2024小升初数学思维专项模块训练10 牛吃草问题

这是一份2024小升初数学思维专项模块训练10 牛吃草问题，共88页。

1．王奶奶家现有40个鸡蛋，还养了一只每天都要下一个蛋的母鸡，如果王奶奶每天吃3个鸡蛋，那么她可以这样连吃几天？（ ）
A．13B．17C．19D．20
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】共有40个鸡蛋，每天都会有一只鸡下一个蛋，每天吃3个，这样每天鸡蛋的数量在40的基础上每天减少2个．
【解答】解：每天数量减少2个，
40÷（3﹣1）=20（天）
故选：D．
【点评】本题的关键就是找到每一天鸡蛋减少的数量．鸡蛋总共的个数÷每天减少的数量=天数．问题解决．

2．展览会上午9点开门，但早就有人排队等着入场，并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的，如果开3入场口，9点9分就不再有人排队了；如果开5个入场口，9点5分就没人排队了，问第一个观众来到的时间是（ ）
A．8：15B．8：30C．8：45D．8：50
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】以9点为分界线．把“入场口”看成“牛”，“来的人”看成“草”，9点前来的人为原有的草，之后来的人为生长的草．然后再用“牛吃草的公式”来解此题就可以了．
【解答】解：①每分钟来的人数是（3×9﹣5×5）÷（9﹣5）=2÷4=0.5（份）
②9点前来的人数是5×5﹣5×0.5=22.5（份）
③22.5÷0.5=45（分钟）
9点=8点60分
8点60分﹣45分=8点15分=8：15
故选：A．
【点评】此题只要能正确区分“何为牛，何为草”就能顺利解答．

3．一艘船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已漏进水800桶．一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完，每分钟漏进水（ ）桶．
A．14B．16C．18D．20
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】结合题意并运用“工作总量=工作效率×工作时间”公式，先求得50分钟两台抽水机共抽总水量1600桶，这说明50分钟漏进的水量是1600﹣800=800桶，然后即可求得答案．
【解答】解：（18+14）×50=1600（桶）
（1600﹣800）÷50=16（桶）
故选：B．
【点评】此题较简单，只要灵活运用“工作总量=工作效率×工作时间”公式即可轻松作答．

二．填空题（共18小题）
4．有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需 1 台．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意，只需求出每小时新增水即可，设1台抽水机1小时抽1份水，则每小时新增水：（9×9﹣10×8）=1，即只需要1台抽水机将新增水抽调就能保证游泳池水位不变．
【解答】解：设1台抽水机1小时抽1份水，
每小时新增水：9×9﹣10×8=1；
答：向外抽水的抽水机需1台．
【点评】此题属于典型的牛吃草问题，应仔细分析，找到解决问题的巧妙办法，迎刃而解．

5．一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排用两部抽水机同时向外抽水，当时已经漏进了600桶水，一部抽水机每分钟抽水18桶，另一部抽水机每分钟抽水22桶，经过24分钟把水抽完，这艘轮船每分钟漏进 15 桶水．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】2部抽水机1分钟可以抽出18+22=40桶水，那么24分钟就抽出去960桶水，船体本来有600桶水，那么24分钟内，漏进船体的水为960﹣600=360桶水，所以每分钟漏进：600÷24=15（桶）．
【解答】解：[（18+22）×24﹣600]÷24
=[40×24﹣600]÷24
=[960﹣600]÷24
=600÷24
=15（桶）
答：这艘轮船每分钟漏进15桶水．
故答案为：15．
【点评】此题属于“牛吃草”问题，求出24分钟内漏进船体的水量，是解答此题的关键．

6．自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶，两个小孩嫌电梯太慢，急着从扶梯上楼，甲小孩每分钟走26级，乙小孩每分钟走14级，结果甲小孩用4分钟到达楼上，乙小孩用6分钟到达楼上，该扶梯共有 144 级．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】由题意可知：乙小孩比甲小孩多上了20级，这正是扶梯在6﹣4=2分钟行驶的级数，即扶梯每分钟行驶20÷2=10级；刚该扶梯的级数就是孩子自己上的级数与扶梯自动上的级数之和，这样我们可据任意一孩的上楼情况求得该扶梯的级数．
【解答】解：26×4﹣14×6=20（级）
20÷2=10（级）
26×4+10×4=144（级）
答：该扶梯共有144级．
【点评】此题并不难，只要明白题意和灵活运用“牛吃草问题”公式即可解答．

7．王大妈家里原来有24个鸡蛋，而且还养了一只一天能下一个蛋的母鸡．王大妈一天要吃3个鸡蛋，家里的鸡蛋可以连续吃 12 天．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】生蛋量为1只鸡一天下1只蛋，她家一天吃3个鸡蛋，吃的蛋比下的蛋每天多2个，不足的要从原有量里来补，所以，王大妈的鸡蛋能连续吃：24÷（4﹣2）=12（天）；据此解答即可．
【解答】解：24÷（4﹣2）
=24÷2
=12（天）
答：家里的鸡蛋可以连续吃12天．
故答案为：12．
【点评】本题为简单的牛吃草问题，根据原有量、生成量及每天的消耗量的关系进行解答即可．

8．一牧场，17头牛30天可将草吃完，I9头牛24天可将草吃完，现有牛40头．吃6天后卖了4头．余下的牛再吃多少天便将草吃完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每头牛每天吃1份草，17头牛30天吃17×30=510份，19头牛24天吃19×24=456份，多吃了510﹣456=54份，恰好是30﹣24=6天长的；每天就长54÷6=9份，原来牧场有（17﹣9）×30=240份，40头吃6天还剩240+6×9﹣40×6=54份，卖了4头还剩36头，余下的牛再吃54÷（36﹣9）天便将草吃完．
【解答】解：假设每头牛每天吃1份草，17头牛30天比19头牛24天多吃：
17×30﹣19×24
=510﹣456
=54（份），
即每天长：54÷（30﹣24）
=54÷6
=9（份），
所以原来牧场有：（17﹣9）×30
=8×30
=240（份），
40头吃6天还剩240+6×9﹣40×6
=240+54﹣240
=54（份），
卖了4头还剩40﹣4=36（头），
余下的牛再吃54÷（36﹣9）
=54÷27
=2（天），
答：余下的牛再吃2天便将草吃完．
【点评】牛吃草问题的基本公式有：基本公式：生长量=（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量．

9．有3片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它的面积为4亩、8亩和10亩．24头牛6星期吃完第一片牧场上的草；36头牛12星期吃完第二片牧场上的草， 40 头牛9星期才能吃完第二片牧牧场上的草．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】由于两次的亩数不同，所以统一亩数：24头牛6星期吃4亩，看作24×2头牛6星期吃4×2亩，即48头牛6星期吃8亩；假设每头牛每星期吃1份草，48头牛6星期吃48×6=288份，36头牛12星期吃36×12=432份，多吃了432﹣288=144份，恰好是12﹣6=6星期长的；那么8亩每星期就长144÷6=24份，则每亩每星期就长24÷8=3份，原来牧场每亩的草量有48×6÷8﹣3×6=18份；那么8亩9星期后的草量为：18×8+3×9×8=360份，所以牛的数量是：360÷9=40头，据此解答即可．
【解答】解：假设每头牛每周吃1份草；
24头牛6星期吃4亩，也就是48头牛6星期吃8亩；
8亩每星期长草的份数：
（36×12﹣48×6）÷（12﹣6）
=144÷6
=24（份）；
每亩每星期就长24÷8=3（份）；
原来牧场每亩的草量有：
48×6÷8﹣3×6
=36﹣18
=18（份）；
8亩9星期后的草量为：18×8+3×9×8
=144+216
=360（份）；
所以牛的数量是：360÷9=40（头）．
答：40头牛9星期才能吃完第二片牧牧场上的草．
故答案为：40．
【点评】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”，这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素；解这类题的关键是求出草每星期的生长量．数量关系是：草的总量=原有草量+草每星期生长量×星期数．

10．26头牛吃了3亩草地的草，3天可以吃完，17头牛吃28亩同样草地的草，84天可以吃完，问：同样的牧草40亩可供 35 头牛食用24天．（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）（用算数法解）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃草量为1份，根据：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草的量，所以草的生长速度为：（17×84﹣26×28）÷（26×84﹣17×84）=；
一头牛一天的吃草量为：（3+3×）÷（3×26）=；
24天吃40亩地的牛数为：（40+24×）÷（24×）=35（头）．
【解答】解：草的生长速度为：
（17×84﹣26×28）÷（26×84﹣17×84）
=（1428﹣728）÷（2184﹣1428）
=700÷756
=
一头牛一天的吃草量为：（3+3×）÷（3×26）
=（3+）÷78
=÷78
=
24天吃40亩地的牛数为：
（40+24×）÷（24×）
=（40+）÷
=×
=35（头）
答：同样的牧草40亩可供35头牛食用24天．
故答案为：35．
【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数=草地原有的草量．

11．一片草地，每天都匀速长出青草，可供24头牛吃6天，也可供20头牛吃10天，这片草地可供 19 头牛吃12天．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃草一份，根据“可供24头牛吃6天，也可供20头牛吃10天，”可以求出草每天生长量，列式为：（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）=14（份）；还可求出草地原有草的份数，列式为：20×10﹣10×14=60（份）；由于每头牛每天吃草一份，草每天生长14份，那么可供（60+14×12）÷12=19头牛吃12天．
【解答】解：设每头牛每天吃草一份，
草的生长速度：
（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）
=56÷4
=14（份）
草地原有草的份数：20×10﹣14×10
=200﹣140
=60（份）
（60+14×12）÷12
=228÷12
=19（头）
答：可供19头牛吃12天．
故答案为：19．
【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度和草地原有草的份数．

12．林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有 33 只猴子一起吃（假定野果生长的速度不变）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】把每只猴吃的野果数量视为1份，23只猴9周吃掉23×9=207份，21只猴12周吃掉21×12=252份，那么12周与9周时间相差的252﹣207=45份就是12﹣9=5周新长的，则每周新长（252﹣207）÷（12﹣9）=15份，原有野果207﹣15×9=72份，4周吃完，那么有猴子72÷4=18只，每周新长的15份可共15只猴子吃，所以一共有猴子18+15=33只，据此解答即可．
【解答】解：把每只猴吃一周的野果数量视为1份，
23只猴9周吃掉：
23×9=207（份）
21只猴12周吃掉：
21×12=252（份）
则每周新长：
（252﹣207）÷（12﹣9）=15（份）
原来一开始吃之前已经有：
207﹣15×9=72（份）
72÷4=18（只）
18+15=33（只）
答：则需有33只猴子一起吃．
故答案为：33．
【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出野果每天长的份数和原来野果的份数为本题解答的突破口．

13．一块草地，每天长草的数量相同，10头牛能吃22天，16头牛能吃10天，问27头牛能吃 5 天．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（10×22﹣16×10）÷（22﹣10）=5（份）；然后求出草地原有的草的份数16×10﹣5×10=110（份）；再让27头牛中的5头吃生长的草，剩下的27﹣5=22头牛吃草地原有的110份草，可吃：110÷22=5天．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的生长速度：
（10×22﹣16×10）÷（22﹣10）
=60÷12
=5（份）
草地原有的草的份数：
16×10﹣5×10
=160﹣50
=110（份）
每天生长的5份草可供5头牛去吃，那么剩下的27﹣5=22头牛吃110份草：
110÷（27﹣5）
=110÷22
=5（天）
答：这片草地可供27头牛吃5天．
故答案为：5．
【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．

14．王妈妈家原有30个鸡蛋，还养了一只一天能下一个蛋的母鸡，王妈妈家一天要吃2个鸡，这些鸡蛋够王妈妈家连续吃 30 天．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】每天增加1个，减少2个，那么每天需从30个鸡蛋中吃掉1个，这样看来一共需要吃30天，据此解答即可．
【解答】解：30÷（2﹣1）
=30÷1
=30（天）；
答：这些鸡蛋够王妈妈家连续吃30天．
故答案为：30．
【点评】本题为简单的牛吃草问题根据原有量、生成量及每天的消耗量的关系进行解答即可．

15．有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草； 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够 5 头牛吃一天．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】转换思想，将 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完转换成13头牛吃5天即可解决问题．
【解答】解：依题意可知：
10×8﹣（15+14+13+12+11）=15（份）．
15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完可以转换成13头牛吃5天．
15÷（8﹣5）=5（份）
故答案为：5
【点评】本题考查对牛吃草问题的理解和运用，关键问题是找到转换过程，问题解决．

16．一块均匀生长的草地按照1：2：3的面积比分成三块，一群牛先用12天时间吃完了第一块草地的草，接着又用48天吃完了第二块草地的草．此时，这群牛需要 288 天才能够吃完第三块草地的草．（当牛在某块草地吃草时，其他草地上的草正常生长）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设第一块地一天的生长量为1份，那么第二块到第12天的时候，草量可以供这群牛吃12×2=24（天），因此后48﹣24=24天吃的量是这块地48天的生长量．48天的生长量是48×2=96份，因此每天这群牛吃96÷24=4份．第三块地到第12天的时候，含草量可以供这群牛吃12×3=36天，接着48天的生长量是48×3=144份，在此之后这块地每天生长3份，前12天的含草量是12×3×4=144（份），所以第三块地够牛吃（144+144）÷（4﹣3）=288天
【解答】解：
12×3=36（天）
48×2÷（48﹣12×2）=4
12×3×4=144（份）
48×3=144（份）
（144+144）÷（4﹣3）=288（天）
故填288
【点评】这题的关键是求出这群牛每天的吃草量和草地原有的含草量．

