（提高篇）第三单元圆锥·提高篇-六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

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《2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、分层试卷篇等四个部分。
1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。
3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。
4.分层试卷篇，根据试题难度和不同水平，主要分为基础卷、提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。
黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，谢谢！
101数学创作社
2024年2月24日
2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列
第三单元圆锥·提高篇【十七大考点】
专题解读
本专题是第三单元圆锥·提高篇。本部分内容包括圆锥的切面积问题，等积变形问题，排水法求不规则物体的体积，不规则及组合立体图形的体积等，总体来说，考点考题较多，难度相对较大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题，一共划分为十七个考点，欢迎使用。
目录导航
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc28425" 【考点一】圆锥的旋转构成法其一：基础型 PAGEREF _Tc28425 \h 4
\l "_Tc416" 【考点二】圆锥的旋转构成法其二：提高型 PAGEREF _Tc416 \h 6
\l "_Tc3557" 【考点三】圆锥的旋转构成法其三：拓展型 PAGEREF _Tc3557 \h 8
\l "_Tc18286" 【考点四】圆锥的切面积问题 PAGEREF _Tc18286 \h 12
\l "_Tc16505" 【考点五】比在圆锥体积中的应用 PAGEREF _Tc16505 \h 15
\l "_Tc25173" 【考点六】圆柱与圆锥的关系问题其一 PAGEREF _Tc25173 \h 17
\l "_Tc7165" 【考点七】圆柱与圆锥的关系问题其二 PAGEREF _Tc7165 \h 20
\l "_Tc32446" 【考点八】圆柱与圆锥的关系问题其三 PAGEREF _Tc32446 \h 21
\l "_Tc7933" 【考点九】等积变形问题其一：圆柱与圆锥的等积变形 PAGEREF _Tc7933 \h 24
\l "_Tc15788" 【考点十】等积变形问题其二：正方体与圆锥的等积变形 PAGEREF _Tc15788 \h 27
\l "_Tc6285" 【考点十一】等积变形问题其三：长方体与圆锥的等积变形 PAGEREF _Tc6285 \h 28
\l "_Tc913" 【考点十二】排水法求不规则物体的体积其一：圆锥的高 PAGEREF _Tc913 \h 29
\l "_Tc11836" 【考点十三】排水法求不规则物体的体积其二：水高 PAGEREF _Tc11836 \h 31
\l "_Tc3845" 【考点十四】排水法求不规则物体的体积其二：溢水问题 PAGEREF _Tc3845 \h 33
\l "_Tc7811" 【考点十五】正方体中的最大圆锥 PAGEREF _Tc7811 \h 35
\l "_Tc7657" 【考点十六】组合立体图形的体积 PAGEREF _Tc7657 \h 36
\l "_Tc3012" 【考点十七】圆锥中的倒水问题 PAGEREF _Tc3012 \h 38
典型例题
【考点一】圆锥的旋转构成法其一：基础型。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
下图的下边为轴，旋转一周，形成的图形是( )，新图形的体积是( )。
【答案】 圆锥 18.84cm3/18.84立方厘米
【分析】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。下边为轴，圆锥的底面半径3cm，高2cm，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。
【详解】3.14×32×2÷3
＝3.14×9×2÷3
＝18.84（cm3）
形成的图形是圆锥，新图形的体积是18.84cm3。
【对应练习1】
一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个( )体，它的体积是( )立方厘米。
【答案】 圆锥 188.4
【分析】由题意可知，以直角三角形较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个底面半径为6厘米，高为5厘米的圆锥体，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
【详解】一个直角三角形，两条直角边分别是5厘米和6厘米，将该直角三角形以较短的直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱体；
×3.14×62×5
＝×3.14×36×5
＝×36×3.14×5
＝12×3.14×5
＝37.68×5
＝188.4（立方厘米）
则它的体积是188.4立方厘米。
【对应练习2】
将图中三角形的小旗绕旗杆旋转一周，可以形成一个立体图形，这个立体图形的底面周长是( )厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 18.84 37.68
【分析】直角三角形绕着其中一条直角边旋转一周，形成的立体图形是圆锥。圆锥的底面是一个圆，圆周长C＝2πr，圆锥体积＝×底面积×高，根据这两个公式求出这个圆锥的底面周长和体积即可。
【详解】2×3.14×3＝18.84（厘米）
×3.14×32×4
＝×3.14×9×4
＝37.68（立方厘米）
所以，这个立体图形的底面周长是18.84厘米，体积是37.68立方厘米。
【对应练习3】
两条直角边分别为3厘米和4厘米的直角三角形，以直角边3厘米为轴旋转一周，形成( )体，它的体积是( )立方厘米。
【答案】 圆锥 50.24
【分析】直角三角形以直角边为轴旋转一周形成的立体图形是圆锥体，这个圆锥体的底面半径是4厘米，高是3厘米，再根据圆锥的体积公式可以计算出圆锥的体积。
