最小.
因为P在双曲线右支上,所以n所在直线的斜率为.即.
故C正确.
对于D:设直线PT的方程为.
,消去y可得:.
其中,即,解得
代入,有,解得:.
由P在双曲线右支上,即,解得:(舍去),所以.
所以.故D正确
故选:BCD
13．答案：3
解析:.
故答案为:3.
14．答案：
解析:因为,,
由余弦定理得,
当且仅当时等号成立.
,,
又因为,所以,
即周长取值范围为.
故答案为:.
15．答案：或
解析:取右焦点,Q为中点,,
则为等腰三角形,,
为直角三角形,,,
,.
故答案为:.
16．答案：
解析:如图所示:
取BD的中点O,因为,则是直角三角形,
因为,所以是直角三角形,
所以和的外接圆的圆心都是O,又因为平面平面BCD,所以O为外接球的球心,
因为,,所以外接球的半径为,
所以外接球的体积为.
故答案为:.
17．答案：（1）无论选①②还是选②③都有
（2）
解析:（1）若选①,则,
因为等比数列是正项数列,所以,
所以,解得满足题意;
若选③,,成等差,则,
因为,所以,解得满足题意;
所以在已知条件下,①等价于③,
所以无论选①②还是选②③都有,,,此时.
（2）由题意,
两式相减得,
所以.
18．答案：（1）最大值为,最小值为;
（2）.
解析:（1）当时,,,
令,由于,则,列表如下:
所以,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
当时,,
又,,则;
（2）,,
由题意可知,对任意的恒成立,则,
函数在区间上为增函数,则,所以,,即.
因此,实数a的取值范围是.
19．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析:（1）AB为圆锥底面的直径,C为底面圆周上一点,
.
四边形OAED为矩形,平面ABC,
,平面ABC,又平面ABC,
又,平面ACE,平面ACE,
平面ACE.
又平面BCD,
平面BCD⊥平面ACE.
（2）以C为坐标原点,AC,BC所在直线分别为x,y轴,过点C且与OD平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,
,,.
设平面ADE的法向量为,
则,即,
令,得,所以.
设平面CDE的法向量为,
则,即,
令,得,,
所以,
所以,
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为.
20．答案：（1）甲两轮答对1道题,2道题的事概率分别为,;乙两轮答对1道题,2道题的事概率分别为,;
（2）.
解析:（1）设,分别表示甲两轮答对1道题,2道题的事件,,分别表示乙两轮答对1道题,2道题的事件,依题意得:
,,
,;
（2）设“两轮比赛队伍答对3道题”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,
所以.
因此,该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率是.
21．答案：（1）答案见解析
（2）
解析:（1）定义域为,
,
令得或,
当即时,,,在区间上单调递减;
,,在区间上单调递增;
故有极小值点1,无极大值点,
当即时,时,,在区间单调递增,
当时,,在区间单调递减;
当时,,在区间上单调递增;
当极小值点为1,极大值点为;
当即时,时,,在区间单调递增,
当时,,在区间单调递减;
当时,,在区间单调递增;
故有极小值点,有极大值点为1;
当时,即时,,在单调递增,无减区间,无极值点.
（2）当时,即,
由（1）可知,时,单调递增,时,单调递减,
时,单调递增;
极大值,极小值,
要使有三个不同的根,则.
故m的取值范围为
22．答案：（1）
（2）
解析:（1）由题意得,解得,
所以椭圆C的方程为.
（2）联立,消元整理得,
时
设,,则,,
由
得
所以
所以
化简得,即,所以或
当时过点,不合题意,舍去,所以,即,
此时,所以,设O到直线AB的距离为d,
则,
当且仅当时,当时
所以.
x
3
0
极小值