17．有一块草场，可供14头牛吃8天，或可供8头牛吃20天，如果一群牛16天将这块草场的草吃完，那么这群牛有 9 头．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】先根据“14头牛吃8天或8头生吃20天”求出草的生长量与原有草的量，再由公式“草总量=原有草量十生长量×相应的天数=牛的头数×相应的天数”便可求得答案．
【解答】解：①草每天生长量是（8×20﹣14×8）÷（20﹣8）=48÷12=4②草原有量是14×8﹣4×8=80③（80+16×4）÷16=9（头）故：这群牛有9头．
【点评】此题只要灵活掌握与应用“牛吃草的公式”就可以了．

18．某公交公司的停车场内有15辆车，6时整第一辆车开车，以后每隔6分钟再开车一辆．第一辆车开出30分钟后，有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，如此进出．则到 10 点 12 分时，停车场第一次出现无车辆的情况．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意，我们知道停车场是从第7辆车开出后车场出现出进变化的，第7辆车开出时的时间是6：36；假设从6时36分起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆．根据从6时36分开始发车（这时6：36看做是第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆，列出关系式x=6（S﹣1）．根据第一辆车开出8﹣6=2分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在15﹣6+1=10辆车后依次再出车，且停车场内第一次出现无车辆，列出关系式S=y+10与8y＞x﹣2，解三个关系式，即为所求．
【解答】解：（1）到6：30时，已开出车辆为30÷6+1=6，此时开出第6辆车，同时也进了1辆车，所以停车场的车辆数是15﹣6+1=10辆．
（2）设从6：36起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则
x=6×（S﹣1）…①
S=y+10…②
8y＞x﹣（8﹣6）…③
把①②代入③得
8×（S﹣10）＞6×（S﹣1）﹣2
解得S＞36
所以S最小整数为37即S=37，也就是说到第37辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．
此时x=6×（37﹣1）=216（分）=3时36分
6：36+3：36=10：12
答：10点12分时，停车场第一次出现无车辆的情况．
【点评】解此题的关键是把停车场车辆的变化分成两块，一块是车辆只减不加，另一块是也减也加（这块的开始时间为6时36分）进行解答．

19．在植物之国，律子小姐找到了一波小春香，律子小姐要抓小春香们回去，但是小春香们和当地的植物结成了好朋友，而植物们正遭到邻国﹣﹣僵尸之国的侵略，于是小春香们决定帮助植物朋友们打退僵尸之国的侵略再回事务所．已知，僵尸之国正源源不断地派遣僵尸进攻植物之国，如果有30只小春香帮忙，那么9小时可以打退僵尸之国的侵略军；如果有40只小春香帮忙，那么6小时可以打退僵尸之国的侵略军．现在在场的小春香一共有50只，她们决定全部都去帮忙，那么 4.5 小时就可以打退僵尸之国的侵略军．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】因为僵尸之国源源不断地派遣僵尸进攻植物之国，因此应先求出僵尸之国每小时派遣僵尸的数量，根据两次的数量差与时间差，可得（30×9﹣40×6）÷（9﹣6）=10（只）；然后求出原有僵尸的数量，进一步解决问题．
【解答】解：僵尸之国每小时派遣僵尸：
（30×9﹣40×6）÷（9﹣6）
=（270﹣240）÷3
=30÷3
=10（只）
原有僵尸：
40×6﹣10×6
=240﹣60
=180（只）
50只小春香打退僵尸之国的侵略军的时间：
180÷（50﹣10）
=180÷40
=4.5（小时）
答：4.5小时就可以打退僵尸之国的侵略军．
故答案为：4.5．
【点评】解决此类问题的难点在于睡着时间的增长，僵尸的数量也在不断的匀速增长，所以僵尸的数量不定．只有理解“牛吃草”的问题的本质和解题思路，才能轻松解决此类问题．

20．火车站的检票处票前已有一些人等待检票进站，假如每分钟前来检票处排队检票的人数一定，那么当开一个检票口时，27分钟后就无人排队；当开两个检票口时，12分钟就无人排队，如果要在6分钟后就无人排队，那么至少需要开 4 个检票口．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】这个是牛吃草的变形题，牛吃草问题的关键求原草量和草速，在做题过程中出现小数也没关系，先计算最后化为整数．
【解答】解：依题意可知：
每分钟人数差：（1×27﹣2×12）÷15=0.2；
开始等待检票的人数为：（1﹣0.2）×27=21.6；
在6分钟后无人排队：21.6÷6+0.2=3.8（个）；
检票口为整数是4个．
故答案为：4
【点评】本题考查牛吃草的理解和运用，关键求出人数差和原来的人数，0.2的意思是5分钟来1个人，所以不用取整，问题解决．

21．小宝家有10个鸡蛋，他们家还有一只每天下一个蛋的母鸡．若小宝家每天吃两个鸡蛋，那么他家在不买鸡蛋的情况下，可以连续 10 天按计划吃蛋．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据“小宝家有10个鸡蛋，若小宝家每天吃两个鸡蛋，”又因为“他们家还有一只每天下一个蛋的母鸡”，生蛋量为一只鸡一天下一只蛋，她家一天吃2个鸡蛋，吃的蛋比下的蛋每天多一个，不足的要从原有量里来拿．
【解答】解：因为：2﹣1=1（个）吃的蛋比下的蛋每天多一个，
10÷1=10（天）；所以10个鸡蛋可以吃10天；
答：可以连续10天按计划吃蛋．
故答案为：10
【点评】解决此题的关键是，理解关键条件，即“吃的蛋比下的蛋每天多一个．”充分把握题中的数量关系，列式解答即可．

三．计算题（共1小题）
22．有一片牧草每天匀速生长，可供10头牛吃12天，可供8头牛吃20天，那么最多可以养多少头牛，使得这片草永远吃不完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃1份草．10头牛吃12天，说明12天长的草+原来的草共：12×10=120份； 8头牛吃20天，说明20天长的草+原来的草共20×8=160份； 所以（20﹣12=8）天长的草为160﹣120=40份，即每天长5份，这样原来草为120﹣5×12=60份，那么草地每天长的草够5头牛吃一天．若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放5头牛．
【解答】解：设每头牛每天吃1份草；
草的生长速度即每天长的份数为：
（20×8﹣12×10）÷（20﹣12），
=（160﹣120）÷8
=40÷8
=5（份）；
那么草地每天长的草够5头牛吃一天，若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放5头牛；
答：最多放5头牛吃这片牧草，才能使这片草永远吃不完．
【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口．

四．解答题（共28小题）
23．一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供19头牛吃几天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）=14（份）；然后求出草地原有的草的份数24×6﹣14×6=60（份）；再让19头牛中的14头吃生长的草，剩下的5头牛吃草地原有的60份草，可吃：60÷5=12天．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的生长速度：
（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）
=56÷4
=14（份）；
草地原有的草的份数：
24×6﹣14×6
=144﹣84
=60（份）；
每天生长的14份草可供14头牛去吃，那么剩下的19﹣14=5头牛吃60份草：
60÷（19﹣14）
=60÷5
=12（天）；
答：这片草地可供19头牛吃12天．
【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．

24．牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供18头牛吃10天，或者可供24头牛吃7天．
（1）可供32头牛吃几天？
（2）多少头牛恰好14天把草吃完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：（1）（18×10﹣24×7）÷（10﹣7）=4（份）
（18﹣4）×10=140（份）
140÷（32﹣4）=5（天）
（2）140÷14+4=14（头）
答：（1）可供32头牛吃5天；
（2）14头牛恰好14天把草吃完．
【点评】本题关键在于先计算出每天牧草的增量，从而计算出原有草量，即可求解．

25．一片草地，每天都匀速长出青草，这些青草可供8头牛吃30天或供15头牛吃15天，那么这片草地可供16头牛吃几天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出来的草．新长出来的草虽然在变，但应注意到是匀速生长的．因而这片草地每天新张的草的数量也是不变的．假设1头牛一天吃的草的数量为1份，那么8头牛30天需要吃30×8=240份草，此时新草与原有的草也均被吃完；15头牛15天需吃15×15=225份草，此时新草与原有的草也都被吃完．而240份草是原有的草的数量与30天新长出的草的数量的总和．225份是原来的草的数量与15天新长出的草的数量的总和，因此每天新长出来的草的份数为：（240﹣225）÷（30﹣15）=1（份）．原有草的数量为：240﹣30×1=210（份）．这片草地可供16头牛吃：210÷（16﹣1）=14（天）．
【解答】解：设每1头牛1天吃的草为1份，那么牧场每天长新草：
（30×8﹣15×15）÷（30﹣15）
=15÷15
=1（份）
原来的牧场有草：240﹣30×1=210（份）
吃旧草的牛有：16﹣1=15 （头）
吃完草的时间：210÷15=14 （天）
答：这片草地可供16头牛吃14天．
【点评】这片草地上草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变的量（即原来的草的数量）．

26．一片草地，每天都匀速长出青草，这些青草可供21头牛吃5周或供18头牛吃8周，那么这片草地可供15头牛吃几周？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每头牛每周吃青草1份，21头牛5周吃21×5份，18头牛8周吃18×8份，先求出青草的生长速度：（18×8﹣21×5）÷（8﹣5）=13（份）；然后求出草地原有的草的份数（21﹣13）×5=40（份）；再让15头牛中的13头吃生长的草，剩下的2头牛吃草地原有的40份草，可吃：40÷2=20（周）．
【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，
青草的生长速度：
（18×8﹣21×5）÷（8﹣5）
=39÷3
=13（份）
草地原有的草的份数：
（21﹣13）×5
=8×5
=40（份）
15头牛吃：
40÷（15﹣13）
=40÷2
=20（周）
答：这片草地可供15头牛吃20周．
【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．

27．某新建储油罐装油后发现底部匀速向外漏油，为了安全并减少损失，需要将油抽干后进行维修，现在有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．要在3小时内将油抽干．至少需要多少台抽油泵一起抽？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】把每台油泵每小时的抽油量看作是“1”，用5台油泵10小时可将油抽干，可以看作1台油泵5×10=50小时将油抽干，用7台抽油泵8小时也可将油抽干，可以看作1台抽油泵7×8=56小时将油抽干，因为漏油是不变的，所以先求出每小时的漏油量（7×8﹣5×10）÷（10﹣8）=3，再求出油罐装油的油量即为：5×10+3×10=80，最后用油罐装油的油量扣除3小时漏油的量再除以3小即可解答．
【解答】解：（7×8﹣5×10）÷（10﹣8）
=6÷2
=3
5×10+3×10
=50+30
=80
（80﹣3×3）÷3
=71÷9
≈8（台）
答：至少需要8台抽油泵一起抽．
【点评】解答本题的关键是求出油罐装油量，以及每小时的漏油量．

28．一牧场上青草每天匀速生长，这片青草可供27头牛吃8周，也可供22头牛吃13周．那么可供18头牛吃几周？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每头牛每周吃青草1份，先求出青草的生长速度：（22×13﹣27×8）÷（13﹣8）=14（份）；然后求出草地原有的草的份数27×8﹣14×8=104（份）；再让18头牛中的14头吃生长的草，剩下的4头牛吃草地原有的104份草，可吃：104÷4=26（周）；据此解答即可．
【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，
青草的生长速度：
（22×13﹣27×8）÷（13﹣8）
=70÷5
=14（份）；
草地原有的草的份数：
27×8﹣14×8
=216﹣112
=104（份）；
每周生长的14份草可供14头牛去吃，那么剩下的18﹣14=4头牛吃104份草：
104÷（18﹣14）
=104÷4
=26（周）；
答：可供18头牛吃26周．
【点评】牛吃草的问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素．关键的是求出青草的每周减少的速度（份数）和草地原有的草的份数．

29．由于天气干旱，村委会决定用抽水机抽取水库中剩余的水浇灌农田，假如每天水库的水以均匀的速度蒸发掉，经计算，若用20台抽水机全力抽水，水库中水可以用5周，若用16台抽水机抽水，书库中的水可用6周，若用11台抽水机，水库中的水可用几周？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】把一台抽水机一周抽水量看作1单位，20台抽水机全力抽水，水库中水可以用5周，第一种情况总水量为20×5=100单位；
16台抽水机抽水，书库中的水可用6周，第二种情况总水量为16×6=96单位；
第二种情况比第一种情况少的水量，即水的蒸发量，即100﹣96=4单位；
第二种情况比第一种情况多的天数为6﹣5=1周，那么一周蒸发的水量是4÷1=4单位；
水库原有水量为100+4×5=120单位；
用11台抽水机，每周的抽水量为11+4=15单位；
用水库总数量除以15就是抽的时间，即120÷15=8周．
【解答】解：设一台抽水机一周抽水量看作1单位；
（20×5﹣16×6）÷（6﹣5）
=（100﹣96）÷1
=4÷1
=4（单位）；
20×5+4×5
=100+20
=120（单位）；
120÷（11+4）
=120÷15
=8（周）．
答：若用11台抽水机，水库中的水可用8周．
【点评】此题属于“牛吃草问题”，解答此题的关键是求出水每周蒸发量及水库原有存水量是多少．

