2022-2023学年江西省抚州市东乡实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省抚州市东乡实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知平面向量a和b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|=( )
A. 20B. 12C. 4 3D. 2 3
2.函数y=sinx− 3csx的值域是( )
A. [0,1]B. [−1+ 3,1+ 3]
C. [−2,2]D. [−1− 3,1+ 3]
3.在平行四边形ABCD中，若|AB+AD|=|AB−AD|，则必有( )
A. AD=0B. AB=0或AD=0
C. ABCD是矩形D. ABCD是正方形
4.sin20°cs70°+sin10°sin50°的值是( )
A. 14B. 32C. 12D. 34
5.已知角θ的终边经过点(3,−7)，将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则tanβ=( )
A. 52B. −52C. 25D. −25
6.已知正实数m，n满足m+n=1，则 m⋅n−m的最大值是( )
A. 0B. 12C. 3−12D. 2−12
7.将函数y=csx⋅cs(x+π6)的图像沿x轴向左平移a(a>0)个单位长度后，得到的函数图像关于y轴对称，则a的最小值为( )
A. 5π12B. 7π12C. 11π12D. 13π12
8.已知2(csα−sinα)sin(θ−α)=sinθ+csθ，则tan(2α−θ)=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，z1−为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是( )
A. z1+z1−为实数
B. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2
C. |z2z1−|=|z2z1|
D. 若|z1|=1，则|z1+1−i|的最小值为 2−1
10.有以下四个命题，正确命题的是( )
A. 若函数f(x)=sin(ωx+φ)为奇函数，则φ为π的整数倍
B. 若函数f(x)=cs(ωx+φ)为奇函数，则φ为π的整数倍
C. 对于函数f(x)=tan(π3+2x)，若f(x1)=f(x2)，则x1−x2必是π的整数倍
D. 对于函数f(x)=sin(π3+2x)，若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2必是π2的整数倍
11.已知f(x)=1−2cs2(ωx+π3)(ω>0)，给出下列说法，其中正确的有( )
A. 若f(x1)=1，f(x2)=−1，且|x1−x2|min=π，则ω=2
B. 存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象右移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C. 若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[4124,4724)
D. 若f(x)在[−π6,π4]上单调递增，则ω的取值范围为(0,23]
12.已知函数f(x)=|cs2x+| 3sin2x||，则( )
A. f(x)的最小正周期为π2
B. f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称
C. f(x)在[19π12,11π6]上单调递增
D. g(x)=f(x)−1在[−505π,505π]上的零点个数是4041
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知点D为△ABC的边BC的中点，AB=a+b，AC=a−2b，|a|=2|b|=2，a，b的夹角为π3，则|AD|=______．
14.已知csαcsβ+sinαsinβ=13，则sin(2α−2β+π2)=______．
15.已知α∈(0,2π)，且α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cs5π6)，则α=______．
16.已知向量a=( 3sinx,m+csx)，向量b=(csx,−m+csx)，函数f(x)=a⋅b，下列关于函数f(x)的结论中正确的是______．
①最小正周期为π；②关于直线x=π6对称；
③关于点(512π,0)中心对称；④值域为[32−m2,−12−m2]．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
0<α<π2<β<π，sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，sinβ= 22．
(1)求sinα−4csα5sinα+2csα的值；
(2)求sin(α+β)的值．
18.(本小题12分)
已知a=(sinx,34)，b=(csx,−1)．
(1)当a/​/b时，求cs2x−sin2x的值；
(2)设函数f(x)=2(a+b)⋅b，求y=f(x)，x∈[0,π3]的最值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinxcs(x−π4)− 22．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设α∈(0,π2)，且f(α2+π8)=35，求tan(α+π4)．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=1+2sinx3(csx3−sinx3).
