2024学年湘教版七年级下册数学第一次月考卷

这是一份2024学年湘教版七年级下册数学第一次月考卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共40分)
1．(本题4分)下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．(本题4分)已知、是二元一次方程组的解，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
3．(本题4分)下列从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．(本题4分)方程是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A．； B．，
C．， D．，
5．(本题4分)已知关于x的代数式是完全平方式，则M的值为（ ）
A．6B．C．D．不能确定
6．(本题4分)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ）
A．B．C．D．
7．(本题4分)已知，，则（ ）
A．－6B．6C．12D．24
8．(本题4分)已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．(本题4分)已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
10．(本题4分)某校数学兴趣小组设置了一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得到；第二步：算出的各位数字之和得到，计算得到；第三步：算出的各位数字之和得到，再计算得到；…；依此类推，则的值是（ ）
A．63B．80C．99D．120
二、填空题(共32分)
11．(本题4分)计算 __．
12．(本题4分)若，则的值为 _____．
13．(本题4分)如果，，那么的值等于______．
14．(本题4分)如果，那么___；当时，则___．
15．(本题4分)已知方程组的解为则的值为______．
16．(本题4分)《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有x人，小和尚有y人，那么根据题意可列方程组为 _____．
17．(本题4分)若，那么代数式______．
18．(本题4分)若对任意自然数都成立，先求出．然后计算_______________．
三、解答题(共78分)
19．(本题8分)计算：
(1)； (2)．
20．(本题8分)解方程组
(1) (2)．
21．(本题8分)先化简，再求值：，其中a、b满足
22．(本题10分)已知方程组与方程组的解相等，试求、的值．
23．(本题10分)（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
24．(本题10分)某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．
(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？
(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？
25．(本题12分)如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求；（用含、的式子表示）
(2)请直接写出、、这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，完成下列计算：
①若，，求的值；
②已知，，求的值．
26．(本题12分)已知．
(1)根据以上式子计算：
①；
②（n为正整数）；
③．
(2)通过以上计算，请你进行下面的探索：
①_______；
②_______；
③________．
2024学年湘教版七年级下册数学第一次月考卷
（时间： 120 分钟，满分： 150 分）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据合并同类项法则判断A选项；根据积的乘方法则判断B选项；根据同底数幂的乘法法则判断C选项；根据幂的乘方法则判断D选项．
【详解】A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2．(本题4分)已知、是二元一次方程组的解，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等式的性质，方程组中，左边加左边等于右边加右边，由此即可求解．
【详解】解：方程组中，左边加坐左边等于右边加右边，
∴，合并同类项得，，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握等式的性质，加减消元法解方程组是解题的关键．
3．(本题4分)下列从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式、完全平方公式分别对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．，原变形正确，故此选项符合题意；
D．，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平方差公式和完全平方式，准确运用乘法公式是解决问题的关键．
4．(本题4分)方程是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A．； B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，进行解答即可．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴，，，，
解得：，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
5．(本题4分)已知关于x的代数式是完全平方式，则M的值为（ ）
A．6B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】根据关于x的代数式是完全平方式，得到，即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的代数式是完全平方式，
∴，或，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查完全平方式．熟练掌握完全平方式的特点，是解题的关键．
6．(本题4分)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，则列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】五只雀、六只燕，共重斤（等于两），设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，互换其中一只，恰好一样重，由此可确定等量关系列方程．
【详解】解：设每只雀的重量为两，每只燕的重量为两，五只雀、六只燕，共重斤（等于两），
∴，
互换其中一只，恰好一样重，
∴，即，
联立方程组得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题意，找出数量关系，根据等量关系列方程是解题的关键．
7．(本题4分)已知，，则（ ）
A．－6B．6C．12D．24
【答案】B
【分析】先将式子利用完全平方公式展开，两式相减，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
两式相减：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式，正确变形计算是解题的关键．
8．(本题4分)已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可．
【详解】因为，，，，
因为，
所以，
所以，
故即；
同理可证
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．
9．(本题4分)已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案．
【详解】解：关于的方程组可变形为，
由题意得：，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
10．(本题4分)某校数学兴趣小组设置了一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得到；第二步：算出的各位数字之和得到，计算得到；第三步：算出的各位数字之和得到，再计算得到；…；依此类推，则的值是（ ）
