2024学年浙教版八年级下册数学第一次月考卷

这是一份2024学年浙教版八年级下册数学第一次月考卷，共19页。试卷主要包含了二次根式，的取值可以是，下列计算正确的是，计算等内容，欢迎下载使用。

选择题（每题3分，共24分）
1．二次根式，的取值可以是 （ ）
A．1B．0C．D．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．B．1C．或1D．12
3． （ ）
A．2B．C．0D．
4．下列计算正确的是 （ ）
A．B．
C．D．
5．如果方程，，那么方程必有一个根为 （ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．一铁饼运动员某次掷出一个铁饼的高度和经过的水平距离可用公式来估计．当铁饼的高度第一次达到时，铁饼的水平距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
二、填空题（每题3分，共24分）
9．计算： ．
10．已知a是方程的一个解，则代数式的值为 ．
11．已知，，则的值是
12．若，则的值为 ．
13．若x、y都是实数，且，则的平方根是 ．
14．代数式的最小值为 ．
15．已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
16．将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是 ．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：
(1)
(2)
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．已知，，试求：
(1)；
(2)
20．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简代数式．
21．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是3，求方程的另一个根．
22．某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？
23．某酒店有50个标准房间提供住宿，所有房价价格一致．当房间单价定为180元/间·天时，酒店会全部住满．据测算，单价每增加10元，就会有一个房间空闲．有客人居住的房间，每个房间每天需要支出各种费用20元．
(1)若每个房间单价增加100元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若酒店某一天获利10640元，则房间单价定为多少元？
(3)房间单价定为多少元时，酒店可以获得最大利润？
24．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ___________；判断241 ___________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②， 若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值．
25．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

2024学年浙教版八年级下册数学第一次月考卷
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．二次根式，的取值可以是 （ ）
A．1B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到，进行判断即可．
【解析】解：由题意，得：，
∴，
故的取值可以是1；
故选A．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．解题的关键是掌握二次根式的被开方数大于等于0．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为 （ ）
A．B．1C．或1D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查的是一元二次方程解的应用，其中理解一元二次方程解的概念是解题的关键．根据关于的一元二次方程的一个根是0，将代入方程即可解出答案．
【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是0，
且，
解得：且，
，
故选：A．
3． （ ）
A．2B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据二次根式加法运算法则直接求解即可得到答案．
【解析】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类二次根式，熟记二次根式加法运算法则是解决问题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可得到答案．
【解析】解：A、，原计算正确，故本选项符合题意；
B、，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，正确对每个选项中的二次根式化简是解题的关键．
5．如果方程，，那么方程必有一个根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据得，回代解方程判断即可．
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x必有一个根为，
故选B．
【点睛】本题考查了解方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键．
6．若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】设，则原方程可化为，根据关于x的一元二次方程的解为，，得到，，于是得到结论．
【解析】解：设，
则原方程可化为，
∵关于x的一元二次方程的解为，，
∴，，
∴或，
解得，．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，关键是正确找出两个方程解的关系．
7．一铁饼运动员某次掷出一个铁饼的高度和经过的水平距离可用公式来估计．当铁饼的高度第一次达到时，铁饼的水平距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题中公式，列方程，解一元二次方程即可得到答案．
【解析】解：由题意可知，
当铁饼的高度第一次达到时，，
，即，
解得或，
由于题中要求第一次达到时，求铁饼的水平距离，则满足题意，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟记解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键．
8．如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【答案】C
【分析】设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得： ，
化简，得：x2-15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10-2x=6＞0，符合题意； 当x=13时，10-2x=-16＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的相关知识．
【解析】解：，
故答案为：．
10．已知a是方程的一个解，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于a的等式，然后整体代入计算即可．
【解析】解：a是方程的一个解，
，
，
，
．
故答案为：．
11．已知，，则的值是
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．把x、y的值代入，然后利用平方差公式计算即可．
【解析】解：∵，，
∴．
故答案为：2．
12．若，则的值为 ．
【答案】4
【分析】考虑运用“换元法”将原式变形，通过解一元二次方程可求得.
【解析】设
∴原式=