(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求函数f(C)的最大值，并求出此时C的值；
(2)若f(C−π8)= 2，且b2=ac，求csB的值．
21.(本小题12分)
设函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M(−π8,0)对称．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求不等式−1≤f(x)≤ 3的解集．
22.(本小题12分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．
(1)设函数g(x)=sin(x+2π3)+cs(3π2+x)，试求g(x)的伴随向量OM；
(2)记向量ON=(1, 3)的伴随函数为f(x)，求当f(x)=65且x∈(−π3,π6)时，sinx的值；
(3)当向量OM=( 22, 22)时，伴随函数为f(x)，函数h(x)=f(2x)，求h(x)在区间[t,t+π4]上最大值与最小值之差的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：向量a和b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，
∴|a|=2，a⋅b=2×1×12=1，
∴|a+2b|2=a2+4a⋅b+4b2=4+4+4=12，
∴|a+2b|=2 3，
故选：D
根据向量数量积的定义先求出a⋅b=1，然后利用向量模长与向量数量积的关系进行转化求解即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的定义以及向量模长的公式是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：y=sinx− 3csx=2(12sinx− 32csx)=2sin(x−π3)，
∵−1≤sin(x−π3)≤1，∴−2≤2sin(x−π3)≤2，
∴y=sinx− 3csx 的值域是[−2,2]．
故选：C．
利用辅助角公式将函数转化为y=Asin(ωx+φ)形式，根据正弦型函数的值域求解即可．
本题考查三角函数恒等变换，两角和与差的三角函数，考查三角函数的有界性，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：在平行四边形ABCD中，∵|AB+AD|=|AB−AD|
∴平行四边形的对角线相等
由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．
故选：C．
先由向量的加法运算法则知|AB+AD|=|AB−AD|知对角线相等，再由矩形定义求解．
本题主要考查向量在平面几何中的应用．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两角和差的公式应用，属较难题．
从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．
【解答】
解：设x=sin20∘cs70∘+sin10∘sin50∘，
y=cs20∘sin70∘+cs10∘cs50∘，
则x+y=(sin20∘cs70∘+cs20∘sin70∘)+(sin10∘sin50∘+cs10∘cs50∘)，
=sin90∘+cs40∘=1+cs40∘，
同理x−y=(sin20∘cs70∘−cs20∘sin70∘)+(sin10∘sin50∘−cs10∘cs50∘)，
=sin(−50∘)+cs60∘=−12−cs40∘
所以x=14，
故选A．
5.【答案】A
【解析】解：由题意知，β=θ−π4，
又因为tanθ=yx=−73，
所以tanβ=tan(θ−π4)=tanθ−11+tanθ=−73−11−73=52．
故选：A．
运用公式求得tanθ的值，再运用正切差角公式计算即可．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：设m=sin2α,n=cs2α,α∈(0,π2)，
则 mn−m=sinαcsα−sin2α=sin2α2−1−cs2α2=sin2α+cs2α2−12
= 2sin(2α+π4)2−12，因为α∈(0,π2)，所以2α+π4∈(π4,5π4)，
所以当2α+π4=π2，即α=π8时取得最大值为 2−12，
故选：D．
设m=sin2α,n=cs2α,α∈(0,π2)，则 mn−m=sinαcsα−sin2α= 2sin(2α+π4)2−12，然后根据α的范围以及正弦函数的性质化简即可求解．
本题考查了不等式的性质，涉及到三角函数换元法的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：y=csx⋅cs(x+π6)=csx⋅( 32csx−12sinx)= 32cs2x−12csxsinx，
