高考数学专题练 专题一 微专题1　函数的图象与性质（含答案）

这是一份高考数学专题练 专题一 微专题1　函数的图象与性质（含答案），共23页。

[考情分析] 函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上．此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题．
典例1 (1)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(－1,3)，则函数g(x)＝eq \f(f1＋x,ln1－x)的定义域为( )
A．(－2,1) B．(－2,0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(0,1)
(2)已知实数a∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2a，x<1，,－x，x>1，))若f(1－a)>f(1＋a)，则实数a的取值范围是________．
典例2 (1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象大致为( )
(2)(多选)(2023·扬州模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x)．给出下列四个结论，其中正确的是( )
A．g(1)＝eq \f(1,2)
B．函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称
C．不等式g(x)>0的解集为R
D．函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z
典例3 (1)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________.
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则( )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
[总结提升]
1．一是要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，二是准确识记函数图象变换的规律，三是掌握函数图象识别的一些技巧，如利用图象的对称性、函数的符号等排除干扰项，从而得到正确选项．
2．要准确理解函数的基本性质，把握自变量之间的关系与对应函数值之间的相互转化．
1．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
3．(2023·滁州模拟)如图是下列某个函数在区间[－2,2]上的大致图象，则该函数是( )
A．f(x)＝eq \f(x3＋3x2－3x,x2＋1)cs eq \f(x,2)
B．f(x)＝eq \f(x3＋3x2－3x,x2＋1)
C．f(x)＝eq \f(x3－x2＋x,x2＋1)sin x
D．f(x)＝eq \f(x2－5x,x2＋1)cs x
4．已知函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)，则( )
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线x＝π对称
D．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
5．(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,x2＋|x|－2)，则f(x)的图象可能为( )
6．(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq \(∑,\s\up6(22),\s\d4(k＝1))f(k)等于( )
A．－3 B．－2 C．0 D．1
7．(多选)(2023·威海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)>0，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是奇函数
B．f(2 023)＝0
C．f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,8)))
8．(多选)(2023·重庆模拟)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝4k－6(k∈Z)对称
B．函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)
C．函数f(x)在区间(－2 019,2 019)上恰有1 010个最值点
D．若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8
9．(2023·沧州模拟)已知函数f(x)＝xln(ex＋a)－eq \f(x2,2)是奇函数，则a＝________.
10．(2023·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数____________________．
①当x1，x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数．
11．(2023·宣城模拟)已知函数f(x)＝eq \f(4x－1,2x)，则不等式2xf(x)－3<0的解集是______________．
12．(2023·黄山模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,p)，x＝\f(q,p)p，q互质，p>q，,0，x＝0，1或是[0，1]上的无理数，))定义在实数集上的函数f(x)，g(x)满足f(－x)＝5－g(2＋x)，g(x)＝9＋f(x－4)，且函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝2，当x∈(0,1)时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2 023,6)))＝________.
答案及解析
专题一 函数与导数
微专题1 函数的图象与性质
[考情分析] 函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上．此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题．

考点一 函数的概念与表示
典例1 (1)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(－1,3)，则函数g(x)＝eq \f(f1＋x,ln1－x)的定义域为( )
A．(－2,1) B．(－2,0)∪(0,1)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(0,1)
答案 B
解析 要使g(x)＝eq \f(f1＋x,ln1－x)有意义，
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<1＋x<3，,1－x>0，,1－x≠1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2解得－2则函数g(x)的定义域为(－2,0)∪(0,1)．
(2)已知实数a∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2a，x<1，,－x，x>1，))若f(1－a)>f(1＋a)，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2，－1)∪(0，＋∞)
解析 由题意知a≠0，
①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，
化简得a2＋3a＋2<0，
解得－2又a<0，∴a∈(－2，－1)；
②当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，
化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R，
又a>0，∴a∈(0，＋∞)，
综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞)．
跟踪训练1 (1)(2023·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有( )
A．f(|x|)＝x3 B．f(sin x)＝x2
C．f(x2＋2x)＝|x| D．f(|x|)＝x2＋1
答案 D
解析 对于A，令x＝1，得f(|1|)＝f(1)＝1；
令x＝－1，得f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误；
对于B，令x＝0，得f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，得f(sin π)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误；
对于C，令x＝0，得f(0)＝0，令x＝－2，得f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2，不符合函数定义，C错误；
对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，因为|x|≥0，则当x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确．
(2)(2023·济宁模拟)已知a∈R，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x2－3，x>2，,3x＋a，x≤2，))f(f(eq \r(5)))＝2，则a＝________.
