全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题及答案

这是一份全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知为虚数单位，且复数，则下列说法中正确的是（ ）.
A．复数为实数B．
C．复数为纯虚数D．
2．已知集合，则下列表示正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
5．神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了和两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛和两位同学各答1题.已知同学每轮答对的概率是，同学每轮答对的概率是，每轮竞赛中和两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则和两位同学至少答对3道题的概率为（ ）.
A．B．C．D．
6．椭圆的左顶点为，点均在上，且点关于点轴对称，若直线均存在斜率，且斜率之积为，记的离心率为，则（ ）.
A．B．C．D．
7．若直线是的一条对称轴，且在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．9B．7C．11D．3
8．设函数在R上满足，，且在区间上只有，则方程在闭区间上根的个数为（ ）.
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（ ）.
A．B．
C．D．
10．已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点在圆外，则直线与圆相离B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆上，则直线与圆相切D．若点在直线上，则直线与圆相切
11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（md m）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（md 6）.若，a≡b（md 10），则b的值可以是（ ）.
A．2019B．2023C．2029D．2033
三、填空题
12．已知向量与相互垂直，且，，则 .
13．已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求 ； .
14．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）情况，如表所示.
(1)根据5月至9月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；
(2)求出y关于t的回归直线方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.
附：相关系数公式：.（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.③参考数据：.
16．已知数列是公差为的等差数列，.
(1)证明：数列也为等差数列；
(2)若，数列是以数列的公差为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和，证明：.
17．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．已知，，点P满足，记点P的轨迹为E.直线l过点且与轨迹E交于P、Q两点.
(1)无论直线l绕点怎样转动，在x轴上总存在定点，使恒成立，求实数m的值；
(2)在（1）的条件下，求面积的最小值.
19．已知当时，，，.
(1)证明：；
(2)已知，证明：（可近似于3.14）.
月份
5
6
7
8
9
时间代号t
1
2
3
4
5
家乡特产收入y
3
2.4
2.2
2
1.8
参考答案：
1．A
【分析】借助复数的运算法则计算即可得.
【详解】，故，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
2．A
【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定.
【详解】当时，，所以，故A正确；
当时，，所以，故B错误；
当或时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D错误.
故选：A
3．A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．

4．A
【分析】将代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论．
【详解】若，都是正数，且
，
当且仅当时等号成立，
故选：A.
5．D
【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可.
【详解】若和两位同学答对4道题，则其概率为；
若和两位同学答对3道题，则其概率为；
故和两位同学至少答对3道题的概率为.
故选：D.
6．C
【分析】根据题意得到的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于的齐次方程，从而得解.
【详解】由题可得，设.
则，
又，
则.
则.
故选：C
7．C
【分析】根据给定条件求出的关系式，再求出函数含0的单调区间即可判断作答.
【详解】因直线是的一条对称轴，则，即，
由，得，则在上单调递增，
而在区间上不单调，则，解得，
综上，的最小值为11.
故选：C
8．B
【分析】先根据条件确定函数周期，然后确定一个周期内的根的个数，进而得到在闭区间上根的个数.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，即，
所以函数的周期为，
在区间上只有，
所以在上无解，
则在上无解，
又，
所以在上无解，，即在上无解，
即一个周期内，方程的根只有，
闭区间上含有个周期，此时有个根，
在区间内，
对于区间，根据周期等价于区间，该区间上无解，
故方程在闭区间上根的个数为.
故选：B.
9．CD
【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可.
【详解】设正方体的棱长为2，
对A：建立如图所示空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以，即，故A错误；

对B：建立如图所示空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以，即，故B错误；
对C：建立如图所示空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以与不垂直，即与不垂直，故C正确；
对D：建立如图所示空间直角坐标系，则，
可得，则，
所以与不垂直，即与不垂直，故D正确.