y= 34+12cs(2x+π6)，将y= 34+12cs(2x+π6)的图像沿x轴向左平移a(a>0)个单位长度，
得y= 34+12cs(2x+2a+π6)关于y轴对称，
所以2a+π6=kπ,k∈Z即a=−π12+12kπ,k∈Z，
所以当k=1时，a取最小值5π12．
故选：A．
先将函数y=csx⋅cs(x+π6)化简为y= 34+12cs(2x+π6)，沿x轴向左平移后关于y轴对称，则a=−π12+12kπ,k∈Z，a取最小值即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：∵sin(θ−α)=sinθcsα−csθsinα，
∴2(csα−sinα)sin(θ−α)=2(csα−sinα)(sinθcsα−csθsinα)
=2(sinθcs2α−csθsinαcsα−sinθsinαcsα+csθsin2α)
=2(cs2α+sin2α)(sinθ+csθ)−2(csθ+sinθ)sinαcsα=sinθ+csθ，
∴(sinθ+csθ)(2−sin2α)=sinθ+csθ，
∴sinθ+csθ=0或2−sin2α=1，
∴tanθ=−1或sin2α=1，
∴θ=−π4+kπ，k∈Z或α=π4+mπ，m∈Z，
此时sin(θ−α)≠0，
∴csα−sinα=0，
∴α=π4+mπ，m∈Z且θ=−π4+kπ，k∈Z，
∴tan(2α−θ)=−1，
故选：A．
利用三角恒等变换，同角三角函数的关系，求解即可．
本题考查利用三角恒等变换的应用，同角三角函数的关系，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：选项A：设z1=x+yi(x,y∈R)，z1−=x−yi，∴z1+z1−=2x∈R，故A正确；
选项B：设z1=3+4i，z2=5，|z1|=|z2|=5，但是z1≠±z2，故B错误；
选项C：设z1=x+yi，z2=a+bi(x,y,a,b∈R)，则z2z1−=(a+bi)(x−yi)=(ax+by)+(bx−ay)i，|z2z1−|= (ax+by)2+(bx−ay)2= (x2+y2)(a2+b2)z2z1=(a+bi)(x+yi)=(ax−by)+(bx+ay)i，|z2z1|= (ax−by)2+(bx+ay)2= (x2+y2)(a2+b2)，
所以|z2z1−|=|z2z1|，故C正确；
选项D：若|z1|=1，设z1=csθ+isinθ，则z1+1−i=(csθ+1)+(sinθ−1)i，
则|z1+1−i|= (csθ+1)2+(sinθ−1)2= 3+2(csθ−sinθ)= 3+2 2cs(θ+π4)，
所以当cs(θ+π4)=−1时，|z1+1−i|取最小值 3−2 2= 2−1，故D正确．
故选：ACD．
设z1=x+yi(x,y∈R)，计算z1+z1−可判断A；
用特值法可判断B；
设z1=x+yi，z2=a+bi(x,y,a,b∈R)，计算|z2z1−|,|z2z1|可判断C；
由|z1|=1，设z1=csθ+isinθ，得出|z1+1−i|的表达式并化简，利用三角函数性质求得最小值，即可判断D．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：若f(x)=sin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ，k∈Z，即φ为π的整数倍，故A正确；
f(x)=cs(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ+π2，k∈Z，即φ为π2的奇数倍，故B不正确；
因为函数f(x)=tan(π3+2x) 周期为π2，
若f(x1)=f(x2)，则x1−x2必是π2的整数倍，故C错误．
由于f(x)=sin(π3+2x)的周期为π，若f(x1)=f(x2)=0，x1−x2必是π2的整数倍，故D正确，
故选：AD．
由题意，利用三角函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：∵f(x)=1−2cs2(ωx+π3)=sin(2ωx+π6)，
∴周期T=2π2ω=πω．
对于A：由条件知，周期为2π，∴ω=12，故A错误；
对于B：函数图象右移π6个单位长度后得到的函数为y=sin(2ωx−ωπ3+π6)，其图象关于y轴对称，
则−ωπ3+π6=π2+kπ(k∈Z)，ω=−1−3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω∉(0,2)，故B错误；
对于C：由x∈[0,2π]，所以π6≤2ωx+π6≤4ωπ+π6，所以7π≤4ωπ+π6<8π，解得4124≤ω<4724，故C正确；
对于D：因为x∈[−π6,π4]，所以−ωπ3+π6≤2ωx+π6≤ωπ2+π6，所以−ωπ3+π6≥−π2ωπ2+π6≤π2ω>0，解得0<ω≤23，故D正确．
故选：CD．