答案 －1
解析 因为eq \r(5)>2，所以f(eq \r(5))＝lg2(5－3)＝1<2，
所以f(f(eq \r(5)))＝f(1)＝3＋a＝2，解得a＝－1.
考点二 函数的图象
典例2 (1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cs x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象大致为( )
答案 A
解析 方法一 (特值法)
取x＝1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,3)))cs 1＝eq \f(8,3)cs 1>0；
取x＝－1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－3))cs(－1)
＝－eq \f(8,3)cs 1<0.结合选项知选A.
方法二 令y＝f(x)，
则f(－x)＝(3－x－3x)cs(－x)
＝－(3x－3－x)cs x＝－f(x)，
所以函数y＝(3x－3－x)cs x是奇函数，
排除B，D；
取x＝1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(1,3)))cs 1＝eq \f(8,3)cs 1>0，排除C，故选A.
(2)(多选)(2023·扬州模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x)．给出下列四个结论，其中正确的是( )
A．g(1)＝eq \f(1,2)
B．函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称
C．不等式g(x)>0的解集为R
D．函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z
答案 ABD
解析 对于A，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(1)＝g(－1)，
又g(－1)＝f(－1)＝eq \f(1,2)，所以g(1)＝eq \f(1,2)，故A正确；
对于B，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，
又g(x＋2)＝g(x)，所以g(－x)＝g(－x－2)，所以g(－2－x)＝g(x)，
所以函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故B正确；
对于C，由题意知，g(0)＝f(0)＝0，故C错误；
对于D，由题意知，g(x)在[－1,0]上单调递减，
又g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以g(x)在[0,1]上单调递增．又g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)是以2为周期的周期函数，
所以函数g(x)在[2k,2k＋1]，k∈Z上单调递增，故D正确．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝ 则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )
答案 D
解析 方法一 作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(－x)的图象，再把函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度即可得到函数f(1－x)的图象，如图．
方法二 因为函数f(x)＝
所以函数f(1－x)＝
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝<0，排除C.
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是( )
A．y＝eq \f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq \f(x3－x,x2＋1)
C．y＝eq \f(2xcs x,x2＋1) D．y＝eq \f(2sin x,x2＋1)
答案 A
解析 对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝eq \f(1,5)sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0考点三 函数的性质
典例3 (1)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________.
答案 2
解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))
＝(x－1)2＋ax＋cs x＝x2＋(a－2)x＋1＋cs x，
且函数为偶函数，
∴a－2＝0，解得a＝2.
经验证，当a＝2时满足题意．
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则( )
A．f(0)＝0
B．f(1)＝0
C．f(x)是偶函数
D．x＝0为f(x)的极小值点
答案 ABC
解析 方法一 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，
对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；
对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；
对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，
令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；
对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误．
方法二 因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，
对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；
对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；
对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，
令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，
又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；
对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到eq \f(fxy,x2y2)＝eq \f(fx,x2)＋eq \f(fy,y2)，
故可以设eq \f(fx,x2)＝ln|x|(x≠0)，则f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2ln|x|，x≠0，,0，x＝0，))
当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f′(x)＝2xln x＋x2·eq \f(1,x)＝x(2ln x＋1)，
令f′(x)<0，得0令f′(x)>0，得x>，
故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误．
跟踪训练3 (1)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减
答案 D
解析 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠±\f(1,2))))).
∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln eq \f(－2x－1,1－2x)
＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,2x－1)))，
∵y＝1＋eq \f(2,2x－1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减．
(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
答案 BC
解析 方法一 (转化法)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均为偶函数，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋2x))，
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋x))，
g(2＋x)＝g(2－x)，
所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，
则f(－1)＝f(4)，故C正确；
函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝eq \f(3,2)，x＝2对称，又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导，
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝0，g(3－x)＝－g(x)，
所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，
所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝0，
g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；
若函数f(x)满足题设条件，
则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，
所以无法确定f(0)的函数值，故A错误．
方法二 (特例法)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(3,2)对称，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称．取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A；
取符合题意的一个函数f(x)＝sin πx，
则f′(x)＝πcs πx，即g(x)＝πcs πx，
所以g(－1)＝πcs(－π)＝－π，g(2)＝πcs 2π＝π，
所以g(－1)≠g(2)，排除D.
