广东省茂名市五校2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省茂名市五校2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和( )
A.9B.18C.36D.72
3．若函数在处的切线方程为，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
4．已知圆，直线.则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( )
A.B.C.D.
5．如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则( )
A.B.C.D.4
6．双曲线的左､右焦点分别为，，点M是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支于点N，，则双曲线的离心率为( )
A.2B.C.3D.9
7．已知是自然对数的底数，设，，，则( )
A.B.C.D.
8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是( )
A.18B.C.D.27
二、多项选择题
9．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，则( )
A.直线与直线垂直
B.直线与平面平行
C.平面截正方体所得的截面面积为
D.点和点D到平面的距离不相等
10．已知，，则( )
A.的值域为RB.时，恒有极值点
C.恒有零点D.对于，恒成立
11．如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，交于点D，则( )
A.若点D的坐标为，则
B.直线l恒过定点
C.点D的轨迹方程为
D.的面积的最小值为
三、填空题
12．已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数k的取值范围是__________.
13．已知,是圆上的两个不同的点,若,则的取值范围为___________.
四、双空题
14．下图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.
若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为__________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为__________.
五、解答题
15．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.
16．已知数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的首项为1，其前n项和满足，证明：若，.
17．如图所示，在四棱锥中，侧面底面，，，底面为直角梯形，其中，，，O为的中点.
（1）求直线与平面所成角的余弦值；
（2）求B点到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆的左､右焦点分别为，，该椭圆的离心率为，且椭圆上动点M与点的最大距离为3.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，若直线l与x轴､椭圆C顺次交于P，Q，R（点P在椭圆左顶点的左侧），且，求面积的最大值.
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由直线得，
，得倾斜角为.故选C.
2．答案：B
解析：由等比数列的性质得，，由等差数列的性质得，.故选B.
3．答案：C
解析：由，得，
由题意得，得，
，，解得.故选C.
4．答案：D
解析：直线.恒过定点，当时，圆心C到直线l的距离最大为，此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为.故选D.
5．答案：A
解析：由二面角的平面角的定义知，
，由，，
得，又，，
.故选A.
6．答案：B
解析：设，则，，由双曲线的定义得，故；由，故，在中，，即，①，在中，，即，②，由②得，代入①得，故.故选B.
7．答案：A
解析：设，，
当，，单调递增；当，，单调递减，，即，又，，，令，，当，，单调递减；故，即，，故，故.故选A.
8．答案：C
解析：球的表面积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为h，则，，所以，，正四棱锥的体积，，当时，，当时，，当时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为.故选C.
9．答案：BC
解析：，而与显然不垂直，与不垂直，A错；取中点H，连接，，，由C，E，F分别是，，中点，得，
又，，是平行四边形，，
，平面，平面，
而，平面平面，又平面，平面.B正确；由正方体性质，连接，，则截面即为四边形，它是等腰梯形，，，，等腰梯形的高为，截面面积为，C正确；设，易知O是的中点，，D两点到平面的距离相等.D不正确.故选BC.
10．答案：BCD
解析：对于A：令，则，，，当，，单调递增；当，，单调递减.，的值域不为R，故A不正确；对于B：由A选项可知，当时，是的极值点，故B正确；对于C：有零点，即有根，当时，与函数图象恒有交点，当时，由选项A知；且在上单增，在上单减，当时，函数图象在第四象限与有交点，当时，函数图象在第三象限与有交点，与函数图象恒有交点，故C正确；对于D：若，则，（，当时，等号成立），当，则，
故D正确.故选BCD.
11．答案：ACD
解析：对于A：，，由，
，，联立，消去x，
有，记，，则，由，得，，故A正确；对于BCD：可设，联立，消去，有，则，，由得，，，过定点，故B不正确；由，在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；此时：，过定点，，，，故D正确.故选ACD.
12．答案：或
解析：由题意，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，；当x从1的左侧无限趋近于1时，；当x从1的右侧无限趋近于1时，；当时，；，函数的大致图象如图所示，
满足题意的的取值范围是或.故答案为或.
13．答案：
解析:由题知,圆C的圆心坐标,半径为2,因为,所以.
设P为的中点,所以,所以点P的轨迹方程为.
点P的轨迹是以为圆心半径为的圆.
设点M,N,P到直线的距离分别为,,d,
所以,,,
所以.
因为点C到直线的距离为,所以,
即,所以.
所以的取值范围为.
故答案为:
14．答案：；
解析：记第n个图形为，三角形的边长为，边数为，周长为，面积为，有条边，边长为；有条边，边长为；有条边，边长为；，即；，即.当第1个图中的三角形的周长为1时，即，，，由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即，即，…，，利用累加法可得，数列是以为公比的等比数列，数列是以4为公比的等比数列，故数列是以为公比的等比数列，当第1个图中的三角形面积为1时，，即，此时，，有条边，则，
，.故答案为；.
15．答案：（1）37.5
（2）①；②年龄的平均数为38,方差约为10
解析：（1）由题意，，所以.
设第80百分位数为a，
因为，
，
故第80百分位数位于第四组：内，
由，解得：，
所以第80百分位数为37.5.
（2）①由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，
甲，第五组抽取2人，记为D，乙，
样本空间为：，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点.
设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，
则，，，，，，，，，共有9个样本点.
所以.
②设第四组､第五组的宣传使者的年龄的平均数分
别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这m人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1），，
.
（2）证明：由，得，，
数列是以首项为1，公差为的等差数列，
则，即.
当时，，
也符合该式，.
则，记，
由，
作差得
，则.
，
数列在上单调递增，，
.
即.
17．答案：（1）
（2）
（3）线段上存在满足题意的点Q，且
解析：（1）在中，，O为的中点，
.
又侧面底面，平面平面，平面，
平面.
在中，，，.
在直角梯形中，O为的中点，，.
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，.
，，，平面.
为平面的法向量，设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的余弦值为.
（2），
设平面的法向量为
，则，取.
则B点到平面的距离.
（3）假设存在，且设.
，，
，.
设平面的法向量为，
则，
取，得，
而平面的一个法向量为，
二面角的余弦值为，
，
整理化简，得.解得或（舍去），
线段上存在满足题意的点Q，且.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）椭圆的离心率为，，即.
椭圆上动点M与点的最大距离为3，.
，，，
椭圆C的标准方程为：.
（2）设，，由（1）知，，
，.
，整理得.
设直线的方程为，
联立，得，
，
，
，，，，
，
，
，.
直线的方程为.
点到直线的距离.
.
，，，，
令，则，，
，
当且仅当时，等号成立，此时，直线存在.
综上，面积的最大值为.
19．答案：（1）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）
解析：（1）函数定义域为，，
二次函数的判别式.
①若时，即当时，对任意的，，
此时，在上单调递增；
②若时，即当时，
由，得，
或.
当，或时，，
当时，，
此时，函数在，上单调递增，
在上单调递减.
综上：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，单调递增区间为，，
单调递减区间为.
（2）若有两个极值点，，由（1）知，，且，
不等式恒成立等价于恒成立，
又
.
，
令，则，
在上单调递减，
，
.
因此，实数的取值范围是.