【详解】体积：3.14×4×4×3×
＝12.56×4×（3×）
＝50.24×1
＝50.24（立方厘米）
形成了一个圆锥体，它的体积是50.24立方厘米。
【考点二】圆锥的旋转构成法其二：提高型。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
以下面直角三角形的直角边为轴把它旋转一周，得到的几何体是什么形状的？它的体积最大是多少？（单位cm）
【答案】圆锥体；50.24立方厘米
【分析】把这个直角三角形沿直角边旋转一周，得到的是一个底面半径是4厘米、高3厘米或底面半径3厘米、高4厘米的圆锥体，
【详解】体积是：3.14××3×＝50.24（立方厘米）
或3.14××4×＝37.68（立方厘米）
答：旋转后得到的是圆锥体，体积最大是50.24立方厘米。
【对应练习1】
以三角形（如图）的其中一条直角边为轴，旋转一周，形成一个立体图形，这个立体图形的最大体积是多少立方厘米？
【答案】18.84立方厘米
【分析】如果以三角形3厘米为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是2厘米，高是3厘米；如果以三角形的2厘米为轴旋转一周得到的圆锥的底面半径是3厘米，高是2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【详解】×3.14×22×3
＝3.14×4
＝12.56（立方厘米）
×3.14×32×2
＝3.14×6
＝18.84（立方厘米）
18.84＞12.56
答：这个立体图形的最大体积是18.84立方厘米。
【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【对应练习2】
将一个直角边分别为8厘米、6厘米的直角三角形，以一条直角边为轴旋转，怎样旋转得到的圆锥的体积最大？ （得数保留两位小数）
【答案】以6厘米直角边为轴旋转，得到的圆锥体积最大，最大体积是401.92立方厘米
【分析】以一条直角边为轴旋转，得到的圆锥有两种情况，以8厘米为轴，那么高是8厘米，底面半径是6厘米；以6厘米为轴，那么高是6厘米，底面半径是8厘米；分别计算两种情况下的体积，然后进行比较。
【详解】情况一：以8厘米为轴，高是8厘米，底面半径是6厘米；
（立方厘米）
情况二：以6厘米为轴，高是6厘米，底面半径是8厘米；
（立方厘米）
401.92立方厘米＞301.44立方厘米；
答：以6厘米直角边为轴旋转，得到的圆锥体积最大，最大体积是401.92立方厘米。
【点睛】直角三角形以直角边为轴进行旋转，得到的几何体是圆锥，其中底面半径越大，体积也就越大。
【对应练习3】
一个直角三角形两直角边分别是4cm和6cm,现在分别以两直角边为轴，旋转一周，得到两个圆锥体，体积最大的是哪个？是多少？
【答案】体积最大是以直角边4厘米为轴旋转得到的圆锥；是113.04立方厘米．
【详解】×3.14×62×4
＝3.14×36×4
＝113.04（立方厘米）；
3.14×42×6
＝3.14×16×6
＝100.48（立方厘米）；
113.04立方厘米＞100.48立方厘米，
答：体积最大是以直角边4厘米为轴旋转得到的圆锥，是113.04立方厘米。
【考点三】圆锥的旋转构成法其三：拓展型。
【方法点拨】
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题】
下图ABCD是直角梯形，以AB为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少立方厘米？
【答案】301.44立方厘米
【分析】观察图形可知，旋转体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积；其中圆柱的底面半径是4厘米，高是4厘米；圆锥的底面半径是4厘米，高是（10－4）厘米；
根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱的体积、圆锥的体积，再相加即可。
【详解】圆柱的体积：
3.14×42×4
＝3.14×16×4
＝200.96（立方厘米）
圆锥的体积：
×3.14×42×（10－4）
＝×3.14×16×6
＝100.48（立方厘米）
旋转体的体积：
200.96＋100.48＝301.44（立方厘米）
答：它的体积是301.44立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥体积公式的运用，结合图形，分析出这个旋转体是是由哪些立体图形相加或相减得到，再根据图形的体积公式列式计算。
【对应练习1】
如图，四边形ABCD是直角梯形，以CD边所在的直线为轴，将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少？（单位：厘米）
【答案】141.3立方厘米
【分析】以CD边所在的直线为轴将梯形旋转一周，得到的立体图形可以看成是高为6厘米、底面半径为3厘米的圆柱里面挖去一个高为（6－3）厘米、底面半径为3厘米的圆锥；根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，分别计算出圆柱和圆锥的体积，然后相减，即可求出这个立体图形的体积。
【详解】圆柱的体积：
3.14×32×6
＝3.14×9×6
＝169.56（立方厘米）
圆锥的体积：
×3.14×32×（6－3）
＝×3.14×9×3
＝3.14×9
＝28.26（立方厘米）
立体图形的体积：
169.56－28.26＝141.3（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是141.3立方厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积计算公式的灵活运用，关键是明白直角梯形绕CD边旋转一周，得到图形的体积是圆柱的体积减圆锥的体积。
【对应练习2】
下图中长方形ABCD绕m轴旋转一周后，甲、乙两部分所形成立体图形的体积比是多少？
【答案】11∶1
【分析】由图可知，长方形ABCD绕m轴旋转一周后形成一个圆柱，乙部分绕m轴旋转一周后形成一个圆锥，甲部分的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，最后求出甲、乙两部分的体积比。
【详解】圆柱的体积：
＝
＝（cm3）
乙的体积：
＝
＝
＝（cm3）
甲的体积：－＝（cm3）
甲的体积∶乙的体积＝∶＝11∶1
答：甲、乙两部分所形成立体图形的体积比是11∶1。
【点睛】掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。
【对应练习3】