利用二倍角公式及诱导公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可．
本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：当kπ又kπkπ+5π12∴f(x)=|2cs(2x−π3)|=2cs(2x−π3),kπ当kπ+π2又kπ+π2kπ+7π12∴f(x)=|2cs(2x+π3)|=−2cs(2x+π3),kπ+π2∴f(x)=|cs2x+| 3sin2x||=2cs(2x−π3),kπ作出函数y=f(x)的图象如图：
结合图象可知f(x)的最小正周期为π，故A错误；
∵f(kπ2+x)=|cs2(x+kπ2)+| 3sin2(x+kπ2)||(k∈Z)
=|cs(2x+kπ)+| 3sin(2x+kπ)||=|cs(2x+kπ)+| 3sin2x||，f(kπ2−x)=|cs2(kπ2−x)+| 3sin2(kπ2−x)||(k∈Z)
=|cs(kπ−2x)+| 3sin(kπ−2x)||=|cs(2x−kπ)+| 3sin2x||
=|cs(2x−kπ+2kπ)+| 3sin2x||=|cs(2x+kπ)+| 3sin2x||，
∴f(kπ2+x)=f(kπ2−x)，∴f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称，则B正确；
当x∈[19π12,11π6]时，f(x)=2cs(2x+π3)．
∵x∈[19π12,11π6]，∴2x+π3∈[7π2,4π]，
则f(x)在[19π12,11π6]上单调递增，故C正确；
g(x)=f(x)−1在[−505π,505π]上的零点个数，即为y=f(x)与y=1的交点个数，
∵g(0)=f(0)−1=0，g(π2)=f(π2)−1=0，且f(x)是偶函数，f(x)的最小正周期为π，
由图象可得当x∈(0,π]时，y=f(x)与y=1有4个交点，
∴当x∈(0,π]时，g(x)=f(x)−1有4个零点，
可得x∈(0,505π]时，g(x)有505×4=2020个零点，
∴g(x)=f(x)−1在[−505π,505π]上的零点个数是2×2020+1=4041，故D正确．
故选：BCD．
作出函数y=f(x)的图象，可判断AD；求出f(kπ2+x)=f(kπ2−x)即可判断B；结合分段函数和三角函数的性质可判断C．
本题考查三角函数的图象与性质，考查函数零点的判定，考查化归与转化、数形结合思想，该题的关键在于两个绝对值的处理，去掉绝对值需要对内部的正负进行讨论，得到对应的分段函数，是中档题．
13.【答案】 132
【解析】解：因为2AD=AB+AC，所以(2AD)2=(AB+AC)2，
所以4|AD|2=(2a−b)2=4|a|2+|b|2−4a⋅b=16+1−4×2×csπ3=13，
所以|AD|= 132．
故答案为： 132．
根据向量加法的平行四边形法则可得2AD=AB+AC，两边同时平方即可代入求模长．
本题考查了向量的加法运算法则以及数量积的性质和运算，属于基础题．
14.【答案】−79
【解析】解：∵csαcsβ+sinαsinβ=13，
∴cs(α−β)=13，
∴sin(2α−2β+π2)=sin[π2−(2β−2α)]=cs(2β−2α)=cs(2α−2β)=cs2(α−β)
=2cs2(α−β)−1=29−1=−79．
故答案为：−79．
根据已知条件，结合余弦函数的两角差公式，以及二倍角公式，即可求解．
本题主要考查余弦函数的两角差公式，以及二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题，
15.【答案】5π3
【解析】解：∵α的终边上一点P的坐标为(sin5π6,cs5π6)，sin5π6=12>0，cs5π6=− 32<0，
∴tanα=cs5π6sin5π6=− 3，且点P在第四象限，
∵α∈(0,2π)，
∴α=5π3．
故答案为：5π3．
由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα，结合点所在象限，即可得出结论．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查特殊角的三角函数，属于基础题．
16.【答案】①②
【解析】解：向量a=( 3sinx,m+csx)，向量b=(csx,−m+csx)，
函数f(x)=a⋅b= 3sinxcsx+cs2x−m2= 32sin2x+12cs2x+12−m2=sin(2x+π6)+12−m2，
①最小正周期T=2π2=π．
②当x=π6时，sin(2x+π6)=1，∴f(x)关于直线x=π6对称；
③当x=5π12时，sin(2x+π6)=12−m2，∴f(x)关于点(5π12,12−m2)中心对称．
④∵sin(2x+π6)值域为[−1,1]，即−1≤sin(2x+π6)≤1，
f(x)=sin(2x+π6)+12−m2，
可得−1+12−m2≤sin(2x+π6)+12−m2≤1+12−m2，即f(x)∈[−12−m2,32−m2].