A．63B．80C．99D．120
【答案】A
【分析】先根据题意分别求出，，，，，可得出从第3个数开始，每2个数一循环，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，，
，，
，，，，，，，
∴从第三个数开始，每2个数一循环，
∵，
∴是第个循环的第1个数，
∴的值为63，
故选：A．
【点睛】本题考查数字类规律探究、平方差公式，理解题意，观察出数字变化规律是解答的关键．
二、填空题(共32分)
11．(本题4分)计算 __．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题关键是熟知同底数幂的乘法的计算法则．
12．(本题4分)若，则的值为 _____．
【答案】108
【分析】先将变形为，再代入进行计算．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：108．
【点睛】此题考查了同底数幂相乘运算的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
13．(本题4分)如果，，那么的值等于______．
【答案】
【分析】通过完全平方公式变形再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键．
14．(本题4分)如果，那么___；当时，则___．
【答案】 6 16
【分析】将整体代入即可求解，将转化为，把代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴；
∵，，
∴．
故答案为：6；16．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂乘方的逆运算，整体代入思想．
15．(本题4分)已知方程组的解为则的值为______．
【答案】8
【分析】把代入，即可求解．
【详解】解：把代入得：，
得：，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确将方程组的解代入原方程组．
16．(本题4分)《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有x人，小和尚有y人，那么根据题意可列方程组为 _____．
【答案】
【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
17．(本题4分)若，那么代数式______．
【答案】
【分析】根据方程组的特点由，得，进而即可求解．
【详解】根据题意，得
由，得
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
18．(本题4分)若对任意自然数都成立，先求出．然后计算_______________．
【答案】
【分析】根据题意，分别令，得出方程组，解方程得出的值，进而得出，利用规律即可求解．
【详解】解：∵由于对任何自然数n都成立，因此可知：
当n=1时，；
当n=2时，；
联立方程组为，
解得：
∴
∴
，
故答案为：
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键．
三、解答题(共78分)
19．(本题8分)计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可；
（2）先计算积的乘方，再按单项式乘单项式法则计算．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了整式的混合计算，熟练掌握积的乘方法则和整数乘法法则是解题的关键．
20．(本题8分)解方程组
(1) (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
①②得：，
解得，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．(本题8分)先化简，再求值：，其中a、b满足
【答案】，
【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，，
∴，，
当，时，原式．
【点睛】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
22．(本题10分)已知方程组与方程组的解相等，试求、的值．
【答案】
【分析】两个方程组的解相同，也就是有一组、的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．
【详解】解：由已知可得，解得，
把代入剩下的两个方程组成的方程组，
得，
解得．
故、的值为．
【点睛】本题考查了同解方程组，解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义．
23．(本题10分)（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）45 （2）23
【分析】（1）根据完全平方公式的变形求值即可；
（2）根据完全平方公式的变形求值即可．
【详解】解（1）∵，
∴
；
（2）∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
24．(本题10分)某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．
(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？
(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？
【答案】(1)A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元
(2)两种电脑商场获利44000元
【分析】（1）设A型电脑单价为x元，B型电脑的单价为y元，根据题意，列出方程组求解即可；
（2）分别计算出A型电脑的获利和B型电脑的获利，再相加即可．
【详解】（1）解：设A型电脑单价为x元，B型电脑的单价为y元，
，
解得：，
答：A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元．
（2）A型电脑获利：（元），
B型电脑获利：（元），
两种电脑总获利：（元），
答：两种电脑商场获利44000元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解．
25．(本题12分)如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求；（用含、的式子表示）
(2)请直接写出、、这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，完成下列计算：
①若，，求的值；
②已知，，求的值．
【答案】(1)方法①：；方法②：；
(2)；
(3)①；②．
【分析】(1)根据长方形正方形面积的公式即可求出结果；
(2)根据完全平方和、完全平方差公式记得结论；
(3)根据完全平方和、完全平方差公式之间的关系即可求出结果．
【详解】（1）解： ①∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
∵组成大正方形的四个长方形的长宽是，
∴四个长方形的面积：；
∴阴影部分的面积为：，
②∵阴影部分的边长为：，
∴阴影部分的面积为：．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
（3）解：①∵，，
∴，
∴．
②∵，，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义和代数意义，理解完全平方公式是解题的关键．
26．(本题12分)已知．
(1)根据以上式子计算：
①；
②（n为正整数）；
③．
(2)通过以上计算，请你进行下面的探索：
①_______；
②_______；
③________．
【答案】(1)①；②；③；
(2)①；②；③．
【分析】（1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②缺少(项，从而可以凑配易得，同理即可解答；③中，按降亘进行排列，然后套用规律进行解答；
（2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案．
【详解】（1）①；
②；
③；
（2）①；
②；
③．
故答案为∶①；②；③．
【点睛】本题考查平方差公式，正确理解平方差公式及展开形式是解决本题关键．
A型（台）
B型（台）
总进价（元）
第一次
20
30
210000
第二次
10
20
130000
A型（台）
B型（台）
总进价（元）
第一次
20
30
210000
第二次
10
20
130000