30．牧场上长满牧草，可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天，如果牧草每天匀速生长，那么可供多少头牛吃2天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃草一份，根据“可供10头牛吃3天，可供5头牛吃8天，”可以求出草每天生长量，列式为：（5×8﹣3×10）÷（8﹣3）=2份；还可求出草地原有草的份数，列式为：3×10﹣2×3=24份；由于每头牛每天吃草一份，草每天生长2份，这每天生长的2份刚好够2头牛，不停地吃下去，则草地原有的草24份，吃2天需要24÷2=12头牛，然后再加2即可．
【解答】解：设每头牛每天吃草一份，
草的生长速度：
（5×8﹣3×10）÷（8﹣3）
=10÷5
=2份
草地原有草的份数：
3×10﹣2×3
=30﹣6
=24份
24÷2+2÷1
=12+2
=14（头）
答：可供14头牛吃2天．
【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度和草地原有草的份数．

31．中国第一艘航空母舰“辽宁舰”上停着5架战斗机，第1架起飞后，每隔4分钟便有一架接着起飞，在第1架起飞2分钟后，有一架战机飞回到舰上降落，此后每隔6分钟，有一架战机降落；降落的战机依次每隔4分钟在原有5架战机之后起飞，从第一架战机起飞，经过多少分钟航空母舰上就没有战斗机？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】因为当最后航空母舰剩下1架飞机的时候，如果再起飞，就不再考虑降落的飞机，所以假设x分钟后航空母舰上剩下一架飞机，那么根据植树问题可以求得航空母舰上起飞的飞机的数量，列式为：x÷4+1架，在这段时间内降落的飞机的数量为：（x﹣2）÷6+1架，原来航空母舰停着的5架飞机除掉最后剩的一架起飞了：5﹣1=4架，因此原来的5架加降落的（x﹣2）÷6+1架，共起飞：（x﹣2）÷6+1+5架，进而列方程：x÷4+1=（x﹣2）÷6+1+5；解得x=56分钟；然后加上最后剩下1架飞机起飞的时间4分钟，56+4=60分钟，据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
假设x分钟后机场上剩下一架飞机，
x÷4+1=（x﹣2）÷6+1+5
x÷4+1=（x﹣2）÷6+6
3 x+12=2x﹣4+72
3x﹣2x=72﹣4﹣12
x=56
56+4=60（分钟）；
答：从第一架战机起飞，经过60分钟航空母舰上就没有战斗机．
【点评】这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点（56分钟）状态的一些变化，即最后一架起飞的时候我们就无需考虑下降的飞机了，因为这时航空母舰已经没有飞机起飞了．

32．地球现在的资源可供60亿人生活300年，也可供80亿人生活200年，求120亿人可以生活多久？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设地球每亿人每年消耗资源量为一份，根据“可供60亿人生活300年”可得总份数：60×300=18000份，根据“可供80亿人生活200年．”可得总份数：80×200=16000份，那么在（300﹣200）年内新生成的资源相当于（18000﹣16000）份，则每年新生成的资源为：（18000﹣16000）÷（300﹣200）=20（份）；原有的资源有18000﹣20×300=12000（份），每年新生成的资源能为20亿人使用，所以120亿人可以生活12000÷（120﹣20）=120（年）；据此解答即可．
【解答】解：设地球每亿人每年消耗资源量为1份，
60×300=18000（份），
80×200=16000（份），
（18000﹣16000）÷（300﹣200）
=2000÷100
=20（份），
18000﹣20×300
=18000﹣6000
=12000（份），
12000÷（120﹣20）
=12000÷100
=120（年）；
答：120亿人可以生活120年．
【点评】本题关键是求出地球上新生成的资源的增长速度，理解要使人类能够不断繁衍，人类只能消耗地球上新生成的资源，从中让学生明白保护地球资源的重要性．

33．有一片草地，32头牛可以吃12天，或24头牛吃18天，问16头牛可以吃几天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃草1份，根据“32头牛可以吃12天，或24头牛吃18天．”可以求出草每天生长的份数：（24×18﹣32×12）÷（18﹣12）=8（份）；再根据“24头牛吃18天，”可以求出草地原有的草的份数：（24﹣8）×18=288（份）；由于草每天生长8份，可供16头牛中的8头吃，剩下的8头吃草地原有的288份，可吃288÷8=36（天）；问题得解．
【解答】解：设每头牛每天吃草1份，则草每天生长：
（24×18﹣32×12）÷（18﹣12）
=（432﹣384）÷6
=48÷6
=8（份）；
原有的草量：（24﹣8）×18=288（份）；
16头牛吃：288÷（16﹣8）
=288÷8
=36（天）；
答：16头牛可以吃36天．
【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头牛每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决．

34．一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】这是典型的牛吃草问题，要先求出变化的量（船每分钟涌进的水量）和不变的量（船里原有的水量）；由于每人的工作效率是一定的，所以可以用3人淘水和6人淘水的工作总量之差÷时间差（40﹣16）即为船每分钟涌进的水量，然后用三人40分钟的工作总量﹣40分钟涌进的水量就是船里原有的水量，进而可以求出5人，多少时间可以把水淘完．
【解答】解：设每人每分钟的淘水量为1份，
船每分钟涌进的水量为：（3×40﹣6×16）÷（40﹣16）
=24÷24
=1（份）
船里原有水量为：
3×40﹣40×1=80（份）或6×16﹣16×1=80（份）；
船每分钟涌进的水即1份，要用1人去淘，剩下5﹣1=4人就要去淘原有的水：
80÷（5﹣1）
=80÷4
=20（分钟）
答：5人淘水20分钟可以把水淘完．
【点评】本题关键是先求出：船每分钟涌进的水量和船里原有的水量，这是牛吃草问题应用题解答的突破口．

35．展览会8点半开门，但早就有人排队等着入场，并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的，如果开4个入场口，8点42分就不再有人排队了，如果开5个入场口，8点39分就没人排队了．问第一个观众几点来的？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】8点半开门，开4个入场口，8点42分就不再有人排队了，如果开5个入场口，8点39分就没人排队了，那么来人的速度是：[（42﹣30）×4﹣（39﹣30）×5]÷[（42﹣30）﹣（39﹣30）]=1；用开4个入场口进入的总人数减去这段时间来的人数就是开门之前来人，即（42﹣30）×4﹣（42﹣30）×1=36人；第一个观众来的时间距开门时间：36÷1=36分；再用8点半时减去36分即可求出答案．
【解答】解：[（42﹣30）×4﹣（39﹣30）×5]÷[（42﹣30）﹣（39﹣30）]
=[12×4﹣9×5]÷[12﹣9]
=[48﹣45]÷3
=3÷3
=1；
（42﹣30）×4﹣（42﹣30）×1
=12×4﹣12×1
=48﹣12
=36；
36÷1=36（分）；
8点半﹣36分=7点54分．
答：第一个观众是7点54分来的．
【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同，通过人的差除以时间差得到来人的速度，然后利用速度解决问题．

36．有一个酒桶坏了，每天匀速地往外面流失酒，所以酒桶里面的酒可供7人喝6天，或者供5人喝8天，若1人独饮，可以喝多少天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每人每天喝1份，根据“酒桶里面的酒可供7人喝6天，或者供5人喝8天．”可以求出酒每天匀速流失的份数：（7×6﹣5×8）÷（8﹣6）=1（份）；再根据“7人喝6天，”可以求出酒桶原有的酒的份数：（7﹣1）×6=36（份）；由于酒每天匀速流失1份，所以36÷（1+1）=18天问题得解．
【解答】解：设每人每天喝1份，酒每天匀速流失：
（7×6﹣5×8）÷（8﹣6）
=（42﹣40）÷2
=2÷2
=1（份），
酒桶原有的酒的份数：（7﹣1）×6
=6×6
=36（份），
若1人独饮，
36÷（1+1）
=36÷2
=18（天），
答：若1人独饮，可以喝18天．
【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出酒每天匀速流失的份数和酒桶原有的酒的份数．

37．22头牛54天可吃完3.3公顷牧场上的青草，17头牛84天可以吃完2.8公顷牧场上的全部青草，多少头牛24天可以吃完4公顷牧场上的全部青草？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃草量为1份，每公顷原有草量为x份，每天每公顷新长草量为y份，根据“22头牛54天可吃完3.3公顷”可列方程为：54×（22﹣3.3y）=3.3x，①；再根据“17头牛84天可以吃完2.8公顷”可列方程为：84×（17﹣2.8y）=2.8x，②，然后解①②两个方程得y=5，x=90；那么可以求出第三个牧场4公顷可供吃24天的头数：（4×90+5×4×24）÷24=35（头）；据此解答．
【解答】解：每头牛每天吃草量为1份，每公顷原有草量为x份，每天每公顷新长草量为y份，
54×（22﹣3.3y）=3.3x，①
84×（17﹣2.8y）=2.8x，②
把方程①②联立，解得：y=5，x=90
那么：（4×90+5×4×24）÷24
=360÷24+20
=35（头）；
答：35头牛24天可以吃完4公顷牧场上的全部青草．
【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数=草地原有的草量．

38．有一块牧场，草每天生长的速度相同，这块牧场可供5头牛吃30天，16头牛吃8天，则它可供21头牛吃多少天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃草1份，根据“这片草地可供5头牛吃30天，或供16头牛吃8天．”可以求出草每天生长的份数：（5×30﹣16×8）÷（30﹣8）=1（份）；再根据“5头牛吃30天，”可以求出草地原有的草的份数：（5﹣1）×30=120（份）；由于草每天生长1份，可供21头牛中的1头吃，剩下的20头吃草地原有的120份，可吃120÷20=6（天）；问题得解．
【解答】解：设每头牛每天吃草1份，则草每天生长：
（5×30﹣16×8）÷（30﹣8）
=（150﹣128）÷22
=22÷22
=1（份）；
原有的草量：（5﹣1）×30
=4×30
=120（份）；
21头牛吃：120÷（21﹣1）
=120÷20
=6（天）；
答：它可供21头牛吃6天．
【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件“5头牛吃30天，或供16头牛吃8天”求出．

39．春运高峰，售票假设窗口早早地排好了队，陆续还有人均匀的来购票．假如开设5个售票窗口，30分钟可缓解排队现象．如果开设6个售票窗口，那么20分钟才能缓解排队现象．现在要求10分钟缓解排队现象．问：应该开设几个售票窗口？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每道门每分钟来参观的人数为一份；先根据“打开4道门让人们进馆参观，30分钟就不再有排队的现象．打开5道门时，20分钟就不再有排队的现象．”利用：份数差÷时间差求出每道门每分钟增加的人数；然后再求出每道门原有参观的人数，列式为30×4﹣2×30=60（份）；进而根据（每道门原有参观的人数+6分钟增加的人数）÷时间，可以求出现在需要同时打开的门数：（60+2×6）÷6，解答即可．
【解答】解：设每道门每分钟来参观的人数为一份；
每道门每分钟增加的人数为：
（30×4﹣20×5）÷（30﹣20）
=20÷10
=2（份）
每道门原有参观的人数：
30×4﹣2×30
=120﹣60
=60（份）
现在需要同时打开的门数：
（60+2×6）÷6
=72÷6
=12（道）
答：如果要在6分钟不再有排队的现象，则需要同时打开12道门．
故答案为：12．
【点评】本题关键是利用：两种情况的份数差÷时间差=每分钟增加的份数，求出每道门每分钟增加的人数和每道门原有参观的人数．

40．牧场上的草每天以均匀的速度生长，如果牧场上的草可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天．现有36头牛吃2天后，又增加了几头牛，再用6天吃光所有的草，问增加了几头牛？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃草1份，根据“17头牛吃30天，或供19头牛吃24天”可以求出草每天生长的份数列式为：（17×30﹣19×24）÷（30﹣24）=9（份）；再根据：“17头牛吃30天，”可以求出草地原有的草量：（17﹣9）×30=240（份）；然后减去“36头牛吃了2天”中原有的份数即（36﹣9）×2=54（份），剩下的份数是：240﹣54=186（份）；再用6天吃光所有的草，过6天后草的份数应是186+9×6=240（份），则36头牛6天要吃36×6=216（份），还剩下的240﹣216=24份，再除以每头牛每天吃的草，就是需要增加的头数，据此解答．
【解答】解：设每头牛每天吃早1份
则草每天生长：
（17×30﹣19×24）÷（30﹣24）
=（510﹣456）÷6
=54÷6
=9（份）
原有的草量：
（17﹣9）×30
=8×30
=240（份）
2天后原有的草量余：
240﹣（36﹣9）×2
=240﹣27×2
=240﹣54
=186（份）
再过6天吃完需要牛的头数：
（186+9×6﹣36×6）÷1
=（186+54﹣216）÷1
=24÷1
=24（头）
答：要增加24头牛．
【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；牛吃草问题的基本公式有：生长量=（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量．