在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把线直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥。那么，请你思考：
（1）下列两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图。
（2）如下图（图2），有这样一个长方形ABCD，BC＝6cm，AB＝10cm，已知对角线AC、BD相交点。如果图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？
【答案】（1）见详解
（2）565.2立方厘米
【分析】（1）左边梯形可以看成三角形和长方形，下边长方形旋转一周是圆柱，上边三角形绕直角边旋转一周是圆锥，即圆柱上边摞一个圆锥；右边提醒是绕上底旋转，相当于圆柱上边挖去一个倒着的圆锥，据此作图。
（2）这个立体图形可以看成两个圆锥削掉上半部分然后叠加，但还要减去两个小圆锥，才是阴影部分扫出的立体图形的真实体积。
【详解】（1）；
（2）设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是V，则
V＝×6²×10×π－2××3²×5×π
＝120π－30π
＝90π（立方厘米）
2V＝180π＝565.2（立方厘米）
答：阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米。
【点睛】关键是熟悉圆柱和圆锥的特点，圆锥体积＝底面积×高×。
【考点四】圆锥的切面积问题。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
一个圆锥的底面直径是6cm，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来的圆锥增加了48cm2。这个圆锥的体积是( )cm3。
【答案】75.36
【分析】由题意可知，从圆锥的顶点沿着高将它切成相等的两半后，表面积比原来增加了两个三角形的面积，该三角形的底相当于圆锥的直径，三角形的高相当于圆锥的高，据此求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
【详解】48÷2×2÷6
＝24×2÷6
＝48÷6
＝8（cm）
×3.14×（6÷2）2×8
＝×3.14×9×8
＝×9×3.14×8
＝3×3.14×8
＝9.42×8
＝75.36（cm3）
则这个圆锥的体积是75.36cm3。
【点睛】本题考查圆锥的体积，求出圆锥的高是解题的关键。
【对应练习1】
一个圆柱的高是9cm，如果把它横切成两个同样的小圆柱，那么它的表面积会增加180cm2。如果把它削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥的体积是( )。
【答案】270立方厘米/270cm3
【分析】把一段圆柱形木料截成两个小圆柱体，表面积增加180平方厘米，那么增加的表面积是2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出这个圆柱的体积；
如果把这个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底面积等高；根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，由此求出这个圆锥的体积。
【详解】圆柱的底面积：180÷2＝90（cm2）
圆柱的体积：90×9＝810（cm3）
圆锥的体积：810×＝270（cm3）
这个圆锥的体积是270cm3。
【点睛】掌握圆柱切割的特点以及等底等高圆柱和圆锥的体积之间的关系，明确把一个圆柱切成两个小圆柱，增加的表面积是2个圆柱的底面积。
【对应练习2】
把一个底面半径是5厘米的圆锥体木块，从顶点处沿着高竖直把它切成两块完全相同的木块，这时表面积增加120平方厘米，求这个圆锥体木块的体积是( )立方厘米。
【答案】314
【分析】根据题意，从圆锥的顶点处沿着高竖直把它切成两块完全相同的木块，那么增加的表面积是2个切面的面积，每个切面是一个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高的三角形；先用增加的表面积除以2，求出一个切面（三角形）的面积，然后根据三角形的高＝面积×2÷底，即可求出圆锥的高；最后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出这个圆锥体木块的体积。
【详解】120÷2＝60（平方厘米）
60×2÷（5×2）
＝120÷10
＝12（厘米）
×3.14×52×12
＝×3.14×25×12
＝3.14×100
＝314（立方厘米）
【点睛】本题考查三角形面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是求出圆锥的高。
【对应练习3】
一个底面直径是6cm的圆锥，沿着高方向切成2个半圆锥，表面积增加了48cm²，圆锥的高是( )cm，圆锥的体积为( )。
【答案】 8 75.36
【分析】由题干可知，把圆锥沿高切开，切面是三角形，三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，根据三角形面积公式：S＝ah÷2，则h＝2S÷a，据此求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式进而求出圆锥的体积。
【详解】48÷2＝24（平方厘米）
24×2÷6
＝48÷6
＝8（厘米）
3.14×（6÷2）²×8÷3
＝226.08÷3
＝75.36（立方厘米）
【点睛】此题考查的是三角形面积的计算，圆锥的体积公式的应用，熟记公式是解题关键。
【考点五】比在圆锥体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。
2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。
3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是1∶3。
【典型例题】
（1）两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（ ）。
（2）两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（ ）。
（3）两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少?