[总结提升]
1．一是要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，二是准确识记函数图象变换的规律，三是掌握函数图象识别的一些技巧，如利用图象的对称性、函数的符号等排除干扰项，从而得到正确选项．
2．要准确理解函数的基本性质，把握自变量之间的关系与对应函数值之间的相互转化．
1．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案 B
解析 方法一 因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，
所以f(x－1)＝eq \f(1－x－1,1＋x－1)＝eq \f(2－x,x)，
f(x＋1)＝eq \f(1－x＋1,1＋x＋1)＝eq \f(－x,x＋2).
对于A，令F(x)＝f(x－1)－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2－2x,x)，
则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，令G(x)＝f(x－1)＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)，
则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，是奇函数；
对于C，f(x＋1)－1＝eq \f(－x,x＋2)－1＝eq \f(－x－x－2,x＋2)＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝eq \f(－x,x＋2)＋1＝eq \f(－x＋x＋2,x＋2)＝eq \f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称．
方法二 f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝eq \f(2－x＋1,1＋x)＝eq \f(2,1＋x)－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
3．(2023·滁州模拟)如图是下列某个函数在区间[－2,2]上的大致图象，则该函数是( )
A．f(x)＝eq \f(x3＋3x2－3x,x2＋1)cs eq \f(x,2)
B．f(x)＝eq \f(x3＋3x2－3x,x2＋1)
C．f(x)＝eq \f(x3－x2＋x,x2＋1)sin x
D．f(x)＝eq \f(x2－5x,x2＋1)cs x
答案 A
解析 对于B，由f(x)＝eq \f(x3＋3x2－3x,x2＋1)，知f(2)＝eq \f(14,5)>2，但由图象知f(2)<2，故可排除B；
对于C，f(x)＝eq \f(x3－x2＋x,x2＋1)sin x＝eq \f(xx2－x＋1,x2＋1)·sin x，当x∈(0,1)时，f(x)>0，而由函数图象知函数在(0,1)上有零点，故可排除C；
对于D，由f(x)＝eq \f(x2－5x,x2＋1)cs x知，f(1)<0，而由函数图象可知f(1)>0，故可排除D.
4．已知函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)，则( )
A．f(x)的最小值为2
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线x＝π对称
D．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
答案 D
解析 ∵当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))时，f(x)<0，
∴f(x)min<0，故A错误；
∵f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，
f(－x)＝sin(－x)＋eq \f(1,sin－x)＝－sin x－eq \f(1,sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故B错误；
∵f(π－x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)，f(π＋x)＝－sin x－eq \f(1,sin x)，
∴f(π－x)≠f(π＋x)，
∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，故C错误；
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，
∴f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，故D正确．
5．(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,x2＋|x|－2)，则f(x)的图象可能为( )
答案 C
解析 f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
因为f(－x)＝eq \f(e－x－ex,－x2＋|－x|－2)
＝－eq \f(ex－e－x,x2＋|x|－2)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，D；
当0因为x2＋x－2<0，
ex－e－x＝eq \f(e2x－1,ex)>0，
所以f(x)<0，所以排除B.
6．(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq \(∑,\s\up6(22),\s\d4(k＝1))f(k)等于( )
A．－3 B．－2 C．0 D．1
答案 A
解析 因为f(1)＝1，
所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝1，
得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，
所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①
所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)．②
由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，
故f(x＋3)＋f(x)＝0，
所以f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，
令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，
所以f(0)＝2.
令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
所以f(2)＝－1.
由f(x＋3)＝－f(x)，
得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，
f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，
根据函数的周期性知，eq \(∑,\s\up6(22),\s\d4(k＝1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.