41．“整片牧场上的草长的一样地密，一样地快．已知70头牛在24天里面把草吃完，而30头牛就得60天．如果要在96天内把牧场的草吃完，问牛数该是多少？”
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据1头牛一天的吃的草的量得到相应的等量关系，求得草每天长的量，进而让（96天长的草的量+原来草的量）÷一头牛一天需要的量可得牛的数量，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设牧场上原来的草的量是1，每天长出来的草是x，则24天共有草1+24x，60天共有草1+60x，
=
去分母得：
30（1+24x）=28（1+60x）
30+720x=28+1680x
1680x﹣720=30﹣28
960x=2
x=
则每头牛每天吃：=
96天吃完，牛应当是：（1+96×）÷（96×）
=（1+）÷
=
=20（头）．
答：如果要吃96天，牛数该是20头．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据1头牛一天的吃的草的量相等得到相应的等量关系是解决本题的关键；注意必须的量没有时可设其为1．

42．小明的妈妈给小明买了一部智能手机，已知这部手机插上充电器从没有电到充满电需要2个小时；在非充电状态持续玩游戏，该充满电的手机可以工作6个小时，有一天小明打开手机准备玩游戏，发现手机提示仅剩10%的电量了，于是小明插上充电器开始一边玩一边充电，玩了1小时后，小明关上手机去学习了，问继续充电多少分钟才能将手机充满电？（待机耗电量忽略不计）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】把这部智能手机的总电量看做单位“1”，这部手机插上充电器从没有电到充满电需要2个小时，则每小时充电占总电量的，在非充电状态持续玩游戏，该充满电的手机可以工作6个小时，则每小时消耗总电量的，小明插上充电器开始一边玩一边充电，玩了1小时，实际充电，再加上开始的电量，求出充满尚缺的电量，再除以正常充电1小时的充电量即可求出充满需要的时间，据此列式计算即可解答．
【解答】解：[1﹣10%﹣（﹣）]÷×60
=[90%﹣]÷×60
=÷×60
=×60
=68（分钟）
答：继续充电68分钟才能将手机充满电．
【点评】本题主要考查工程问题，求出手机1小时充电、耗电各占总电量的几分之几是解答本题的关键．

43．有一水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机12小时可以抽完，用15部抽水机6小时抽完，要2小时把水抽完，需多少部抽水机？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设1部抽水机1小时可抽水1份，先求出“10部抽水机12小时”和“15部抽水机6小时”分别可抽水的份数，然后根据这两个结果可以求出水池每小时涌出水的份数是：（10×12﹣15×6）÷（12﹣6）=5份，再求出水池里的水的总份数：10×12+12×5=180份，进而可以求出用多少部抽水机2小时可将满池水抽光？即（180﹣5×2）÷2=85（部）．
【解答】解：设1部抽水机1小时可抽水1份；，
10部抽水机12小时可抽水的份数是：
10×12=120（份），
15部抽水机6小时可抽水的份数是：
15×6=90（份），
水池每小时涌出水的份数是：
（120﹣90）÷（12﹣6）
=30÷6
=5（份），
水池里水的总份数是：
10×12+5×12
=120+60
=180（份），
2小时将满池水抽光用抽水机的部数是：
（180﹣5×2）÷2
=170÷2
=85（部）；
答：要2小时把水抽完，需82部抽水机．
【点评】本题是最典型的牛吃草问题，本题的难点是：要在抽水机的部数和时间的变化中，找到相关的数量，求出不变的量即水池每小时涌出水的份数．

44．有一片牧草，每天生长的速度相同．现有这片牧草可供16头大牛吃20天，或者供80头小牛吃10天，如果1头大牛的吃草量等于3头小牛的吃草量，那么12头大牛与60头小牛一起吃草可以吃多少天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据“1头大牛的吃草量等于3头小牛的吃草量”那么16头大牛的吃草量就等于16×3=48头小牛的吃草量；12头大牛吃草量就等于12×3=36头小牛的吃草量；
设每头牛每天吃草1份，根据“16头大牛（48头小牛）吃20天，或者供80头小牛吃10天，”可以求出草每天生长的份数：（48×20﹣80×10）÷（20﹣10）=16（份）；再根据“80头小牛吃10天，”可以求出草地原有的草的份数：（80﹣16）×10=640（份）；由于草每天生长16份，可供12头大牛与60头小牛（相当于36+60=96头小牛）中的16头小牛吃，剩下的96﹣16=80头小牛吃草地原有的640份草，可以吃640÷80=8（天）；问题得解．
【解答】解：设每头小牛每天吃草1份，把大牛的头数转化为小牛的头数为：
16×3=48（头），12×3=36（头）
草每天生长的份数：
（48×20﹣80×10）÷（20﹣10）
=（960﹣800）÷10
=160÷10
=16（份）
草地原有的草的份数：
（80﹣16）×10=640（份）
12头大牛与60头小牛就相当于36+60=96头小牛，
所吃天数为：
640÷（96﹣16）
=640÷80
=8（天）
答：12头大牛与60头小牛一起吃草可以吃8天．
【点评】本题是典型的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件“16头大牛吃20天，或者供80头小牛吃10天”求出；本题需要注意把大牛的头数转化为小牛的头数便于解答．

45．一艘轮船发生漏水事故，船长立即安排两部抽水机同时向外抽水．当时已经漏了500桶水，一部抽水机每分钟抽水18桶，另一部每分钟抽水12桶，经过25分钟把水抽完．问每分钟漏进水多少桶？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】2部抽水机1分钟可以抽出18+12=30桶水，那么25分钟就抽出去750桶水，船体本来有500桶水，那么25分钟内，漏进船体的水为750﹣500=250桶水，所以每分钟漏进：250÷25=10（桶）．
【解答】解：[（18+12）×25﹣500]÷25
=[30×25﹣500]÷25
=[750﹣500]÷25
=250÷25
=10（桶）
答：每分钟漏进水10桶．
【点评】此题属于“牛吃草”问题，求出25分钟内漏进船体的水量，是解答此题的关键．

46．一片草地，每天都匀速长出青草，这片草地可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问可供20头牛吃几天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的增加的速度：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）=5（份）；然后求出草场原有的草的份数：20×10﹣5×20=100（份）；那么25头牛每天吃青草25份，青草每天增加5份，可以看作每天有（25﹣5）20头牛在吃草，草场原有的100份的草，可吃：100÷20=5（天）．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草增加的速度：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）
=50÷5[来源:学。科。网Z。X。X。K]
=5（份）
原有的草的份数：20×10﹣5×20
=200﹣100
=100（份）
可供20头牛吃：100÷（20﹣5）
=100÷15
=6（天）
答：这个草场的草可供20头牛吃6天．
【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键的是求出青草的每天增加的速度（份数）和草场原有的草的份数．

47．李村组织农民搞旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地，如果50人担水，20小时可把池水担完，如果70人担水，10小时可把池水担完，现有130人担水，几小时可把池水担完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每人每小时担水1份，根据“如果50人担水，20小时可把池水担完，如果70人担水，”可以求出每分钟涌出的水量，列式为：（50×20﹣70×10）÷（20﹣10）=30份；原有水量为：20×50﹣30×20=400份；现在有130人担水，要求几小时可把池水担完，需要的时间为：400÷（130﹣30）=4小时．
【解答】解：求出每分钟涌出的水量，（50×20﹣70×10）÷（20﹣10）
=3000÷10
=30（份）；
原有水量为：20×50﹣30×20
=1000﹣600
=400（份）；
需要的时间为：400÷（130﹣30）
=400÷100
=4（小时）．
答：4小时可把池水担完．
【点评】本题需要按竞赛专题之一牛吃草问题解答，关键是求出每分钟涌出的水量（相当于草的生长速度）和井中原有的水量（相当于草地原有的草的份数）．

48．有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出，若用4台抽水机，15小时可把井水同干，若用8台抽水机，7小时可把井水抽干，现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每台抽水机每小时抽水1份，根据“如果用4台抽水机，15小时可把井水同干；如果8台抽水机，7小时可把井水抽干．”可以求出每小时涌出的水量，列式为：（15×4﹣8×7）÷（15﹣7）=0.5份；原有水量为：7×8﹣0.5×7=52.5份；现在要求5小时内抽完井水，需要抽水机的台数为：（52.5+5×0.5）÷5=11（台）．
【解答】解：每小时涌出的水量：（15×4﹣8×7）÷（15﹣7）
=4÷8
=0.5（份）；
原有水量为：7×8﹣0.5×7
=56﹣3.5
=52.5（份）；
需要抽水机的台数为：（52.5+5×0.5）÷5
=55÷5
=11（台）
答：现在要用11台抽水机，能5小时把井水抽干．
【点评】本题需要按竞赛专题之一牛吃草问题解答，关键是求出每分钟涌出的水量（相当于草的生长速度）和井中原有的水量（相当于草地原有的草的份数）．

49．现有一艘轮船由于触礁船里漏进一部分水，如果派12人来将海水往船外运水，3小时可将水全部运出，若派出5人，则需要10小时，问如果要在2小时内完成需要多少人？（将水往船外运的时候船也在进水，每个人运水的速度相同．）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】此题是典型的牛吃草问题，假设1人1小时排水量是1份，则已有的积水量+3×每小时渗入量=12×3，已有的积水量+10×每小时渗入量=5×10，两式相减求出每小时渗入量（5×10﹣12×3）÷（10﹣3）=2，然后在带入其中一式，求出已有的积水量12×3﹣3×2=30；如果要在2小时内排干积水，共需要的人数=（已有积水量30+2×每小时渗入量2）÷2小时，即可得解．
【解答】解：假设1人1小时排水量是1份，
则：已有的积水量+3×每小时渗入量=12×3…①
已有的积水量+10×每小时渗入量=5×10…②
所以②﹣①，得；每小时渗入量=（5×10﹣12×3）÷（10﹣3）=2
代入①，得：已有的积水量=12×3﹣3×2=30
如果要在2小时内排干积水，共需要的人数=（30+2×2）÷2=17（人）
答：共需要17人．
【点评】牛吃草的问题关键的是求出每小时渗入量和已有的积水量．

50．牧羊人在一片均匀枯萎的草地上放羊，他每天放牧结束后都会宰杀一只羊，如果开始有50只羊，那么恰好9天后吃完这片草，如果开始有45只羊，那么恰好10天吃完这片草，现在要求这片草地要能供应至少20天，牧羊人开始最多能放养多少只羊？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设一只羊每天吃1份草，则50只羊吃9天，第一天吃50份，第9天吃50﹣1×8=42份草，一共要吃：
50+（50﹣1×1）+（50﹣1×2）+（50﹣1×3）+…+（50﹣1×8）=414（份）
则45只羊吃10天，第一天吃45份，第10天吃45﹣1×9=36（份），一共要吃：
45+（45﹣1×1）+（45﹣1×2）+（45﹣1×3）+…+（45﹣1×9）=405（份）
草的减少速度：414﹣405=9（份）
草原量：405+9×10=495（份）
要供应至少9×20=180（份）
需要羊吃的草有495﹣180=315（份）
平均每天要吃15份多一点，因此，第一天吃的量应在25份左右，经尝试25可以．
所以，最多能放羊25只．
【解答】解：设一只羊每天吃1份草，则50只羊吃9天，第一天吃50份，第9天吃50﹣1×8=42份草，一共要吃：
50+（50﹣1×1）+（50﹣1×2）+（50﹣1×3）+…+（50﹣1×8）
=50+49+48+…+42
=（50+42）×9÷2
=414（份）
则45只羊吃10天，第一天吃45份，第10天吃45﹣1×9=36（份），一共要吃：
45+（45﹣1×1）+（45﹣1×2）+（45﹣1×3）+…+（45﹣1×9）
=45+44+43+42+…+36
=（45+36）×10÷2
=405（份）
草的减少速度：414﹣405=9（份）
草原量：405+9×10=495（份）
要供应至少9×20=180（份）
需要羊吃的草有495﹣180=315（份）
平均每天要吃15份多一点，因此，第一天吃的量应在25份左右，经尝试25可以．
所以，最多能放羊25只．
答：牧羊人开始最多能放羊25只．
【点评】本题是一道复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和原有草的份数．

B
一．填空题（共22小题）
1．一水库原存有一定量的水，且水库源头有河水均匀入库，用5台抽水机连续20天可以把水库抽干，用6台同样的抽水机连续15天也可以把水库的水抽干．因工程需要，要求6天抽干水库的水，需要同样的抽水机 12 台．
【分析】此题属于牛吃草问题，可按下列解题思路进行解答：①先求出水库原有的水与20天流入的水抽1天需要抽水机的台数；②然后求水库原有的水与15天流入的水抽1天需要抽水机的台数；③再求每天流入的水抽1天需要抽水机的台数；④再求原有的水抽1天需要抽水机的台数；⑤最后求出若6天抽完，共需抽水机的台数．
【解答】解：设出1台抽水机1天抽水量为1，
水库原有的水与20天流入的水抽1天需要抽水机：
20×5=100（台）
水库原有的水与15天流入的水抽1天需要抽水机：
6×15=90（台）
每天流入的水抽1天需要抽水机：
（100﹣90）÷（20﹣15）
=10÷5
=2（台）
原有的水抽1天需要抽水机：
100﹣20×2
=100﹣40
=60（台）
若6天抽完，共需抽水机：
60÷6+2
=10+2
=12（台）
答：6天抽干，需要12台同样的抽水机．
故答案为：12．
【点评】解答此题的关键是设出1台抽水机1天抽水量为1，只要求出河水每天均匀入库量及水库原有存水量，问题即可解决．