解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12
【对应练习1】
有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少?
解析：40
【对应练习2】
一块圆柱形橡皮泥，高是2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。
解析：6
【对应练习3】
已知两个圆锥的底面半径比是2∶3，高的比是2∶3，则两个圆锥的体积比是多少？
解析：8:27
【对应练习4】
如果两个圆锥的底面半径比为1∶2，高的比是2∶1，它们的体积比是多少？
解析：1:2
【对应练习5】
一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是6平方厘米，则圆锥的底面积是（ ）平方厘米。
解析：18
【对应练习6】
一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的，圆柱和圆锥底面积的比是5∶4。圆柱和圆锥体积的比是多少？
解析：5:2
【考点六】圆柱与圆锥的关系问题其一。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。
【典型例题】
1．一个圆柱形木墩如图。把这个木墩削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方分米？
【答案】25.12立方分米
【分析】已知圆柱的底面直径是4分米，高为6分米，若把它削成一个最大的圆锥体，则削成的圆锥和圆柱的底面直径以及高都相等，根据等底等高的圆锥体的体积是圆柱体积的三分之一，因此，求出圆柱的体积除以3即可。
【详解】3.14×（4÷2）2×6÷3
＝3.14×24÷3
＝3.14×8
＝25.12（立方分米）
答：圆锥的体积是25.12立方分米。
【点睛】此题的知识点是：圆锥和圆柱的关系，根据圆柱的底面直径和高，依次求圆柱的底面面积和体积。
2．一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，圆柱的底面积是多少？
【答案】9.42平方厘米
【分析】圆柱与圆锥的体积、底面积、高之间存在有趣的关系，如下：
等底等高时：V圆柱＝3V圆锥
等底等体积时：h圆锥＝3h圆柱
等高等体积时：S圆锥＝3S圆柱
【详解】28.26÷3＝9.42（平方厘米）
答：圆柱的底面积是9.42平方厘米。
3．把一根底面周长是24厘米，长是18厘米的圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，圆锥的高是多少？
【答案】54厘米
【分析】根据题意可知，把一个圆柱形钢材加工成与它等底等体积的圆锥形钢材，由圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是是圆柱高的3倍，据此解答。
【详解】18×3＝54（厘米）
答：圆锥的高是54厘米。
【点睛】掌握等体积等底的圆柱和圆锥的高之间的关系是解题的关键。
【对应练习1】
一根圆柱体的木材，底面半径是3分米，高是5分米。
（1）给这根木材侧面涂上油漆，需要涂多少平方分米？
（2）把这根圆柱体木材削成等底等高的圆锥体，圆锥体积是多少立方分米？
【答案】（1）94.2平方分米
（2）47.1立方分米
【分析】（1）圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此求出需要涂出的面积；
（2）等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，先求出圆柱的体积，再求出圆锥的体积即可。
【详解】（1）
（平方分米）
答：需要涂94.2平方分米。
（2）
（立方分米）
答：圆锥体积是47.1立方分米。
【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积、圆锥的体积，解答本题的关键是熟记侧面积和体积计算公式。
【对应练习2】
一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是28.26平方厘米，圆锥的底面积是多少？
【答案】84.78平方厘米
【分析】圆柱与圆锥的体积、底面积、高之间存在有趣的关系，如下：
等底等高时：V圆柱＝3V圆锥；
等底等体积时：h圆锥＝3h圆柱；
等高等体积时：S圆锥＝3S圆柱；
结合条件，用28.26乘3即可求出圆锥的底面积。
【详解】28.26×3＝84.78（平方厘米）
答：圆锥的底面积是84.78平方厘米。
【点睛】此题考查了圆柱与圆锥的关系，关键熟记它们之间的变化规律。
【对应练习3】
一个圆柱的底面积直径是10厘米，高是15厘米，一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等，求圆锥的高是多少厘米？
【答案】45厘米
【分析】根据“圆锥体的体积等于等底等高的圆柱体体积的”可知：一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的高的3倍，据此解答。
【详解】15×3＝45（厘米）
答：圆锥的高是45厘米。
【点睛】解答本题需熟练掌握等底等高的圆柱体和圆锥体体积之间的关系。
【考点七】圆柱与圆锥的关系问题其二。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。
【典型例题】
等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积一共是78立方分米，那么圆锥的体积是( )立方分米，圆柱的体积( )立方分米。
【答案】 19.5 58.5