（舍去），
∵
所以，
【点睛】本题旨在考查利用“换元法”的方程的求解，熟练掌握换元法及一元二次方程的解法是关键.
13．若x、y都是实数，且，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的平方根．掌握被开方数为非负数是解题关键．根据二次根式有意义的条件可求出x和y的值，进而即可求解．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是．
故答案为：．
14．代数式的最小值为 ．
【答案】﹣1
【分析】将所求的式子先配方为的形式，进而可得答案．
【解析】解：因为，
又因为，
所以代数式的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了利用配方法求最值问题，明确思路、熟练掌握配方法是解题的关键．
15．已知关于x的方程，若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为 ．
【答案】5
【分析】已知a=1，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解析】解：①若a=1为底边，则b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．
∴，
解得：k=2．
此时原方程化为，
∴==2，即b=c=2．
此时△ABC三边为1，2，2能构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=5；
②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
∵把x=1代入方程，得1-（k+2）+2k=0，
解得k=1，
∴此时方程为，
解得=1，=2，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴此情况舍去．
综上所述，所求△ABC的周长为5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
16．将关于的一元二次方程变形为，就可得表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是 ．
【答案】2018
【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式即可得出答案．
进行求值即可．
【解析】解：，
，




，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则即可求解；
（2）运用乘法公式，二次根式的混合运算法则即可求解．
【解析】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简二次根式，乘法公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键．
18．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解，即可求解．
【解析】（1）解：方程分解因式得：，
可得或，
解得：，；
（2）解：方程分解因式得：，
可得或，
解得：，．
19．已知，，试求：
(1)；
(2)
【答案】(1)=1
(2)23
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算以及平方差公式求解即可；
（2）利用完全平方公式对式子进行化简，然后代入求解即可．
【解析】（1）解：
=1；
（2）解：
；
当，时，
原式
=23．
【点睛】此题考查了二次根式的加减乘除运算，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关运算以及平方差公式和完全平方公式．
20．已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简代数式．
【答案】
【分析】根据题意得： ，可得 ，然后根据二次根式的性质化简原式，即可求解．
【解析】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴


．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，有理数的大小比较，根据题意得到 是解题的关键．
21．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是3，求方程的另一个根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式列出关于的不等式，求解可得；
（2）设方程的另一个根为，根据韦达定理列出方程，解方程组即可得．
【解析】（1）根据题意，，
解得：；
答：实数的取值范围是；
（2）设方程的另一个根为，，
解得：，
答：方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查根的判别式与韦达定理，掌握根的判别式与韦达定理是解题的关键．
22．某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？
【答案】(1)
(2)销售价应定为每千克25元
【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用该农户销售该种农产品每天获得的利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要让利消费者，即可得出销售价应定为每千克25元．
【解析】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
当时，；当时，；
将，代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵要让利消费者，
∴．
答：销售价应定为每千克25元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图象中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．某酒店有50个标准房间提供住宿，所有房价价格一致．当房间单价定为180元/间·天时，酒店会全部住满．据测算，单价每增加10元，就会有一个房间空闲．有客人居住的房间，每个房间每天需要支出各种费用20元．
(1)若每个房间单价增加100元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若酒店某一天获利10640元，则房间单价定为多少元？
(3)房间单价定为多少元时，酒店可以获得最大利润？
【答案】(1)10400元
(2)300元或400元
(3)350元
【分析】（1）根据总利润等于单个房间的利润乘以入住的房间数量，列式计算即可；
（2）设定价为元，根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）设定价a元，得到酒店的利润为，即可得解．
【解析】（1）解：元，
答：这个宾馆这一天的利润为10400元；
（2）设定价a元，由题意，得：，
解得或，
∴房间单价定为300元或400元；
（3）设定价a元，由题意，得：
利润，
∵
所以元时，最大利润10890元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．解题的关键是找准等量关系．正确的列出方程．
24．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”．
(1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ___________；判断241 ___________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②， 若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
(3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值．
【答案】(1)，不是
(2)
(3)121，242，363，484
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【解析】（1）解：∵是喜鹊数，
∴，即；
∵，，，
∴241不是喜鹊数；
故答案为：；不是；
（2）∵是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，
∴，，
将两边同除以得：，
∴将m、看成是方程的两个根，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，即；
故答案为：；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484；
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义．
25．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) AB＝3，BC＝4；(2) t＝4；(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．
【分析】（1）解一元二次方程即可求得边长；
（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.
【解析】解：(1)∵x2－7x＋12＝0，
∴(x－3)(x－4)＝0，
∴＝3或＝4，
则AB＝3，BC＝4，
(2)由题意得，
∴，(舍去)，
则t＝4时，AP＝．
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形．
①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ．
②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4．
∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5，
∴t＝ ＝9.5(秒)．
③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q，
，，
∴PC＝2PQ＝，
∴(秒)，
可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．