2．世纪公园里有一片很大的草地，每天总会长出很多杂草（假设每分钟长出的杂草数量固定）．每天早上8点，一些工人会去除杂草（每个人的除杂草速度相同），一旦除完杂草（杂草的数量为0，好的草不会被除掉），工人们就收工了，之后长出的杂草留到明天再除．第一天，一些工人去除草，除到9点收工；第二天，10个工人去除草，除到8点30分收工；第三天，8个工人去除草，除到 8 点 39 分收工（最后分钟的值四舍五入，填一个整数即可）．
【分析】不妨设草1分钟长1份，第一天9点时，整块草地上的杂草被除干净了，即草量为0，所以到第二天8点30分时，草长了23小时30分钟，即1410分钟，共长了1410份草．这些草被10位工人用30分钟除干净了，所以1个工人1分钟可除草1410÷10÷30=4.7份．第三天8点时，草长了23小时30分钟，即1410分钟，共长了1410份草，8个工人每分钟除草8×4.7=37.6份，需要用1410÷（37.6﹣1）≈39分钟把草除干净，即第三天8点39分收工．
【解答】解：从第一天9点时到第二天8点30分，草长了23小时30分钟，从第二天8点30分到第三天8点，草也长了23小时30分钟，
即，23×60+30=1410（分钟）
9时﹣8时30分=30分钟
所以，1个工人1分钟可除草：
1410÷10÷30=4.7（份）
8×4.7=37.6（份）
1410÷（37.6﹣1）≈39（分钟）
第三天用了39分钟把草除干净，即第三天8点39分收工．
答：第三天，8个工人去除草，除到8点39分收工．
故答案为：8，39．
【点评】本题属于比较复杂的牛吃草问题，关键是理解每天割完草后到第二天开始割草这段时间内草生长的份数．

3．牧场上有一片青草，每年都生长的一样快，这片青草可供10头牛吃20天，或供15头牛吃10天，如果现在要供给25头牛吃，可吃 5 天．
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的增加的速度：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）=5（份）；然后求出草场原有的草的份数：20×10﹣5×20=100（份）；那么25头牛每天吃青草25份，青草每天增加5份，可以看作每天有（25﹣5）20头牛在吃草，草场原有的100份的草，可吃：100÷20=5（天）．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草增加的速度：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10），
=50÷5，
=5（份）；
原有的草的份数：20×10﹣5×20，
=200﹣100，
=100（份）；
可供25头牛吃：100÷（25﹣5），
=100÷20，
=5（天）；
答：这个草场的草可供25头牛吃5天．
故答案为：5．
【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键的是求出青草的每天增加的速度（份数）和草场原有的草的份数．

4．魔地上有一块魔石，不断向上均匀生长，为避免它把天捅破，仙界长老决定派出植物战士吸食魔石，抑制它的生长，每名植物战士每天吸食的量相同，如果派出14名植物战士，16天后魔石就会把天捅破；如果派出15名植物战士，24天后魔石就会把天捅破，至少派出 17 名植物战士，才能保证天不会被捅破．
【分析】假设一名战士一天的吸食量为“1”，则14名植物战士16天就要吃掉14×16=224，15名植物战士24天要吃掉15×24=360（因为魔石每天都要长，所以天数不同，份数也不同）．360﹣224=136（这是24天比16天多长的魔石），则每天魔石长136÷（24﹣16）=17，因此这块魔石最多可以派出17÷1=17（名）植物战士，才能保证天不会被捅破．
【解答】解：设一名战士一天的吸食量为“1”
14×16=224
15×24=360
（360﹣224）÷（24﹣16）
=136÷8
=17
17÷1=17（名）
答：至少派出17名植物战士，才能保证天不会被捅破．
故答案为：17．
【点评】这是一道典型的牛吃草问题，关键在于设一名战士一天的吸食量为“1”，求出每天魔石生长的份数，进而解决问题．

5．画展8点开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众到达时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个入场口，8点9分就不再有人排队了；如果开5个入场口，8点5分就没人排队了．那么第一个观众到达的时间是 7 点 15 分．
【分析】8时开门，开3个入场口，8：09就不再有人排队，开5个入场口，8：05就没有人排队，来人的速度为（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）=，开门之前来人为3×9﹣×9=22，第一个观众来的时间距开门时间：22÷=45分，再用8时减去45分即可求出答案．
【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）
=（27﹣25）÷4
=2÷4
=；
3×9﹣×9
=27﹣4
=22，
22÷=45（分），
8时﹣45分=7时15分．
答：第一个观众到达的时间是7时15分．
故答案为：7，15．
【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题．

6．甲乙两只蜗牛往井底爬，白天速度分别为20dm/天，15dm/天，晚上向下滑的速度相同，甲5天爬下去，乙6天爬下去，井深 15 ．
【分析】因为夜里速度相同，所以一个白天两只蜗牛相差20﹣15=5 （分米）．那么一昼夜也是相差5分米，则5个昼夜就相差5×5=25（分米）． 此时甲蜗牛已到达井底，乙蜗牛就还差25分米没到达井底．而这25分米乙蜗牛用了正好一昼夜的时间．所以乙蜗牛一昼夜走的距离是25分米，那6个昼夜就是25×6=150（分米），即井深．因此列式为（20﹣15）×5×6=150（分米）=15（米）．
【解答】解：（20﹣15）×5×6
=5×5×6
=150（分米）
=15（米）
答：井深15米．
故答案为：15．
【点评】此题类似牛吃草问题，先求出一个白天两只蜗牛相差的路程，是解答此题的关键．

7．11头牛10天可吃完5公顷草地上的草，12头牛14天可吃完6公顷草地上的草．假设每公顷草地上的草量相等，每天新生长的草量相等，每头牛每天的吃草量也相等，那么8公顷草地可供19头牛吃 8 天．
【分析】首先分析牛数量不同，天数不同，原草量不同那么关键需要找到单位量，每公顷的原草量和草速．再求出8公顷的草量和草速即可求解．
【解答】解：依题意可知：
每公顷的草地10天的原草量和生长草量：11×10÷5=22（份）；
每公顷的草地14天的原草量和生长草量：14×12÷6=28（份）；
每公顷每天生长草量：（28﹣22）÷（14﹣10）=1.5（份）；
每公顷的原草量：22﹣10×1.5=7（份）；
8公顷每天生长的草量：8×1.5=12（份）
8公顷草量19头牛吃的天数：7×8÷（19﹣12）=8（天）
故答案为：8
【点评】本题考查牛吃草问题的理解和运用，关键是在牛数量和天数不同情况下求出单位草量和草速，对应8公顷的草量草速可求，问题解决．

8．林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，那么如果有33只猴子一起吃，则需要 4 周可将野果吃光．（假定野果生长的速度不变）
【分析】首先设每只猴子每周吃野果量是x，野果每周增长量是y，33只猴子z周吃完野果，再设林子原有野果是a．
根据 原野果量+每周生长的野果量×吃的周数=每只猴子每周吃果量×只数×周数
列出方程组a+9y=23×9x，a+12y=21×12x，a+yz=33xz，可解得z的值即为所求．
【解答】解：设每只猴子每周吃野果量是x，野果每周增长量是y，33只猴子z周吃完野果，再设林子原有野果是a．
根据题意，得：
②﹣①，得y=15x④
③﹣②，得（z﹣12）y=3x（11z﹣84）．⑤
由④、⑤，得z=4．
答：如果有33只猴子一起吃，则需要4周可将野果吃光．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．

9．一片草地，草均匀地生长，如果放牧25只羊，6天把草吃完；如果放牧18只羊，20天把草吃完．要使草地的草永远吃不完，最多能放牧 15 只羊．
【分析】假设每只羊每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（18×20﹣25×6）÷（20﹣6）=15（份）；然后求出草地原有的草的份数25×6﹣15×6=60（份）；要使草地的草永远吃不完，只能让放牧的羊吃每天生长出来的草，青草的生长速度是每天15份，每只羊每天吃青草1份，所以最多能放牧15只羊．
【解答】解：假设每只羊每天吃青草1份，
青草的生长速度：
（18×20﹣25×6）÷（20﹣6），
=210÷14，
=15（份）；
要使草地的草永远吃不完，只能让放牧的羊吃每天生长出来的草，草地原有的草的份数不变；
所以最多能放牧羊的只数为：
15÷1=15（只）；
答：要使草地的草永远吃不完，最多能放牧15只羊．
故答案为：15．
【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数，在此题中确定让放牧的羊吃每天生长出来的草是本题的难点．

10．某水池的容量是100立方米，它有甲、乙两根进水管和一根排水管，甲、乙两管单独注满水池分别需要10小时和15小时，水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将池中的水放完，如果甲管进水而排水管放水需2小时将池中的水放完．那么池中原有水 20 立方米．
【分析】本题的实质为“牛吃草问题”．甲管每小时注水：100÷10=10立方米；乙管每小时注水：100÷15=20/3立方米；每小时排水量：[（10+20/3）×6﹣10×2]÷（6﹣2）=20立方米/小时；原有水量：20×2﹣10×2=20（立方米）．
【解答】解：甲管每小时注水：100÷10=10（立方米）；
乙管每小时注水：100÷15=（立方米）；
每小时排水量：[（10+20/3）×6﹣10×2]÷（6﹣2）=20（立方米）；
原有水量：20×2﹣10×2=20（立方米）；
答：那么池中原有水20立方米．
【点评】此题的解法是把进水排水问题转化成牛吃草问题来解答，很好理解．所以希望同学们在今后的学习中，遇到问题可灵活处理．

11．某游乐场在开门前有300人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进15个游客，如果开放3个入口，20分钟就没有人排队，现在开放4个入口，那么开门后 15 分钟就没有人排队．
【分析】根据“如果开放3个入口，20分钟就没有人排队，”可以求出进入的总人数，即15×3×20=900人，那么每个入口每分钟增加的人数是（900﹣300）÷3÷20=10人；又因为现在开放4个入口，则每个入口需要300÷4=75人排队等候，然后除以（15﹣10）人，就是需要的时间．
【解答】解：15×3×20=900（人）
（900﹣300）÷3÷20
=600÷60
=10（人/分钟）
（300÷4）÷（15﹣10）
=75÷5
=15（分钟）
答：现在开放4个入口，那么开门后15分钟就没有人排队．
故答案为：15．
【点评】本题考查了牛吃草问题的灵活应用，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每个入口每分钟增加的人数．

12．有一艘船距离港口50千米，由于船舱漏水，海水以每5分钟2吨的速率渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过60吨时，此船将沉入海中．假若船上的抽水机每小时可将12吨的海水排出船外．此船至少要以每小时 10 千米的速度驶向港口，以保证在抵达港口之前不会沉没．
【分析】海水每小时渗入船内2×（60÷5）=24吨，由于抽水机每小时可将12吨的海水排出船外，所以每小时船里会积水24﹣12=12吨，那么要达到警戒的吨数60，需要：60÷12=5小时，即在5小时内抵达港口之前不会沉没，所以此船至少要以行驶的速度为：50÷5=10千米，据此解答即可．
【解答】解：海水每小时渗入船内：
2×（60÷5）
=2×12
=24（吨）
50÷[60÷（24﹣12）]
=50÷5
=10（千米）
答：此船至少要以每小时10千米的速度驶向港口，以保证在抵达港口之前不会沉没．
故答案为：10．
【点评】本题考查了复杂的牛吃草问题，关键是求出达到警戒吨数所需的时间，难点是求出每小时船里积水的吨数．

13．24头牛6天可以将一片牧草吃完，21头牛8天可以将这片牧草吃完，如果每天草的增长量是相等的，为了防止草地沙化，最多放 12 头牛吃这片牧草，才能使这片草永远吃不完．
【分析】设每头牛每天吃1份草．24只羊，则6天吃完草，说明6天长的草+原来的草共：24×6=144份； 21只羊，8天吃完，说明8天长的草+原来的草共21×8=168份； 所以（8﹣6=2）天长的草为168﹣144=24份，即每天长12份，这样原来草为144﹣6×12=72份，那么草地每天长的草够12头牛吃一天．若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛．
【解答】解：设每头牛每天吃1份草；
草的生长速度即每天长的份数为：
（21×8﹣24×6）÷（8﹣6），
=（168﹣144）÷2，
=24÷2，
=12（份）；
那么草地每天长的草够12头牛吃一天，若要牧草永远吃不完，牛只能吃新长的草，所以最多只能放12头牛；
答：最多放12头牛吃这片牧草，才能使这片草永远吃不完．
【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口．