【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据和倍问题解题方法，体积和÷（倍数＋1）＝圆锥体积，体积和－圆锥体积＝圆柱体积，据此列式计算。
【详解】78÷（3＋1）
＝78÷4
＝19.5（立方分米）
78－19.5＝58.5（立方分米）
圆锥的体积是19.5立方分米，圆柱的体积58.5立方分米。
【对应练习1】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和68dm3，圆柱体积是( )dm3。
【答案】51
【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，它们的体积和÷（3＋1）＝圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式计算。
【详解】68÷（3＋1）×3
＝68÷4×3
＝51（dm3）
圆柱体积是51dm3。
【点睛】关键是理解圆柱和圆锥体之间的关系，掌握和倍问题的解题方法。
【对应练习2】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是36立方分米，它们的体积相差( )立方分米。
【答案】18
【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，可知它们的体积之和是圆锥体积的（3＋1）倍，已知体积之和是36立方分米，用除法即可求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积，再相减即可。
【详解】36÷（3＋1）
＝36÷4
＝9（立方分米）
36－9＝27（立方分米）
27－9＝18（立方分米）
即它们的体积相差18立方分米。
【对应练习3】
一个圆柱体的体积与它等底等高的圆锥体的体积之和是144m3，它们的体积之差是( )。
【答案】72m3
【分析】根据等底等高的圆柱体的体积等于圆锥体的体积的3倍，据此解答即可。
【详解】据题意可知：
V圆柱＝3V圆锥
V圆柱＋V圆锥＝144
V圆锥＝144÷（3＋1）
＝144÷4
＝36（m3）
V圆柱＝36×3＝108（m3）
所以，它们的体积之差是：108－36＝72（m3）
【点睛】本题考查圆柱体的体积和圆锥体的体积之间的关系，关键要抓住等底等高这个条件。
【考点八】圆柱与圆锥的关系问题其三。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。
【典型例题】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥大48cm3，那么圆锥的体积是( )cm3。如果圆锥的底面积是9cm2，那么圆锥的高是( )cm。
【答案】 24 8
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆锥体积的（3－1）倍，即用圆柱比圆锥体积大的部分除以（3－1）即可求出圆锥体积；
根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，代入公式求出圆锥的高即可。
【详解】由分析可得：
等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，
48÷（3－1）
＝48÷2
＝24（cm3）
24÷÷9
＝24×3÷9
＝72÷9
＝8（cm）
综上所述：一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥大48cm3，那么圆锥的体积是24cm3。如果圆锥的底面积是9cm2，那么圆锥的高是8cm。
【对应练习1】
一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差30立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。
【答案】15
【分析】圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍，将圆锥的体积看成1份，那么等底等高的圆柱的体积就是3份，它们的体积相差3－1＝2份，用30÷2求出相差1份的体积是多少，也就是圆锥的体积。
【详解】30÷（3－1）
＝30÷2
＝15（立方厘米）
圆锥体的体积是15立方厘米。
【点睛】熟练掌握等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系是解题的关键。
【对应练习2】
一个圆锥与一个和它等底等高的圆柱的体积之差是60立方厘米，则这个圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。
【答案】 30 90
【分析】圆锥与圆柱等底等高，所以圆锥的体积是圆柱体积的，所以圆柱的体积比圆锥的体积多，知道了它们的体积差是60立方厘米，所以圆柱的体积就是，用求出的圆柱体积乘，就是圆锥的体积。
【详解】
＝
＝
＝（立方厘米）
（立方厘米）
所以圆锥的体积是30立方厘米，圆柱的体积是90立方厘米。
【点睛】考查等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，重点是知道它们之间存在着的数量关系。
【对应练习3】
一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差12.56cm3，它们的体积之和是( )cm3。
【答案】25.12
【分析】圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，所以等底等高圆柱的体积是圆锥体积的3倍，等底等高圆柱和圆锥的体积差是圆锥体积的2倍。将体积差除以2，求出圆锥体积，再将圆锥体积乘3，求出圆柱体积。将圆柱和圆锥体积相加，求出体积之和。