∴f(x)的值域为[−12−m2,32−m2].
故答案为：①②．
根据向量的运算求出f(x)的解析式，结合三角函数的性质判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)由sin(3π+α)=2sin(3π2+α)，得−sinα=−2csα，
所以sinα=2csα，
所以sinα−4csα5sinα+2csα=2csα−4csα5×2csα+2csα=−16；
(2)由(1)得sinα=2csα，又sin2α+cs2α=1，
因为0<α<π2，解得sinα=2 55，csα= 55，
因为π2<β<π，sinβ= 22，所以csβ=− 1−sin2β=− 22，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=2 55×(− 22)+ 55× 22=− 1010．
【解析】(1)由三角函数诱导公式得到sinα=2csα，从而代入求值；
(2)在(1)的基础上，利用同角三角函数关系求出α，β的正弦和余弦，进而利用正弦的和角公式求出答案．
本题考查两角和与差的三角函数公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵a/​/b，∴sinxcsx=−34，∴tanx=−34，
故cs2x−sin2x=cs2x−sin2xsin2x+cs2x=1−2tanx1+tan2x=85；
(2)因为a+b=(sinx+csx,−14)，b=(csx,−1)，
所以f(x)=2(a+b)⋅b=2(sinx+csx)csx+12
=sin2x+2cs2x+12= 2sin(2x+π4)+32，
故y=f(x)= 2sin(2x+π4)+32，
又∵x∈[0,π3]，∴2x+π4∈[π4,11π12]，
所以ymax= 2+32，ymin= 32+1．
【解析】(1)利用a//b得出tanx=−34，将cs2x−sin2x化为齐次式代入即得；
(2)利用辅助角公式化简y=f(x)，由x∈[0,π3]结合三角函数图像即得．
本题考查二倍角公式、辅助角公式及同角平方关系等三角公式的应用，属中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=2sinx(csxcsπ4+sinxsinπ4)− 22
= 2(sinxcsx+sin2x)− 22= 2(12sin2x+1−cs2x2)− 22，
= 22(sin2x−cs2x+1)− 22= 22(sin2x−cs2x)=sin(2x−π4)，
∴f(x)的最小正周期为π；
(2)f(α2+π8)=sin[2(α2+π8)−π4]=sinα=35，
由α∈(0,π2)可知，csα=45，tanα=34，
∴tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=34+11−34=7．
【解析】(1)利用两角差的余弦公式，二倍角公式的降幂变形以及辅助角公式，可对f(x)恒等变形得f(x)=sin(2x−π4)，进一步求出f(x)的最小正周期；
(2)由(1)中变形的结果可知sinα=35，再由α∈(0,π2)可得csα=45，tanα=34，再根据两角和的正切公式可求解．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：函数f(x)=1+2sinx3(csx3−sinx3)=1+2sinx3csx3−2sin2x3=sin2x3+cs2x3= 2sin(2x3+π4).