14．因为天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少．已知牧场上的草可供20头牛吃6天或可供16头牛吃7天．照此计算，这个牧场的草可供13头牛吃 8 天．
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的减少的速度：（20×6﹣16×7）÷（7﹣6）=8（份）；然后求出草地原有的草的份数20×6+8×6=168（份）；那么13头牛每天吃青草13份，青草每天减少8份，可以看作每天有（13+8）头牛吃草，草地原有的168份草可吃：168÷21=8（天）．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的减少的速度：（20×6﹣16×7）÷（7﹣6），
=8÷1，
=8（份）；
原有的草的份数：20×6+8×6，
=120+48，
=168（份）；
可供13头牛吃：168÷（13+8），
=168÷21，
=8（天）；
答：照此计算，这个牧场的草可供13头牛吃8天．
故答案为：8．
【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草每天减少的速度（份数）和草地原有草的份数．

15．一个细心的牧场主发现，一头奶牛的食量等于一只羊与一只鹅的食量之和．已知牧场内的饲料均匀增加，牧场现在的饲料能养活一头奶牛和一只羊45天，或养活一头奶牛和一只鹅60天，或养活一只羊和一只鹅90天．那么牧场现在的饲料储备能养活一头奶牛、一只羊和一只鹅 36 天．
【分析】设草地原有草量为K，每天长出的草量为J，羊每天y，鹅每天吃草量z，则一头牛每天吃草y+z，
根据“能养活一头奶牛和一只羊45天，或养活一头奶牛和一只鹅60天，或养活一只羊和一只鹅90天．”可得三个关系式：等式一：45（2y+z）=45J+K，等式二：60 （2z+y）=60J+K，等式三：90（z+y）=90J+K，解得：z=K，y=K，J=K，然后用：草地原有草量÷（一头奶牛、一只羊和一只鹅的每天食草量﹣每天长出的草量），即可得出答案．
【解答】解：设草地原有草量为K，每天长出的草量为J，羊每天y，鹅每天吃草量z，则一头牛每天吃草y+z，
由题得下列等式：
等式一：45（2y+z）=45J+K，
等式二：60 （2z+y）=60J+K，
等式三：90（z+y）=90J+K，
解得：z=K，y=K，J=K，
那么一头牛、一只羊和一只鹅可吃：
K÷[（K+K）+K+K﹣k]，
=k÷k，
=36（天）；
答：牧场现在的饲料储备能养活一头奶牛、一只羊和一只鹅36天．
故答案为：36．
【点评】本题关键是根据已知的三个条件得出三个关系式进而用草地原有草量K表示出其它未知的量．

16．有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现有牛若干头在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，那么原来有牛 40 头．
【分析】设每天每头牛吃草1份，由于草的生长速度不变，利用差倍问题的解答思路，可以求出草的生长速度：（17×30﹣19×24）÷（30﹣24）=9（份）；然后求出牧场原有草的份数：17×30﹣9×30=240（份）；根据“现有牛若干头在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，”可知：草每天生长的9份正好够9头牛吃；只要考虑吃牧场原有草的牛即可，4头死亡的牛6天一共吃草24份，其它牛自始至终8天都在吃草，所以其它牛的头数是（240﹣6×4）÷（6+2）=27（头），那么原来有牛共有27+4+9=40（头）．
【解答】解：设每天每头牛吃草1份，
草的生长速度：
（17×30﹣19×24）÷（30﹣24），
=54÷6，
=9（份）；
牧场原有草的份数：
17×30﹣9×30，
=510﹣270，
=240（份）；
原来有牛：
（240﹣6×4）÷（6+2）+4+9，
=216÷8+13，
=27+13，
=40（头）；
答：原来有牛40头．
故答案为：40．
【点评】本题是复杂的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度和草地原有草的份数；难点是把8天吃草的牛分成三部分考虑．

17．牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么可供5头牛吃 无数 天．
【分析】设每头牛每天吃草一份，根据“这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，”可以求出草每天生长量，列式为：（20×10﹣15×10）÷（20﹣10）=5（份）；还可求出草地原有草的份数，列式为：20×10﹣5×20=100（份）；由于每头牛每天吃草一份，草每天生长5份，这每天生长的5份刚好够5头牛，不停地吃下去．
【解答】解：设每头牛每天吃草一份，
草的生长速度：
（20×10﹣15×10）÷（20﹣10），
=50÷10，
=5（份）；
草每天生长5份，刚好够5头牛，不停地吃下去，这是保护生态的最好方法．
答：可供5头牛不停地吃下去．
故答案为：无数．
【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度和草地原有草的份数．

18．一片草场，24匹马6天可以把草吃完，30匹马4天可以把草吃完， 18 匹马12天可以把草吃完，（假定草每天生长量是固定的）
【分析】设每匹马每天吃草一份，根据“24匹马6天可以把草吃完，30匹马4天可以把草吃完，”可以求出草每天生长量，列式为：（24×6﹣30×4）÷（6﹣4）=12（份）；还可求出草地原有草的份数，列式为：30×4﹣12×4=72（份）；再根据“12天可以把草吃完”，可以求出12天草的总份数，列式为：72+12×12=216（份），又因为每匹马每天马吃草一份，12天吃12份，然后利用12天草的总份数÷每匹马12天马吃草的份数=马的匹数，列式为：216÷12=18（头）．
【解答】解：设每匹马每天吃草一份，
（24×6﹣30×4）÷（6﹣4），
=24÷2，
=12（份）；
30×4﹣12×4，
=120﹣48，
=72（份）；
（72+12×12）÷（1×12），
=216÷12，
=18（头）；
答：18匹马112天可以把草吃完．
故答案为：18．
【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度和草地原有草的份数．

19．有一口井，继续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等，如果用4架抽水机来抽水，40分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，30分钟可能抽完，要求24分钟内抽完井水，需抽水机 6 架．
【分析】设每分钟每架抽水机抽水1份，根据“4架抽水机来抽水，40分钟可以抽完，如果使用5架抽水机来抽水，30分钟可能抽完，”可以求出每分钟涌出的水量，列式为：：（40×4﹣30×5）÷（40﹣30）=1（份）；还可求出井内原有的水量，列式为：4×40﹣1×40=120（份）；24分钟内井内有的水量为：120+1×24=144（份），再根据每分钟每架抽水机抽水1份，即可求出所求问题，列式为：144÷（1×24）=6（架）．
【解答】解：（40×4﹣30×5）÷（40﹣30），
=10÷10，
=1（份）；
4×40﹣1×40，
=120（份）；
（120+1×24）÷（1×24），
=144÷24，
=6（架）；
答：要求24分钟内抽完井水，需抽水机6架．
故答案为：6．
【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度（本题相当于每分钟涌出的水量）和草地原有的份数（本题相当于井内原有的水量）．

20．哥哥沿着向上移动的自动扶梯从上向下走到底，共走了100级，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到头，共走了50级，如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，能看到的部分有 75 级．
【分析】哥哥沿着向上的自动扶梯从上向下走到底，逆向行走，自动扶梯卷入的部分是浪费了的．哥哥所走的级数=自动扶梯静止时的级数+哥哥逆向行走的同时扶梯卷入的级数．妹妹沿着自动扶梯从底向上走到头，是顺向行走，自动扶梯帮她少走了卷入的那部分级数．妹妹走的级数=自动扶梯静止时的级数﹣妹妹同向行走的同时扶梯卷入的级数．哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么哥哥走100级时妹妹走50级，他们所走的时间是相同的．自动扶梯卷入的级数也是相同的．则上述两个等式可以简化为：哥哥所走的级数100=自动扶梯静止时的级数+卷入的级数，妹妹走的级数50=自动扶梯静止时的级数﹣卷入的级数．自动扶梯静止时的级数：（100+50）÷2=75级．
【解答】解：（100+50）÷2=75（级）
=150÷2，
=75（级）．
答：能看到的部分有75级．
故答案为：75．
【点评】在完成此类题目时要注意，自动扶梯静止时的级数和运动时的级数是一样的，顺向所行的级数=本身可见的级数﹣这时卷入的级数；逆向所行的级数=本身可见的级数+这时卷入的级数．

21．足球比赛10：00开始，9：30允许观众入场，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开4个入场口，9：45时就不再有人排队；如果开6个入场口，9：37就没有人排队，那么第一个观众到达的时间是9点 18 分 20 秒．
【分析】这是“牛吃草”问题来人的速度：（4×15﹣6×7）÷（15﹣7）=；开门之前来的人：4×15﹣×15=；第一个观众来的时间距开门时间：÷=11（分），11分=11分40秒，9：30﹣11分40秒=9点18分20秒，
也就是在9点18分20秒来了第一个观众．
【解答】解：根据分析第一个观众到达的时间是9点18分20秒．
故答案为：18，20．
【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题．

22．小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯．已知该自动扶梯共有150级阶梯，每秒运行1.5级阶梯，问警察能否在自动扶梯上抓住小偷？答： 能 ．
【分析】因为两个人都是在扶梯上运动，所以他们相对于地面坐标系的运动是两个运动的叠加﹣﹣自身和扶梯，所以相对于地面，小偷与警察每秒跑的速度减去扶梯的速度，再根据追及问题，求出追及的时间，再加上30秒就是小偷在扶梯上的时间，再计算出扶梯在这个时间内运行的阶梯，如果小于150就能，否则不能．
【解答】解：根据题意与分析可得：
相对于地面，小偷的速度是：3﹣1.5=1.5（级/秒），警察的速度是：4﹣1.5=2.5（级/秒）；
那么抓到小偷的时间是：1.5×30÷（2.5﹣1.5）=45（秒），则小偷能在扶梯上运动的时间是：45+30=75（秒）；
自动扶梯运行的阶梯级数是：1.5×75=112.5（级）；
因为112.5＜150，所以警察能否在自动扶梯上抓住小偷．
故答案为：能．
【点评】根据题意，求出两人在自动扶梯的速度相当于地面的速度的多少，再根据题意求出小偷在扶梯上的行走的时间，再根据题意进一步解答即可．

二．解答题（共28小题）
23．某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的．一个入口每分钟可以进入10个游客．如果开放4个入口20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？
【分析】由题意知：开门后，20分钟来的人数为4×20×10﹣400=400．进而求得每分钟来400÷20=20人，这相当于有20÷10=2（个）入口专门用于新来的人进入游乐场，因此，开放6个入口，开门后400÷（6﹣2）÷10=10（分钟）就没有人排队了．
【解答】解：4×20×10﹣400=400（人）
400÷20=20（人）
20÷10=2（个）
400÷（6﹣2）÷10=10（分钟）
答：开门后10分钟就没有人排队了．
【点评】解答此题的关键是求出：题目中（暗含的相当于）专用于新来人进入的入口的个数．

24．一片牧场，牧草每天生长一样快，已知这片牧场的草可供10只羊吃20天，或可供14只羊吃12天．那么这片牧场每天新长的草够2只羊吃多少天？
【分析】这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即：每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．
【解答】解：设1只羊1天吃的草为“1“，由条件可知，
前后两次草的问题相差为：10×20﹣12×14=32．
每天新长的草：
32÷（20﹣12）
=32÷8
=4
4÷2=2（天）
答：每天新长的草够2只羊吃2天．
【点评】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，进而解答题中所求的问题．
这类问题的基本数量关系是：（羊的只数×吃草较多的天数﹣羊的只数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草量．

25．有一片牧场的满青草每天都匀速增长，这些青草可供24头牛吃6天，或者供21头牛吃8天，要使牧草永远吃不完，至多可以放几头牛？
【分析】要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．假设每头牛每天吃的草为1，先求出24头牛6天可吃完；21头牛8天可吃完时，两种情况下牛的吃草量，再根据每天草的生长量=多吃的草的量÷多吃的天数，求出每天草的生长量，最后根据至多放的牛的头数=每天草的生长量÷每头牛每天吃的草（也就是1）解答．
【解答】解：（21×8﹣24×6）÷（8﹣6）÷1，
=（168﹣144）÷2÷1，
=24÷2÷1，
=12÷1
=12（头），
答：要使草永远吃不完，至多放12头牛．
【点评】解答本题时首先要明确：要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．只要根据两种情况下求出草每天的生长量即可解答．

26．公司里有一台自动售货机为员工提供可乐，每天有专人负责补充可乐，且每天补充可乐的数量是相同的．如果公司有5个员工，那么30天后自动售货机内的可乐正好卖完；如果公司有6个员工，那么20天后自动售货机内的可乐正好卖完．已知每个员工每天买的可乐数量也是相同的．如果4个员工买了30天后，又新招入2个员工，那么所有的可乐几天后卖完？
【分析】对于这样一类既有补充、又有消耗的问题，要能够快速联想到牛吃草问题．假设每人每天卖出1份可乐，每天补充可乐的数量是相同的，原有可乐是相同的；把5人30和6人20天都正好卖完，列出两个等式，求出每天补充可乐的数量和原有可乐数量，然后带入（原有数量+30天的补充量﹣4个员工30天卖出量）÷（原来的4人+新招的2人﹣每天补充量）=几天卖完；据此得解．
【解答】解：原有可乐+30×每天补充量=5×30…①
原有可乐+20×每天补充量=6×20…②
①﹣②解得：每天补充=（5×30﹣6×20）÷（30﹣20）
=（150﹣120）÷10
=30÷10
=3
带入①得，原有可乐=5×30﹣3×30=150﹣90=60；
30 天后，可乐数量为 60+3×30﹣4×30=30，又新招入 2 个员工，还可以卖
30÷（4+2﹣3）=10天．
答：那么所有的可乐10天后卖完．
【点评】解决这类问题的关键是利用牛吃的草量，最终求出超市每天补充的可乐，由于此类题不给出可乐的单位，为此设每人每天卖1份可乐，根据数量关系，列式解答即可．