【详解】12.56÷2＝6.28（cm3）
6.28×3＝18.84（cm3）
6.28＋18.84＝25.12（cm3）
所以，它们的体积之和是25.12cm3。
【考点九】等积变形问题其一：圆柱与圆锥的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个圆柱的底面积直径是10厘米，高是15厘米，一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等，求圆锥的高是多少厘米？
【答案】45厘米
【分析】根据“圆锥体的体积等于等底等高的圆柱体体积的”可知：一个圆锥的体积与这个圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的高的3倍，据此解答。
【详解】15×3＝45（厘米）
答：圆锥的高是45厘米。
【点睛】解答本题需熟练掌握等底等高的圆柱体和圆锥体体积之间的关系。
【对应练习1】
把一块底面直径是10厘米，高8厘米的圆柱形铁块熔铸成一个底面周长是62.8厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少厘米？
【答案】6厘米
【分析】根据题意，把一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥形铁块，形状变了，铁块的体积不变。
先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积；
已知圆锥形铁块的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；
根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。
【详解】铁块的体积：
3.14×（10÷2）2×8
＝3.14×25×8
＝628（立方厘米）
圆锥的底面半径：
62.8÷3.14÷2＝10（厘米）
圆锥的底面积：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
圆锥的高：
628×3÷314
＝1884÷314
＝6（厘米）
答：这个圆锥形铁块的高是6厘米。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。
【对应练习2】
把一堆底面半径为3米，高为1.8米的圆锥形小麦堆放进底面半径为2米的圆柱形粮囤中，正好装满，请问粮囤的高是多少米？
【答案】1.35米
【分析】根据题意，把圆锥形小麦堆放进圆柱形粮囤中，形状变了，小麦的体积不变。根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆小麦的体积。
将这些小麦放进底面半径为2米的圆柱形粮囤中，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形粮囤的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，代入数据计算，求出粮囤的高。
【详解】圆锥的体积：
×3.14×32×1.8
＝×3.14×9×1.8
＝16.956（立方米）
圆柱的底面积：
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
圆柱的高：
16.956÷12.56＝1.35（米）
答：粮囤的高是1.35米。
【点睛】本题考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，抓住小麦的体积不变是解题的关键。
【对应练习3】
把一个底面周长是31.4分米，高9分米的圆柱体铁块熔铸成一个底面半径是6分米的圆锥体，圆锥的高是多少分米？
【答案】18.75分米
【分析】先利用圆的周长公式求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积V＝求出这个圆柱体铁块的体积，又因圆柱体铁块熔铸成圆锥体时体积是不变的，也就等于知道了圆锥的体积，从而利用圆锥的体积V＝，就能求出这个圆锥体的高。
【详解】31.4÷2÷3.14＝5（分米）
3.14×52×9
＝3.14×25×9
＝706.5（立方分米）
706.5÷÷（3.14×62）
＝706.5×3÷（3.14×36）
＝2119.5÷113.04
＝18.75（分米）
答：圆锥的高是18.75分米。
【点睛】此题主要是灵活利用圆柱与圆锥的体积公式解决问题，关键是明白：圆柱体铁块熔铸成圆锥体时体积是不变的。
【考点十】等积变形问题其二：正方体与圆锥的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？
解析：
4×4×4×3÷12=16（dm）
【对应练习1】
将一个棱长为5分米的正方体铁块熔铸成底面积是60平方分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？
解析：
5×5×5×3÷60=6.25（分米）
【对应练习2】
一个正方体的体积是216立方厘米，和它底面积相等，高也相等的圆锥的体积是多少立方厘米？
解析：
216×＝72（立方厘米）
答：圆锥的体积是72立方厘米。
【对应练习3】
一个正方体铁块的棱长为4厘米。如果把它熔铸成底面直径是6厘米的圆锥，这个圆锥的高约是多少厘米？（结果保留整数，π取3.14）
解析：
6÷2＝3（厘米）
4×4×4÷÷（3.14×32）
＝64×3÷（3.14×9）
＝192÷28.26
≈7（厘米）
答：这个圆锥的高约是7厘米。
【考点十一】等积变形问题其三：长方体与圆锥的等积变形。
【方法点拨】
等积变形问题，利用体积不变原理，根据相应公式来求问题。
【典型例题】