故选：CD.
10．AB
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，因为点在圆外，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，故命题A是假命题；
对于B，因为点在圆内，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，故命题B是假命题；
对于C，因为点在圆上，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故命题C是真命题；
对于D，因为点在直线上，所以，即，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故命题D是真命题；
故选：AB.
11．AC
【分析】先利用二项式定理化简得；再利用二项式定理将展开可得到a除以10所得的余数是9，进而可求解.
【详解】因为
所以a除以10所得的余数是9.
又因为a≡b（md 10）
所以b除以10所得的余数是9.
而，，，
故选：AC.
12．5
【分析】根据向量的数量积运算法则即可求解.
【详解】，
故答案为：5
13．
【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由极限的定义知：①；②，
因为，，可得，
则；
又因为，令，可得，
所以.
故答案为：；.
14．
【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数的取值范围.
【详解】由题意，
在中，，
当时，解得或，
当即时，单调递减，
当即，时，单调递增，
∵，，
当，
方程有三个不同的实根，
∴即，
故答案为：.
【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略这个条件.
15．(1)，y与t具有很强的线性相关关系
(2)，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析
【分析】（1）直接套公式求出y与t之间的线性相关系数，即可判断；
（2）套公式求出系数b、a，即可得到回归方程，并求出10月份的收入.
【详解】（1）（1）由5月至9月的数据可知，
，
，，
，
所以所求线性相关系数为
.
因为相关系数的绝对值，
所以认为y与t具有很强的线性相关关系.
（2）由题得，
，
所以，
所以y关于t的回归直线方程为.
当时，，
因为，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元.
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）通过计算为定值可证明等差数列；
（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求，根据的结构即可证明不等式.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵数列是公差为的等差数列，
∴，
∴，
∴数列是以为公差的等差数列；
（2）∵，
∴，，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴，
∴①，
∴②，
∴②①得，
，
∵且为正整数，
∴，，
∴（当时取等）.
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.
（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.
【详解】（1）取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，
（2）因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
若选①，则，而，，
故平面，而平面，故，
所以，而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
若选②，因为，故平面，而平面，
故，而，故，
而，，故，
所以，故，
而，，故平面，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，
故，
设平面的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线与平面所成的角为，则
.
18．(1)
(2)9
【分析】（1）由双曲线定义即可得点P的轨迹方程，设出直线l方程，联立双曲线方程可得与有关韦达定理，借助向量垂直数量积为可计算出点坐标；
（2）借助弦长公式与点到直线的距离公式可表示出面积，再借助换元法计算即可得解.
【详解】（1）由知，点P的轨迹E是以、为焦点的双曲线的右支，
设轨迹E的方程为，，，
，，，故轨迹E的方程为，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，，，
与双曲线方程联立，可得，
有，解得，
.

，，
故得对任意的恒成立，
解得，
当时，.
当直线l的斜率不存在时，可得，则，
此时有，即此时结论也成立，
综上，当时，；

（2）由（1）知，当直线l的斜率存在时，，
点M到直线PQ的距离为d，则，
，
令，则，，，
当直线l的斜率不存在时，，
综上可知，的最小值为9.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）令，求导得到函数单调性，得到，要证，只需证，构造，，二次求导得到单调性，得到，证明出，证明出不等式；
（2）变形得到，两边同时除以得到：，证明出不等式.
【详解】（1）令，
∴在上恒成立，
∴在上单调递增，
∴，
∴，
∴，
要证，只需证，
∵，
∴只需证，
令，，
∴，
∴，
令，，
∴，
又∵当时，，
∴当时，，
∴在上单调递减，
∴，
∴当时，，
∴在上单调递减
∴，
∴，
∴，
∴综上所述，当时，，证毕.
（2）∵当时，，
∴，
∴，
∴，①
将①式两边同时乘以得到：，②
∵，但当时，，
∴，
将②式两边同时除以得到：，
∴，
∴，
∴当时，，证毕.
【点睛】方法点睛:证明不等式或比较两函数大小，需构造函数，并根据导函数得到函数单调性，结合特殊点函数值得到结论.