7．(多选)(2023·威海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)>0，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是奇函数
B．f(2 023)＝0
C．f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,8)))
答案 BCD
解析 根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，
则f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，
则有f(2＋x)＝－f(－x)，f(－x)＝f(4＋x)，
故有f(x＋4)＝－f(x＋2)，f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为4的周期函数，
对于A，f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则x＝0即y轴也是函数f(x)的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误；
对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2 023)＝f(3＋4×505)＝f(3)＝－f(1)＝0，B正确；
对于C，f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于点(1,0)对称，C正确；
对于D，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)>0，则f(x)在区间(1,2)上单调递增，
由于f(x)为偶函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)))，f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,8)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,8)))，
又由eq \f(7,4)＞eq \f(13,8)，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,8)))，
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,8)))，D正确．
8．(多选)(2023·重庆模拟)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝4k－6(k∈Z)对称
B．函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)
C．函数f(x)在区间(－2 019,2 019)上恰有1 010个最值点
D．若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8
答案 ACD
解析 由f(x－4)＝－f(x)得，
f(x－4－4)＝－f(x－4)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为8，
因为f(x)是奇函数，
所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，f(4－x)＝f(x)，
对称轴为直线x＝2，
根据f(x)在[0,2]上单调递增，可知f(x)在[－2,0]上也是单调递增的，得函数图象大致如下，
对于A，对称轴为x＝2＋4k(k∈Z)，x＝4k－6＝4(k－2)＋2(k∈Z)，故A正确；
对于B，单调递增区间为[8k－2,8k＋2](k∈Z)，[8k－6,8k－2]＝[8(k－1)＋2,8(k－1)＋6](k∈Z)是单调递减区间，故B错误；
对于C,2 019－(－2 019)＝4 038＝504×8＋6，共有504个周期多6，
函数f(x)在每个周期上有2个最值点，在504个完整的周期上有504×2＝1 008(个)最值点，
在(－2 019，－2 016)上有1个最值点，在(2 016,2 019)上有1个最值点，
共有1 008＋2＝1 010(个)最值点，故C正确；
对于D，若m＝m1 ＝最大值，如图中所示，则所有根之和为－6＋2＝－4，
若0若m＝0，则所有根之和为0，
若最小值若m＝m4＝最小值，如图中所示，则所有根之和为－2＋6＝4，故D正确．
9．(2023·沧州模拟)已知函数f(x)＝xln(ex＋a)－eq \f(x2,2)是奇函数，则a＝________.
答案 1
解析 因为函数f(x)＝xln(ex＋a)－eq \f(x2,2)是奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，
－ln(e－1＋a)－eq \f(1,2)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(lne＋a－\f(1,2)))，
则ln eq \f(e＋a,e－1＋a)＝1，
所以eq \f(e＋a,e－1＋a)＝e，即e＋a＝e(e－1＋a)＝1＋ea，
即a－ea＝a(1－e)＝1－e，解得a＝1，
此时f(x)的定义域为R，满足题意．
10．(2023·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_________________．
①当x1，x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数．
答案 f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)
解析 若满足①对任意的x1，x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，
则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；
若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，
所以满足①②两个条件的非常数函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．
11．(2023·宣城模拟)已知函数f(x)＝eq \f(4x－1,2x)，则不等式2xf(x)－3<0的解集是________________．
答案 (－1,1)
解析 因为f(x)＝eq \f(4x－1,2x)＝2x－2－x，
令g(x)＝xf(x)＝x(2x－2－x)，
则g(－x)＝(－x)(2－x－2x)＝x(2x－2－x)＝g(x)，
则函数g(x)为偶函数，
又g′(x)＝2x－2－x＋xln 2(2x＋2－x)，
当x>0时，2x－2－x>0,2x＋2－x>0，
所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝g(－1)＝2－eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，
由2xf(x)－3<0，可得2g(x)－3<0，即g(x)所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))<1，解得－112．(2023·黄山模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为R(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,p)，x＝\f(q,p)p，q互质，p>q，,0，x＝0，1或是[0，1]上的无理数，))定义在实数集上的函数f(x)，g(x)满足f(－x)＝5－g(2＋x)，g(x)＝9＋f(x－4)，且函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝2，当x∈(0,1)时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2 023,6)))＝________.
答案 －eq \f(67,6)
解析 因为函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2＋x)＝g(2－x)，
由f(－x)＝5－g(2＋x)得f(x)＝5－g(2－x)，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，
由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2－x)＝9＋f(－x－2)＝9＋f(x＋2)，代入f(x)＝5－g(2－x)得f(x)＝－4－f(x＋2)，
所以f(x)＋f(x＋2)＝－4，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－4，
所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是以4为周期的函数，
由g(x)＝9＋f(x－4)得g(2)＝9＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝－7，即f(2)＝－7，
由f(x)＋f(x＋2)＝－4得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)＋2))＝－4，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))＝－4，
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＋Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))＝－4，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＋eq \f(1,6)＝－4，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＝－4－eq \f(1,6)，
f(2 022)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2 023,6)))＝f(4×505＋2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4×84－\f(7,6))) ＝f(2)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)))＝－7－4－eq \f(1,6)＝－eq \f(67,6).