(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，函数f(C)= 2sin(2C3+π4)≤ 2.此时2C3+π4=π2，解得C=3π8．
(2)f(C−π8)= 2，可得 2sin(2C−π43+π4)= 2.即：sin(2C3+π6)=1，2C3+π6=π2，解得C=π2．
∵b2=ac，c2−a2=ac，即ac= 5−12
csB=ac= 5−12．
【解析】通过两角和与差的三角函数化简已知条件．
(1)利用三角函数的最值直接求解函数的最值以及C的大小．
(2)通过f(C−π8)= 2，求出C的值，推出三角形是直角三角形，然后即可求解csB的值．
本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值以及三角形的判断，考查计算能力．
21.【答案】解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T=π2，即π|ω|=π2，
因为ω>0，所以ω=2，从而f(x)=tan(2x+φ)，
因为函数y=f(x)的图象关于点M(−π8,0)对称，
所以2×(−π8)+φ=kπ2，k∈Z，解得φ=kπ2+π4，k∈Z．
因为0<φ<π2，所以φ=π4，所以f(x)=tan(2x+π4)．
令−π2+kπ<2x+π4<π2+kπ，k∈Z，解得−3π4+kπ<2x即−3π8+kπ2所以函数的单调递增区间为(−3π8+kπ2,π8+kπ2)，k∈Z，无单调递减区间．
(2)由(1)知，f(x)=tan(2x+π4)，由−1≤tan(2x+π4)≤ 3，
得−π4+kπ≤2x+π4≤π3+kπ,k∈Z，即−π4+kπ2≤x≤π24+kπ2,k∈Z，
所以不等式−1≤f(x)≤ 3的解集为{x|−π4+kπ2≤x≤π24+kπ2,k∈Z}．
【解析】(1)根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；
(2)根据(1)中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)g(x)=sin(x+2π3)+cs(x+3π2)
=−12sinx+ 32csx+sinx=12sinx+ 32csx，
所以OM=(12, 32).
(2)依题意f(x)=sinx+ 3c0sx=2sin(x+π3)，
由f(x)=65，得2sin(x+π3)=65，sin(x+π3)=35，
x∈(−π3,π6)，x+π3∈(0,π2)，所以cs(x+π3)=45，
所以sinx=sin[(x+π3)−π3]=12sin(x+π3)− 32cs(x+π3)=3−4 310．
(3)f(x)的函数解析式f(x)=sin(x+π4)，
所以h(x)=sin(2x+π4)，
区间[t,t+π4]的长度为π4，函数h(x)=sin(2x+π4)的周期为π，
若h(x)的对称轴在区间[t,t+π4]内，
不妨设对称轴x=π8在[t,t+π4]内，最大值为1，
当h(t+π4)=h(t)，即h(π4)=h(0)= 22时，函数h(x)在区间[t,t+π4]上的最大值与最小值之差取得最小值为1− 22=2− 22；
其它的对称轴在[t,t+π4]内时最大值与最小值之均大于2− 22，
若h(x)的对称轴不在区间[t,t+π4]内，则h(x)在区间[t,t+π4]内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：
|h(t+π4)−h(t)|=|sin(2t+π2+π4)−sin(2t+π4)|
=|cs(2t+π4)−sin(2t+π4)|=| 2sin(2t+π4−π4)|=| 2sin(2t)|≤ 2，
故函数h(x)=sin(2x+π4)在区间[t,t+π4]上的最大值与最小值之差的取值范围为[2− 22, 2].
【解析】(1)化简g(x)的解析式，从而求得伴随向量OM；
(2)先求得f(x)，由f(x)=65求得sin(x+π3)，进而求得cs(x+π3)，从而求得sinx；
(3)先求得h(x)，然后根据三角函数的最值求得正确答案．
本题考查求解新定义函数有关的问题，关键点在于理解新的定义，解题过程中，要将“新”问题，转化为所学的知识来进行求解，体现了化归与转化的数学思想方法．