2024年贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县部分学校 九年级 一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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2.本试卷共三个大题25个小题，共4页，满分150分.
3.答题前务必将密封线内的项目填写清楚.
4.请用蓝、黑色墨水钢笔或圆珠笔答题.
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1. 下列各数中，是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据无理数与有理数的定义即可判断．
【详解】解：A． 是无理数；
B． 为无理数
C． 为有理数；
D． 为无理数，
故选∶C．
2. 一位科学家在实验室中测量了一种细菌的数量，并发现在24小时内，细菌的数量增加了25亿个，数25亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：25亿用科学记数法表示为，
故选：B．
3. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查几何体的三视图，俯视图指从上往下看到的图形．
【详解】A、该几何体俯视图是三角形，此选项符合题意；
B、该几何体俯视图是四边形，此选项不符合题意；
C、该几何体俯视图是四边形，此选项不符合题意；
D、该几何体俯视图是六边形，此选项不符合题意．
故选：A．
4. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得，．
故选：C．
5. 在直角二角形中，两直角边的长度分别为和．则斜边的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可．
【详解】解；∵在直角二角形中，两直角边的长度分别为和，
∴斜边的长为，
故选：A．
6. 某班有5名学生参加了一次考试，他们的成绩分别是：88分、75分、92分、75分和92分，下列描述错误的是（ ）
A. 平均数是分B. 众数是75分和92分
C. 中位数是88分D. 方差大于100
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了方差，平均数，中位数和众数，根据方差，平均数，中位数和众数的定义求解判断即可．
【详解】解：A、平均数是分，原说法正确，不符合题意；
B、得分为75分和92分都出现了2次，出现的次数最多，则众数是75分和92分，原说法正确，不符合题意；
C、把5人考试成绩从低到高排列为75分，75分，88分，92分，92分，处在最中间的是88分，即中位数是88分，原说法正确，不符合题意；
D、方差为，原说法错误，符合题意；
故选：D．
7. 假设一个不透明的袋子里有四个球，它们分别标有数字3，4，5和，这些球除了标号以外无其他区别，如果随机从袋中取出一个球，取出的球上的号码大于2的概率是1，那么可能是以下哪个值（ ）
A. 1B. 2C. 0D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查概率知识．由取出的球上的号码大于2的概率是1可知，所有标号数字都要比2大，逐一看4个选项可得答案．
【详解】取出的球上的号码大于2的概率是1
所有标号数字都要比2大
即．
故选：D．
8. 如图，已知，，依据尺规作图的方法可以计算出的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查角平分线的意义，勾股定理，等腰三角形性质．根据尺规作图可知，平分，进而得到，再用勾股定理即可．
【详解】解：根据尺规作图可知，平分
．
故选：A．
9. 如图，反比例函数与正比例函数的图像相交于两点，若其中一个交点到坐标轴的距离是2，则两交点之间的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题．由其中一个交点到坐标轴的距离是2，
能得到两个交点的坐标，再根据两点之间的距离公式即可．
【详解】解：其中一个交点到坐标轴的距离是2，
两个交点的坐标分别为
两交点之间的距离为．
故选：B．
10. 如图，正方形与正方形是位似图形，为位似中心，若两个正方形的面积之比为，点坐标为，则点坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正方形的性质，坐标与图形，先由位似图形的面积之比等于位似比的平方得到两个正方形的位似比为，进而根据点A的坐标求出，则．
【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，为位似中心，且两个正方形面积之比为，
∴两个正方形的位似比为，
∵点坐标为，
∴，
∴
∴点坐标为，
故选；A．
11. 在平行四边形的对角线上有一动点，其中，，则点到点，点的最短距离之和是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等得到，再由，可得当三点共线，即点E与点C重合时，最小，最小值为的长，据此可得答案．
【详解】解：∵四边形平行四边形，，
∴，
∵，
∴当三点共线，即点E与点C重合时，最小，最小值为的长，
∴点到点，点的最短距离之和是6，
故选：D．
12. 如图，在圆上有点，分别连接，其中为圆的直径，为圆的切线，延长与相交于点，，圆的半径为3，则阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，圆的切线性质，勾股定理．图中阴影部分面积可以看作的面积减去的面积，再减去扇形的面积，具体见详解．
【详解】解：为圆的切线
圆的半径为3
设，则
由勾股定理得
解得或（舍去）
如图，连接，过点作于
则，
．
故选：C．
二、填空题：每小题4分，共16分.
13. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解．先将分子提出公因式3，再利用平方差公式分解，最后约分即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. 有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中为中位数，且为整数，则这组数据的平均数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平均数及中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．先利用中位数的定义得到a为6，然后根据平均数的计算方法计算这组数据的平均数．
【详解】解：∵整数a是这组数据中的中位数，
∴a为6，
∴这组数据的平均数为．
故答案为：．
15. 若关于、的方程组没有实数解，那么的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次不等式．先将方程组消去转化为关于的一元二次方程，再根据根的判别式求得的取值范围．
【详解】解：由得
整理得
方程无解
解得．
故答案为：．
16. 如图，在直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为________________．
【答案】
【解析】
【分析】当⊙A与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）．设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点的坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接，过点作，
此时点坐标可表示为，
∴，．
在Rt△OBC中，，
又∵的半径为5，
∴．
∵，
∴，
则，
∴，
∴．
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点的坐标为．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
三、解答题：本大题9小题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：：
（2）先将化简，再从四个数中选一个你认为合适的数代入求值.
【答案】（1）7；（2），
【解析】
【分析】本题考查实数的运算及代数式化简求值.
（1）先算零指数幂，立方根，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂，再算加减；
（2）先化简，将多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简为最简式子后，再选择一个使原来式子有意义的值代入即可.
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
取代入
原式.
18. 某公司食堂为了改善食堂的午餐服务，决定对公司员工的午餐偏好进行一次调查．调查的目标是收集员工对于四种不同类型的午餐（A：中式、B：西式、C：素食、D：快餐）的喜好程度.调查收集了部分员工的数据，并将结果整理成了下面的统计图．
员工午餐类型喜好调查扇形统计图 员工午餐类型喜好调查条形统计图
（1）根据上述统计图，此次参与调查的员工共有__________名，其中喜好为素食的有__________名，快餐的有__________名；
（2）假设该公司共有1000名员工，请你估计喜好为中式的员工人数；
（3）对该食堂提一条合理的建议．
【答案】（1）300，45，75
（2）400 （3）增加食堂中式午餐的数量
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图在实际问题中的应用．
（1）根据类型A的数量和百分比可求得员工总数，然后求C的百分比，由员工总数及C，D的百分比可求得C，D的数量；
（2）根据样本喜欢中式的员工百分比，估计总体的百分比，能估算出总体中喜欢中式员工的数量；
（3）根据题意，提出合理建议即可．
【小问1详解】
解：本次调查的员工共有：（名）
喜好为素食的有：（名）
喜欢快餐的有：（名）
故答案为：300，45，75；
【小问2详解】
喜好为中式的员工人数为：（名）；
【小问3详解】
建议：增加食堂中式午餐的数量．
19. 如图，在平面直角坐标系中，有一个四边形；其顶点坐标分别为，，，．
（1）证明四边形为平行四边形；
（2）如图，点G为与的交点，线段为的角平分线，线段为的角平分线，证明．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，角平分线的性质，外角公式．
（1）由四个点的坐标可用一组对边平行且相等来证明是平行四边形；
（2）可三角形外角来证明，，，再由平行四边形性质及角平分线性质分别能得，即可．
【小问1详解】
解：，
轴，
，
轴，
且
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
四边形为平行四边形
,
线段为的角平分线，线段为的角平分线
，
．
20. 由于近年来远程办公成为一种趋势，一家办公软件公司推出了两款产品：一款为个人用户设计的基础版（），另一款为企业用户设计的专业版（）．公司希望通过数据分析销售情况，以便调整营销策略，在上个季度末，公司统计了销售数据．