一个圆锥形砂堆，底面面积是12.56平方米，高是3米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米？
解析：
20厘米＝0.2米
12.56×3×
＝12.56÷2
＝6.28（米）
答：能铺6.28米。
【对应练习1】
一辆货车车厢是一个长方体，车厢里面量得长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸完沙后，堆成一个高是2米的圆锥形，圆锥底面积是多少平方米？
解析：
4×1.5×4×3÷2
＝6×4×3÷2
＝24×3÷2
＝72÷2
＝36（平方米）
答：圆锥底面积是36平方米。
【对应练习2】
一个圆锥形沙堆，底面积是平方米，高是米。把这堆沙均匀地铺在一个面积平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？
解析：
×10×1.2÷20
＝×12÷20
＝4÷20
＝0.2（米）
＝20（厘米）
答：沙坑里的沙厚20厘米。
【对应练习3】
一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高1.2米，把这些沙子铺在一条长31.4米、宽8米的道路上，能铺多厚？
解析：
（m）
答：能铺0.8米厚。
【考点十二】排水法求不规则物体的体积其一：圆锥的高。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
【典型例题】
有一个底面直径是20cm的圆柱形容器，容器内盛了一些水。把一个底面周长是18.84cm的圆锥放入容器内，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，这个圆锥的高是多少cm？
解析：
圆锥底面半径：18.84÷2÷3.14＝3（厘米）
圆锥底面积：3.14×32＝28.26（平方厘米）
圆锥高：
3.14×（20÷2）2×0.6×3÷28.26
＝3.14×100×0.6×3÷28.26
＝565.2÷28.26
＝20（厘米）
答：这个圆锥的高是20厘米。
【对应练习1】
一个圆柱形容器里面装有60厘米深的水，从里面量该容器的底面半径为10厘米。调皮的弟弟将一个底面半径为6厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中，这时水面上升了3厘米（水未溢出），这个圆锥形玩具的高是多少厘米？
【答案】25厘米
【分析】根据题意可知：圆柱形容器内放入圆锥后，上升部分水的体积等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出这个圆锥形玩具的体积，再根据圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答即可。
【详解】
＝3.14×100×3×3÷（3.14×36）
＝942×3÷113.04
＝2826÷113.04
＝25（厘米）
答：这个圆锥形玩具的高是25厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【对应练习2】
有一个长方体水箱，底面是边长为4分米的正方形，水箱内原有3.5分米深的水。现在把一个底面积为8平方分米的圆锥形铜块完全浸没在水中，这时水面升高了0.5分米，求这个圆锥形铜块的高。
解析：
4×4×0.5×3÷8
＝16×0.5×3÷8
＝8×3÷8
＝24÷8
＝3（分米）
答：这个圆锥形铜块的高是3分米。
【对应练习3】
一个底面半径为9厘米的圆柱形水桶里装有水，水中放着一个底面周长为37.68厘米的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后水桶中水面下降2厘米，圆锥形铅锤的高是多少厘米？
解析：
37.68÷3.14÷2＝6（厘米）
3.14×92×2÷÷（3.14×62）
＝
＝13.5（厘米）
答：圆锥形铅锤的高是13.5厘米。
【考点十三】排水法求不规则物体的体积其二：水高。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
【典型例题】
一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中装有水，水里放着一个底面直径是6厘米、高是20厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出时，杯里的水面会下降多少厘米？
解析：
3.14×（6÷2）²×20÷3
＝3.14×9×20÷3
＝188.4（立方厘米）
188.4÷[3.14×（20÷2）²]
＝188.4÷[3.14×100]
＝188.4÷314
＝0.6（厘米）
答：杯里的水面会下降0.6厘米。
【对应练习1】
一个底面半径是12厘米的圆柱形玻璃缸中装有水，里面放有一个底面半径是6厘米、高是18厘米的圆锥形铁块，全部被水淹没，当把铁块从水中取出后，水面会下降多少厘米？
解析：
3.14×6²×18×÷（3.14×12²）
＝678.24÷452.16
＝1.5（厘米）
答：水面会下降1.5厘米。
【对应练习2】
在一个底面周长是125.6厘米，水面高度为30厘米的圆柱形水桶里，完全浸没着一个圆锥形零件，零件底面半径是10cm，高是6cm，当把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？
解析：
答：把这个零件从水桶里取出后，桶里的水面下降了0.5厘米。
【对应练习3】
一个底面直径是20厘米的圆柱形杯中装有水，水里浸没一个底面直径是10厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取出时，杯里的水面会下降多少厘米？
解析：
×3.14××18÷[3.14×]
＝×3.14×25×18÷[3.14×100]