27．某公园的检票口，在开始检票前已有一些人排队等候，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，1个检票口每分钟能让25人入内．如果只有1个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果同时开放2个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？
【分析】在开始检票前排队等候的人数为：25×8﹣10×8=120（人），2个检票口每分钟能让25×2=50人入内，由于检票开始后每分钟有10人前来排队检票，所以就相当于2个检票口每分钟能让50﹣10人入内，那么没有人排队的时间为：120÷40=3（分钟）．
【解答】解：根据分析可知，
25×8﹣10×8，
=200﹣80，
=120（人）；
120÷（25×2﹣10），
=120÷40，
=3（分钟）；
答：如果同时开放2个检票口，那么检票开始后3分钟就没有人排队．
【点评】本题是牛吃草问题的变式练习，关键是在知道草的生长速度（本题相当于每分钟有10人前来排队检票，）的基础上求出草地原有的份数（本题相当于在开始检票前排队等候的人数）．

28．有3块草地，面积分别为3顷、10顷和24顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．如果第一块草地饲养12头牛，可以维持4周；第二块地饲养21头牛可以维持9周．那么，第三块草地饲养多少牛，恰好可以维持18周呢？
【分析】先把第一块地的面积和养牛头数都乘以3后，再与第二块地相比较，即可得出10倾地每周长的草份数，然后求出这10倾地原有草的份数，则能算出24倾地18周共有草的份数，用此草份数就可求得供养牛的头数了．
【解答】解：①将第一块地的面积与牛的头数都乘以3，则得到3×3=10倾地可供12×3=36头牛吃4周；第二块地10倾可供21头牛吃9周．
②设1头牛1周吃草为1份，则10倾地每周长草是（21×9﹣36×4）÷（9﹣4）=9（份）；
10倾地原有草为（21﹣9）×9=108（份）；则24倾地18周共有草（108+9×18）÷10×24=648（份）；
③24倾地，若维持18周，可供养牛648÷18=36（头）
答：第三块草地饲养36头牛，恰好维持18周．
【点评】解答此类问题，就是要充分利用“牛吃草问题”的相关公式．

29．20匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草．假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同．那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？
【分析】设1匹马吃一天的草量为一份．20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供20×72÷32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份．同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份．这两者的差正好对应了每公顷72﹣54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决．
【解答】解：（20×72÷32﹣16×54÷24）÷（72﹣54）=0.5（份）
20×72÷32﹣0.5×72=9（份）
9×40=360（份）
0.5×36×40=720（份）
（360+720）÷36=30（匹）
答：30匹马36天可吃完40公顷的牧草．
【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数=草地原有的草量．

30．一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已漏进水1000桶．一台抽水机每分钟抽水20桶，另一台每分钟抽水16桶，50分钟把水抽完，每分钟漏进水多少桶？
【分析】由题意知：两台抽水机50分钟能抽水（20+16）×50=1800桶，1800﹣已漏进的1000桶水就是50分钟内新漏进的水，这样用“新漏进水的桶数÷50分钟”即得答案．
【解答】解：（20+16）×50=1800（桶）
（1800﹣1000）÷50=16（桶/分钟）
答：每分钟漏进水16桶．
【点评】此题并不难，关键是理清题目中数据之间的关系即可．

31．一牧场的草，供牛27头，6周吃完；如果供牛23头，9周吃完．若供牛21头，几周吃完？
【分析】我们先设每头牛每周吃草为1份，这样我们可根据“牛吃草问题”的公式求出草每周的生长量为15份，进而也能得到牧场原有的草量为72份，之后同样依据“牛吃草问题的公式”即可求得问题答案了．
【解答】解：设每头牛每周吃草是1份，则
（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）=15（份）
23×9﹣15×9=72（份）
72÷（21﹣15）=12（周）
答：12周吃完．
【点评】解答此题主要是要灵活运用“牛吃草问题”的基本公式即可轻松作答．

32．一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库．5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干．若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
【分析】我们先设每天每台抽水机的抽水量为1份，再把抽水机看作“牛”，水看作“草”，根据“牛吃草公式”求出河水每天入库水量为（5×20﹣6×15）÷（20﹣15）=2份，进而即可求得水库原有存水量5×20﹣2×20=60份和6天河水入库水量为6×2=12份，然后让其相加（即6天后的水库中的水量）除以6即得答案．
【解答】解：设每台抽水机每天抽水量为1份，则
河水每天入库量：（5×20﹣6×15）÷（20﹣15）=2（份）
水库原有水量：5×20﹣2×20=60（份）
（60+6×2）÷6=12（台）
答：需要12台同样的抽水机．
【点评】解此题只要能灵活运用“牛吃草问题“中的公式即可．

33．有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完．如果需要6天割完，需要派多少人去割草？
【分析】我们先设出每天每人割草量为1份，之后根据“牛吃草公式”求得草每天的生长量为9份，进而也就得出牧草原有的份数，用此份数加上6天草生长出来的量6×9=54份（即6天后需要割的草总量），然后再除以6，就是问题的答案了．
【解答】解：设每人每天割草为1份，则
（17×30﹣19×24）÷（30﹣24）=9（份）
17×30﹣9×30=240（份）
（240+9×6）÷6=49（人）
答：需要派49人去割草．
【点评】此解并不能，只要能熟练运用好“牛吃草问题“中的基本公式即可轻松解答．

34．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？
【分析】本题考察牛吃草问题．先计算出牧场上的草每天的减少量，再求出牧场上的原有草量，即可求解．
【解答】解：（20×5﹣16×6）÷（6﹣5）=4（份）
（20+4）×5=120（份）
120÷（11+4）=8（天）
答：可以供11头牛吃8天．
【点评】本题题型常规，熟记牛吃草的常用公式进行解答．

35．经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年．假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？
【分析】根据“100亿人生活100年”知道一共有资源10000亿人每年，再根据“80亿人生活300年，”知道一共有资源24000亿人每年，即相差的14000亿人每年就是200年增长的，这样可求得1年增长70亿人每年；因为当增长量等于消耗量时可以永远生活，所以最多70亿人．
【解答】解：（80×300﹣100×100）÷200=70（亿人）
答：地球最多能养活70亿人．
【点评】解答此题的关键是“明白当地球新生成的资源增长量等于消耗量时，地球生活的人最多”，由此即可解决问题．

36．一堆草，可供3头牛和5只羊吃15天，或供5头牛和6只羊吃10天，那么这堆草可以供8牛头和11只羊吃多少天？
【分析】由题意知：（3头牛+5只羊）吃15天的量=（5头牛+6只羊）吃10天的量，这样可算出“一头牛每天的吃草量=3只羊一天的吃草量”；所以8头牛和11只羊可以吃的天数我们可以等式（3×3+5）×15÷（8×3+11）算出（即用草的总量÷每天消耗的量=天数）．
【解答】解：5×10﹣3×15=5
6×10﹣15×3=15
5：15=1：3（1头牛相当于3只羊的消耗）
（3×3+5）×15÷（8×3+11）=6（天）
答：这堆草可以供8头牛和11只羊吃6天．
【点评】解此题的关键是想到算出牛与羊消耗量之间的关系，这样便于解答．

37．一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果用12人舀水，3小时舀完．如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完．现在要想2小时舀完，需要多少人？
【分析】假设每人每小时可以舀1份水，根据“如果用12人来舀水，3小时可以舀完；如果用5人来舀水，10小时可以舀完．”可以求出船每小时漏水的份数：（5×10﹣12×3）÷（10﹣3）=2（份）；进而可以求出船舱里原有的水的份数：5×10﹣2×10=30（份）；然后用原有的份数加上2小时进水的份数，再除以时间2，即可求出需要多少人来舀，列式为：（30+2×2）÷2=17（人）．
【解答】解：假设每人每小时可以舀1份水，
则船每小时漏水：（5×10﹣12×3）÷（10﹣3）
=14÷7
=2（份）
船舱里原有的水有：5×10﹣2×10
=50﹣20
=30（份）
现在要求2小时把水舀完，需要：
（30+2×2）÷2
=17（人）
答：现在要求2小时把水舀完，需要17人来舀．
【点评】本题是典型的牛吃草问题，本题的难点是先求出船每小时漏水的份数和求出船舱里原有的水的份数．

38．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走25级梯级，女孩每分钟走20级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级？
【分析】根据“男孩每分钟走25级梯级，结果5分钟到达楼上，”可以求出男孩走的扶梯的个数，列式为：25×5=125级；根据“女孩每分钟走20级梯级，6分钟到达楼上．”可以求出女孩走的扶梯的个数，列式为：20×6=120级；再根据两个人走的扶梯的个数，可以求出自动扶梯的速度为：（125﹣120）÷（6﹣5）=5级；由于人和扶梯是同向运动的所以自动扶梯阶数为：（25+5）×5=150级，问题得解．
【解答】解：自动扶梯的速度为：
（25×5﹣20×6）÷（6﹣5）
=（125﹣120）÷1
=5（级）
自动扶梯阶数为：
（25+5）×5=150（级）
或（20+5）×6=150（级）
答：该扶梯共有150级．
【点评】本题要理解上楼的速度可以分为两部分：一部分是男女生的自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度，所以利用和差知识求出自动扶梯的速度是本题的关键；然后再利用顺水行船的解答方法求出自动扶梯可见部分的个数即可；本题考查的知识点较多，是牛吃草问题、和差问题、顺水行船问题的综合应用．

39．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少．已知牧场上的草可供38只羊吃25天或可供30只羊吃30天．照此计算，这个牧场可供20只羊吃多少天？
【分析】假设每只羊每天吃青草1份，先求出青草的减少的速度：（38×25﹣30×30）÷（30﹣25）=10（份）；然后求出草地原有的草的份数30×30+10×30=1200（份）；那么20只羊每天吃青草20份，青草每天减少10份，可以看作每天有（10+20）只羊吃草，草地原有的1200份草，可吃：1200÷（10+20）=40（天）．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的减少速度为：
（38×25﹣30×30）÷（30﹣25）
=50÷5
=10（份）
草地原有的草的份数：
30×30+10×30
=900+300
=1200（份）
那么20只羊每天吃青草20份，青草每天减少10份，可以看作每天有（10+20）只羊吃草，草地原有的1200份草，可吃：
1200÷（10+20）
=1200÷30
=40（天）
答：这个牧场可供20只羊吃40天．
【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天减少的速度（份数）和草地原有的草的份数．

40．牧场上的青草每天都在匀速生长，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？
【分析】由“这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周”这个条件，根据“牛吃草问题”的公式求出“草每周生长的速度”，之后便可求得“牧场原有的草的数量”，最后就可用“原有草的数量÷（21头牛每周吃的数量﹣每周草长的量数）”即得“21头牛所吃的周数”．
【解答】解：设每头牛每周吃“1”份草，则
23×9﹣27×6=45（份）
45÷（9﹣6）=15
23×9﹣15×9=72（份）
72÷（21×1﹣15）=12（周）
答：这片草地可供21头牛吃12周．
【点评】解此题主要是能灵活运用“牛吃草问题”的相应公式即可．

41．画展9时开门，但很早就有人来排队，从第一个观众来到时，每分钟来的观众人数一样多．如果同时开3个入口，9时9分就不再有人排队；如果同时打开5个入口，9时5分就不再有人排队．请问：第一个观众来到时是8时几分？
【分析】我们可把“观众看作草，入口看作牛”，这样我们就可先利用“牛吃草问题”中的公式求出“草的生长速度即每分钟来的人数”，进而求得“原有的草量即9时前来的人数”，再根据“9时前到来的人数与每分钟到来的人数”求得“所用时间”，之后把9时向前推去这个“所用时间”就是问题的答案了．
【解答】解：9时9分﹣9时=9分，9时5分﹣9时=5分
3×9﹣5×5=2
2÷（9﹣4）=0.5
3×9﹣0.5×9=22.5
22.5÷0.5=45（分）
9时向前推上45分钟是8时15分．
答：第一个观众来到时是8时15分．
【点评】解此题关键是明确“谁相当于草、谁相当于牛”，之后再利用“牛吃草问题”的公式即可轻松解答了．

42．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少．已知牧场上的草可供33头牛吃5天或可供24头牛吃6天．照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：（33×5﹣24×6）÷（6﹣5）=21（份）
（21+24）×6=270（份）
270÷10﹣21=6（头）
答：这个牧场可供6头牛吃10天．
【点评】本题关键在于计算出每天减少的草量和原有草量，进而解答．