（1）如果公司售出的基础版和专业版的总数量为300套，并且专业版的销售数量是基础版的两倍，求基础版和专业版各售出了多少套？
（2）为了进一步推广产品，公司计划在接下来的几个月内逐步降低基础版的价格以吸引更多个人用户．假设基础版当前的价格为每套80元，公司计划每月降价5元，直到价格降至每套50元为止．请写出基础版价格与时间的关系，并计算从现在开始，到价格降至50元需要多少个月？
【答案】（1）基础版和专业版各售出了100套，200套
（2）（W表示基础价格，t表示时间）从现在开始，到价格降至50元需要6个月
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，列函数关系式，求自变量的值：
（1）设基础版和专业版各售出了x套，y套，根据基础版和专业版的总数最为300套，并且专业版的销售数量是基础版的两倍列出方程组求解即可；
（2）设基础价格为W元，时间为t月，根据基础版当前的价格为每套80元，公司计划每月降价5元，列出对应的关系式，再求出时t的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设基础版和专业版各售出了x套，y套，
由题意得，，
解得，
答：基础版和专业版各售出了100套，200套；
【小问2详解】
解：设基础价格为W元，时间为t月，
由题意得，，
当，解得，
∴从现在开始，到价格降至50元需要6个月．
21. 在进行城市规划时，工程师需要在两栋楼宇和之间建造一个观景台，楼宇的高度为60米，两栋楼宇相隔80米．规划师在楼宇的顶部测量到楼宇顶部的俯角为，在地面上的点D测量楼宇顶部的仰角为．假设地面是水平的，并且楼宇、的顶部及观测点P都位于同一平面内．且点P在上，请求出观景台的具体高度．
【答案】米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点P作于H，连接，则四边形是矩形，可得，解得到米，再解得到米，则米，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P作于H，连接，则四边形是矩形，
∴，
在中，米，
∴米，
∴米，
中，，
∴米，
∴米，
∴观景台的具体高度为米．
22. 贵阳市作为中国西南地区的重要城市，近年来发展迅速，城市面貌日新月异．为了增加城市绿化面积，市政府计划建设一个大型的中央公园，公园中将设置一个独特的喷泉，以此来吸引更多的游客，该喷泉的水流从喷泉口O处喷出，其轨迹需要在空中形成一个开口向下的抛物线，且水流可以达到最高点4米，最远喷射6米．此外喷泉的水流轨迹在距离喷泉2米处的高度至少为2米．
（1）请你计算出该抛物线的表达式；
（2）验证在距离喷泉2米处水流的高度是否满足要求．
【答案】（1）
（2）符合要求
【解析】
【分析】本题考查二次函数在实际中的应用．
（1）由题意可知抛物线与轴的交点分别为，则可设两点式，再代入顶点坐标即可；
（2）由抛物线的解析式求出当时相应的的值，再比较大小即可．
【小问1详解】
解：根据题意知，抛物线与轴的交点分别为，
设，再由题意知，抛物线顶点坐标为代入得
解得
该抛物线的表达式为；
【小问2详解】
当时，
符合要求．
23. 如果，在中有一个内接四边形，延长与的延长线相交于点，求证：
（1）；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查圆周角性质，圆的内接四边形性质，等腰三角形性质．
（1）由与对应同一条弧得，可得，然后得到对应线段成比例即可；
（2）由内接四边形对角互补得，而得，再根据等边对等角可得结论．
【小问1详解】
证明：与对应同一条弧
；
【小问2详解】
中内接四边形
．
24. 如图，在矩形中，于点，交于点，过点作的角平分线交于点，．
（1）求证：；
（2）求；
（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，角平分线的性质，三角形的面积．
（1）由，得，即，由四边形是矩形，得，即，进而得到，故，能得；
（2）由，平分能得到；
（3）由，，得，得，，故，再用勾股定理求得最后求面积用即可．
【小问1详解】
证明：
四边形是矩形
即
又
；
【小问2详解】
平分
；
【小问3详解】
，
设，则
解得或（舍去）
．
25. 如图，二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为，且图象过点，过，两点作直线．
（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；
（2）将二次函数向左平移1个单位，得函数__________；与轴交点坐标为__________；
（3）在（2）的条件下，将直线向下平移个单位后与函数的图象有唯一交点，求的值．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题．
（1）用待定系数法直接将点代入即可；
（2）涉及函数图象的平移，记得左加右减，求与轴的交点坐标时令即可；
（3）先求出直线AB的解析式，再跟抛物线解析式联立，只有一个交点即根的判别式为0．
【小问1详解】
解：将，代入得
解得
该二次函数的表达式为；
【小问2详解】
将二次函数向左平移1个单位，得函数
令得
与轴的交点坐标为；
【小问3详解】
设直线AB解析式为
将，代入得
解得
将直线向下平移个单位得
由得
整理得
与函数的图象有唯一交点
．