＝3.14×25×6÷314
＝1.5（厘米）
答：杯里的水面会下降1.5厘米。
【考点十四】排水法求不规则物体的体积其二：溢水问题。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V物体=V现在－V原来；
②V物体=S×(h现在- h原来)；
③V物体=S×h升高。
【典型例题】
一个装满水的无盖长方体容器（如下图），如果在容器中放入一个底面半径，高是的实心铁圆锥（完全浸没），会溢出多少毫升的水？
解析：
（立方厘米）
157立方厘米＝157毫升
答：会溢出157毫升的水。
【对应练习1】
把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？
解析：
×3.14×42×6
＝×3.14×16×6
＝100.48（立方厘米）
答：将有100.48立方厘米的水溢出。
【对应练习2】
有一个底面半径为8cm的圆柱形玻璃容器，水深6cm。把一块底面半径是6cm、高是10cm的圆锥形铁块放入水中，水会溢出45mL，那么这个玻璃容器有多高？（得数保留整数）
解析：
圆锥形铁块的体积：×3.14×6²×10＝376.8（cm³）
水的体积：3.14×8²×6＝1205.76（cm³）
45 mL＝45 cm
376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm³）
玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×8²）≈8（cm）
答：这个玻璃容器的高约8cm。
【对应练习3】
一个盛满水的圆柱形玻璃容器，底面半径是20厘米。先将一个圆柱形铁块浸没在这个圆柱形玻璃容器中，溢出一些水，然后将铁块取出，水面下降了3厘米；接着再将一个圆锥形铁块浸没在这个圆柱形玻璃容器中，也溢出一些水，发现这两次溢出的水一样多。若这个圆锥形铁块的底面半径是12厘米，则它的高是多少厘米？
【答案】50厘米
【分析】第一次水溢出的体积就是圆柱铁块的体积，圆柱的体积＝容器的底面积×液面变化高度；圆锥铁块放进去，又流出同样多的水，圆锥的体积是圆柱的2倍。圆锥的高＝圆锥的体积×3÷圆锥的底面积。
【详解】圆柱铁块的体积：（立方厘米）
圆锥的体积＝（立方厘米）
圆锥的高＝（厘米）
答：圆锥的高是50厘米。
【点睛】解决问题的关键在于意识到溢出的水就是放进去物体的体积。
【考点十五】正方体中的最大圆锥。
【方法点拨】
将正方体削成一个最大的圆锥，正方体的棱长分别是圆锥的底面直径和高。
【典型例题】
把一个正方体木块加工成最大的圆锥体，它的底面半径是5厘米，这个正方体的体积是多少立方厘米？
解析：
5×2＝10（厘米）
10×10×10
＝100×10
＝1000（立方厘米）
【对应练习1】
如下图一块立方体木料，体积是64立方厘米，以它的一面为底面加工成一个最大的圆锥体，体积是多少立方厘米？
解析：

＝
＝（立方厘米）
所以圆锥体的体积为＝立方厘米。
【对应练习2】
一个正方体木块的棱长是6厘米，把它削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是多少立方厘米？
解析：
3.14×（6÷2）2×6×
＝3.14×9×2
＝56.52（立方厘米）
答：这个圆锥体的体积是56.52立方厘米。
【对应练习3】
把棱长为6厘米的正方体木块削成一个最大的圆锥，削下部分的体积是多少立方厘米？
解析：
×3.14×（6÷2）2×6
＝×3.14×9×6
＝56.52（立方厘米）
6×6×6﹣56.52
＝216﹣56.52
＝159.48（立方厘米）
答：削下部分的体积是159.48立方厘米。
【考点十六】组合立体图形的体积。
【方法点拨】
组合图形的体积等于各规则立体图形的体积之和。
【典型例题】
测量一个粮仓，从里面量得的数据如图所示，如果每立方米的粮食约重800干克，这个粮仓能装粮食多少干克？（π取3.14）
解析：6280千克。
【对应练习1】
计算下面立体图形的体积。
解析：169.56立方厘米。
【对应练习2】
下图的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
解析:
3.14×（12÷2）²×2＋3.14×（12÷2）²×1×
＝226.08＋37.68
＝263.76（立方米）
答：这个蒙古包所占的空间是263.76立方米。
【对应练习3】
一个陀螺，上部是圆柱形，下部是圆锥形，如下图。这个陀螺的体积是多少立方厘米？
解析：
10÷2＝5（厘米）
3.14×5²×8＋3.14×5²×（11－8）÷3
＝628＋78.5×3÷3
＝628＋78.5
＝706.5（立方厘米）
答：这个陀螺的体积是706.5立方厘米。
【考点十七】圆锥中的倒水问题。
【方法点拨】
圆锥中倒入部分水，水的形状也是圆锥，当水的高度和原来圆锥的高度之比是m∶n时，水形成的圆锥和原来的圆锥的底面半径之比也是m∶n，那么底面积的比就是m2：n2，此时体积之比就是m3：n3。
【典型例题】
如图，圆锥形容器中装有水40升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升?
解析：
水与圆锥高之比为1:2，所以，体积之比为1:8。
40×8=320（升）
【对应练习1】
如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是这个容器的一半，这个容器最多能装水多少升?
解析：400升。
【对应练习2】
圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半.这个容器还能装水多少升?
解析：42升。
【对应练习3】
如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水?
解析：35升。