专题08 数列专题（新定义）-新高考数学创新题型微专题（数学文化、新定义）

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1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·浙江·高三开学考试）对任意正整数对，定义函数如下：，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有，则称数列是从第项起的周期为T的周期数列．已知周期数列满足：，，（），则（ ）
A．B．C．D．1
4．（2023秋·福建南平·高二统考期末）若数列的前n项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）对于一个项数列，记的“Cesar平均值”为，若数列的“Cesar平均值”为2022，数列的“Cesar平均值”为2046，则（ ）
A．24B．26C．1036D．1541
6．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）等比数列中，公比，用表示它的前项之积，则，，…，中最大的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
8．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，其中是“保等比数列函数”的序号为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
9．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）若数列满足，则称为“必会数列”，已知正项数列为“必会数列”，若，则（ ）.
A．B．1C．6D．12
10．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，则数列的通项不可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”为（ ）
A．2B．7C．2，7D．2，5，7
12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设表示落在区间内的偶数个数.在等比数列中，，，则（ ）
A．21B．20C．41D．40
14．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足：若，则，则称数列为“等同数列”．已知数列满足，且，若“等同数列”的前项和为，且，，，则（ ）
A．4711B．4712C．4714D．4718
16．（2022·全国·高三专题练习）设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）
A．若等比数列是收敛数列，则公比
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列
D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列
17．（2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列：，，…，，若存在公比为q的等比数列：，，…，，使得，其中，2，…，m，则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，则数列的公比q的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列{an}满足……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}的前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．（-∞，1）
C．D．（1， +∞）
19．（2022·浙江·高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
二、多选题
20．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列满足：对任意正整数为递减数列，则称数列为“差递减数列”．给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列满足：，，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”，下列说法正确的有（ ）.
A．若数列是等差数列，则具有“三项相关性”
B．若数列是等比数列，则具有“三项相关性”
C．若数列是周期数列，则具有“三项相关性”
D．若数列具有正项“三项相关性”，且正数，满足，，数列的通项公式为，与的前项和分别为，，则对，恒成立
22．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第n项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．D．
23．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）若不是等比数列，但中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
24．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”，则定义在上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（ ）
A．为“保比差数列函数”B．为“保比差数列函数”
C．为“保比差数列函数”D．为“保比差数列函数”
25．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．是平方等差数列
B．若是平方等差数列，则是等差数列
C．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
D．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列
26．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，，设第n次“美好成长”后得到的数列为，并记，则（ ）
A．B．
C．D．数列的前n项和为
27．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，,2．记，数列的前n项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
28．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）对于数列，若存在正整数，使得对任意正整数，都有（其中为非零常数），则称数列是以为周期，以为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为__．
29．（2022秋·福建泉州·高二统考期末）对于数列，记：…，（其中），并称数列为数列的k阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k阶等比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则m=___________.
30．（2023·河南郑州·统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的有______．
①若，则从开始出现数字2；
②若（，2，3，…，9），则的最后一个数字均为k；
③不可能为等差数列或等比数列；
④若，则均不包含数字4．
31．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列的前n项和为，对任意都有（t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列为“2数列”，且，则______.
32．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______
33．（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的P阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，则___________．
34．（2022秋·上海·高二期中）定义:对于任意数列,假如存在一个常数使得对任意的正整数都有,且,则称为数列的“上渐近值”．已知数列有（为常数,且）,它的前项和为,并且满足,令,记数列的“上渐近值”为,则的值为 _____．
35．（2023·高二课时练习）定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和（，），令（），若数列的变号数为2，则实数的取值范围是___________.
36．（2023春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，定义使（）为整数的k叫做“幸福数”，则区间内所有“幸福数”的和为_____．
37．（2022春·高二单元测试）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列，现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，，，，…，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式______.
38．（2022·黑龙江绥化·绥化市第一中学校考模拟预测）定义：若有穷数列，，…，，满足，，…，，即（，且），则称该数列为“对称数列”．若数列是项数为的对称数列，且，，…，构成首项为，公差为的等差数列，记数列的前项的和为，则取得最大值时的值为__________．
39．（2020秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，则这个数列的前项的和为____.
40．（2020秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为，那么这个数列的前项的和为____.
四、解答题
41．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.
(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;
(2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
42．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的正整数k，若数列满足：，对任意正整数总成立，则称数列是“P（k）数列”．若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：是等差数列．
43．（2023春·安徽淮北·高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，且从第项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列是公方差为的等方差数列，且，求数列的通项公式；
(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列．
44．（2022春·上海黄浦·高三校考阶段练习）对于给定数列，如果存在实常数、使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”．
(1)若，，，数列、是否为“类数列”？
(2)若数列是“类数列”，求证：数列也是“类数列”；
(3)若数列满足，，为常数．求数列前2022项的和．
45．（2023·高二课时练习）定义：称为个正数，，…，，的“均倒数”．已知数列的前项的“均倒数”为，
(1)求的通项公式；
(2)设，试判断并说明（为正整数）的符号；
(3)设函数，是否存在最大的实数，当时，对于一切的自然数都有．