43．有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完．现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？
【分析】我们把“抽水机看作牛，泉水看作草”，这样就可利用“牛吃草问题”的公式求得“草长的速度即每分钟涌出的水量”，接着便可得出“原有的草量即水井原有的水量”，然后用（原有的水量+12分钟内又涌出的水量）÷12分钟，即得需要抽水机的台数了．
【解答】解：设每台抽水机每分钟抽的水量为“1”，则
3×36﹣5×20=8
8÷（36﹣20）=0.5
3×36﹣0.5×36=90（份）
90+0.5×12=96（份）
96÷12=8（台）
答：需要抽水机8台．
【点评】解答此题的关键是思路清晰：“题目中谁相当于草、谁相当于牛”，然后再利用“牛吃草问题”的公式即可轻松求得答案．

44．某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后每分钟有10有前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站．如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：8×（25﹣10）=120（人）
120÷（2×25﹣10）=3（分钟）
答：如果有两个检票口，检票开始后3分钟就没人排队．
【点评】牛吃草问题的关键在于计算出新增草量、原有草量．

45．一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 7 时 12 分水池刚好被排空．
【分析】设每个出水口每小时的出水量为1份，根据“如果打开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空”可得：如果打开（7×18﹣9×9）份水，（18﹣9）小时可以把水排空，那么进水口每小时的进水量为：（7×18﹣9×9）÷（18﹣9）=5份，则半池水的量为：（9﹣5）×9=36份，所以一池水的量为36×2=72份．如果全部打开15个出水口，排空水池所需要的时间为72÷（15﹣5）=7.2小时，然后转化单位即可．
【解答】解：设每个出水口每小时的出水量为1份，
则进水口每小时的进水量为：（7×18﹣9×9）÷（18﹣9）
=45÷9
=5（份），
半池水的量为：（9﹣5）×9
=4×9
=36（份），
一池水的量为：36×2=72（份），
如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为：
72÷（15﹣5）
=72÷10
=7.2（小时）
即7小时12分钟．
答：经过7时12分水池刚好被排空．
故答案为：7，12．
【点评】本题考查了牛吃草问题的变形，体现了对比思想方法，解答本题关键是求出进水口每小时的进水量．

46．小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级，如果小淘气沿原自动扶梯从底端走到顶端（很危险哦，不要效仿！），需要用下楼的5倍的速度走60级才能走到上端，请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级？
【分析】由题目知：小淘气上楼走60级的时间，下楼只走60÷5=12级，而下楼走了36级，所以下楼用时是上楼用时的36÷12=3倍；于是，我们设他上楼的时间自动扶梯走了x级，则下楼的时间内自动扶梯走了3x级；根据自动扶梯的级数可得方程36+3x=60﹣x，解得x=6级，故得自动扶梯级数60﹣x=54级．
【解答】解：60÷5=12（级）
下楼与上楼的用时的关系是36÷12=3（倍）
设他上楼时间内自动扶梯走了x级，由题意得：
36+3x=60﹣x
x=6
60﹣x=60﹣6=54（级）
答：这个自动扶梯在静止不动时有54级．
【点评】解答此题的关键是要有“明确的解题思路”及小淘气在上、下楼时的时间、速度之间的关系，之后的列式求解就轻松了．

47．小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯，已知该自动扶梯共有150级阶梯，每秒运行1.5级阶梯，问警察能否在自动扶梯上抓住小偷？
【分析】我们以地面为基准，可得小偷、警察离开地面的阶梯级数（即速度）及小偷在警察上面的阶梯级数（即距离），根据这些可求出了警察追上小偷的用时；然后再求出在这个时间内警察所到的阶梯数（注：以地面为基准的），之后用此阶梯数与150级阶梯比较即可得出答案．
【解答】解：4﹣1.5=2.5
3﹣1.5=1.5
30×1.5÷（2.5﹣1.5）=45（级）
45×（4﹣1.5）=112.5（级）
112.5＜150，即追上小偷后，小偷在第112～第113级阶梯之间，没有超过150，所以警察能在自动扶梯上抓住小偷．
答：警察能在自动扶梯上抓住小偷．
【点评】此题并不太难，只要能对“时间×速度=路程”这个公式恰当、灵活运用即可．

48．商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，兄妹两人乘自动扶梯上楼，哥哥每分钟走20级，妹妹每分钟走15级，结果哥哥5分钟到达楼上，妹妹6分钟到达楼上，问该自动扶梯有多少级可见扶梯？
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：自动扶梯每分钟卷入的级数：（20×5﹣15×6）÷（6﹣5）=10（级）
自动扶梯可见级数：（20+10）×5=150（级）
答：自动扶梯有150级可见扶梯．
【点评】本题关键在于计算出自动扶梯每分钟卷入的级数，进而可以求解．

49．有一池泉水，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多．如果用8部抽水机10小时能把全池水抽干；如果用12部抽水机6小时能把全池水抽干．那么用14部抽水机所少小时能把全池泉水抽干？
【分析】设每部抽水机每小时能抽泉水1份，每小时涌出的泉水量为：（8×10﹣12×6）÷（10﹣6）=2（份）；井中原有的水量为：8×10﹣2×10=60（份）；14部抽水机拿出2部抽每小时涌出的2份的泉水，剩下的12台抽井中原有的水量，所需时间为：60÷12=5（小时），即为所求问题．
【解答】解：设每部抽水机每小时能抽泉水1份，
（8×10﹣12×6）÷（10﹣6）
=8÷4
=2（份）
8×10﹣2×10
=80﹣20
=60（份）
60÷（14﹣2）
=60÷12
=5（小时）
答：用14部抽水机5小时能把全池泉水抽干．
【点评】本题是典型的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时渗水的水量）和草地原有的份数（本题相当于泉内原有的水量）．

50．一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果由8人舀水，2小时舀完．如果只有6个人舀水，要3小时才能舀完．现在如果由5人舀水，需要几小时才能舀完？
【分析】假设每人每小时可以舀1份水，根据“如果由8人舀水，2小时舀完．如果只有6个人舀水，要3小时才能舀完．”可以求出船每小时漏水的份数：（3×6﹣2×8）÷（3﹣2）=2（份）；进而可以求出船舱里原有的水的份数：2×8﹣2×2=12（份）；5人舀水，每小时还要有2个人舀增加的2份，则剩下的3人舀12份水，即可求出需要的时间，列式为：12÷3=4（小时）．
【解答】解：假设每人每小时可以舀1份水，
则船每小时漏水：（3×6﹣2×8）÷（3﹣2）
=2÷1
=2（份）
船舱里原有的水有：2×8﹣2×2
=16﹣4
=12（份）
现在如果由5人舀水，需要：
12÷（5﹣2）
=12÷3
=4（小时）
答：现在如果由5人舀水，需要4小时才能舀完．
【点评】本题是典型的牛吃草问题，本题的难点是先求出船每小时漏水的份数和求出船舱里原有的水的份数．

C
一．填空题（共12小题）
1．一个大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不断流入，若安排4台污水处理设备，36天可将池中的污水处理完；若安排5台污水处理设备，27天可将池中污水处理完；若安排7台污水处理设备， 18 天可将池中污水处理完．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每台污水处理设备每天处理污水1份，先求出污水的增加的速度：（36×4﹣27×5）÷（36﹣27）=1（份）；然后求出污水池原有污水的份数：36×4﹣1×36=108（份）；若安排7台污水处理设备，可以安排其中的一台处理每天增加的1份，剩下的（7﹣1=6）台处理原有的108份污水，需要108÷6=18天；据此解答即可．
【解答】解：（36×4﹣27×5）÷（36﹣27）
=9÷8
=1（份）
36×4﹣1×36
=144﹣36
=108（份）
108÷（7﹣1）
=108÷6
=18（天）
答：18天可将池中污水处理完．
故答案为：18．
【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键是明确理解问题中消长关系．难点是求出变量：增加污水的份数；不变量：污水池原有污水的份数．

2．一片均匀生长的草地被平均分成三块，一群牛在第一块草地吃了8天将草吃光，紧接着这群牛又到第二块草地吃了12天将草吃光，此时如果这群牛再到第三块草地，那么 18 天后可以将第三块草地上的草吃光，（当牛在一块草地吃草时，其他两块草地上的草均正常生长）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】如果每块地每天的生长量看成是1份，第二块地比第一块地多生长12天，因此牛后12﹣8=4天吃的草相当于12÷4=3份．所以可以算出草地原有的草是8×3﹣8=16份，因此第三块地在开始吃之前的含草量就是16+8+12=36份，可以吃36÷（3﹣1）=18（天）
【解答】解：
12﹣8=4（天）
12÷4=3（份）
8×3﹣8=16（份）
16+8+12=36（份）
36÷（3﹣1）=18（天）
故填18
【点评】这题的关键是求出这些牛一天吃多少，以及每块地原有的草含量．

3．非洲大草原是角马的乐土，其中有一块肥美的草场，草每天均匀生长，这片草地可供40头角马吃7天，或可供80头角马吃3天，有50头角马刚迁徙到这片草场就被一群狮子盯上了，如果每天晚上狮子都要捕猎两头角马，这群角马第 7 天就会离开此地寻找新的食物．（如果草被吃光，角马第二天就会离开）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据已知条件，先求出“草每天生长的份数”和“草地原有草的份数”；再设出50头角马来了X天吃完草原的草，根据题意列出方程并解出方程，用解得到的天数+1即可．
【解答】解：草每天生长的份数是（40×7﹣80×3）÷（7﹣3）=10（份）
草地原有草的份数是（40﹣10）×7=210（份）
设X天吃完，根据题意得
210+10X=50+48+…+（50﹣2X+2）
210+10X=50X﹣X（X﹣1）
210+10X=50X﹣X2﹣X
X2﹣41X+210=0
（X﹣6）（X﹣35）=0
X=6或X=35
当X=35时，50﹣2X+2＜0，应舍去．
6+1=7（天）
故：这群角马第7天就会离开此地寻找新的食物．
【点评】此题只要能正确运用“牛吃草的公式”就行．

4．牧民老张家和老王家各有一块牧场，老王家牧场的面积是老张家牧场面积的2倍，现在要在牧场上放养1群野马．如果在老王家的牧场上放养能在老张家的牧场上多放养9个月．而若要是把这群野马放在两家的牧场上一起放养．则此时牧场上的草恰好永远不会减少，那么这群野马能在老王家的牧场上放养 1 个月就会将牧草吃光．（假设最初两家牧场上草的厚度一样，草长的速度也一样）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】通过分析可知：由于这群野马在两家的牧场上一起放养，草恰好永远不会减少，则说明两家牧场每月长的草恰好够这群野马吃．假设老张家牧场每月新长出看成1份，老王家的每天就长2份，那么这群野马吃老张家牧场的草时，每月吃的原有草就是2份，这群野马吃老王家牧场的草时，每月吃的原有草就是1份，说明这群野马吃光老张家牧场的时间是吃光老王家的÷2=，野马能在老王家的牧场上放，9÷（1﹣）=12个月，据此解答即可．
【解答】解：这群野马在两家的牧场上一起放养，草恰好永远不会减少，则说明两家牧场每月长的草恰好够这群野马吃．
假设老张家牧场每月新长出看成1份，老王家的每天就长2份，
那么这群野马吃老张家牧场的草时，每月吃的原有草就是2份，
这群野马吃老王家牧场的草时，每月吃的原有草就是1份，
说明这群野马吃光老张家牧场的时间是吃光老王家的：
÷2=
野马能在老王家的牧场上放养：
9÷（1﹣）=12（个）
答：这群野马能在老王家的牧场上放养12个月就会将牧草吃光．
故答案为：12．
【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口．

5．某博览会在检票前就有游客开始排队，假设在相等的时间里前来的游客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，原计划同时开6个检票口，实际同时开了7个检票口，这样比原计划节省了6分钟．策划人员测算出，如果最初开8个检票口，将会比原计划节省10分钟．这样，当等候检票的队伍消失后，为了保持检票口前始终没有等候的游客，应该至少开设 2 个检票口．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每分钟前来游客x人，每个检票口每分钟可检票y人，等候检票的人数为z人，开6个检票口所需要的时间为T，则从开始检票到等候检票的队伍消失所需要的时间，用式子表示出来，通过解方程组，解决问题．
【解答】解：假设每分钟前来游客x人，每个检票口每分钟可检票y人，等候检票的人数为z人，开6个检票口所需要的时间为T，则从开始检票到等候检票的队伍消失所需要的时间为：
6个检票口：（z+xT）÷6y=T⇒（6y﹣x）T=z （1）
7个检票口：（z+x（T﹣6））÷7y=T﹣6⇒（7y﹣x）（T﹣6）=z （2）
8个检票口：（z+x（T﹣10））÷8y=T﹣10⇒（8y﹣x）（T﹣10）=z （3）
联立（1）（2）可得：（T﹣42）y=﹣6x （4）
联立（1）（3）可得：（2T﹣80）y=﹣10x （5）
两式相除 可得T=30，将T=30代入（4），得：﹣12y=﹣6x，也就是x=2y
这就是说每分钟来的人数x是每个检票口可检票人数y的两倍，所以要开两个窗口．
答：应该至少开设2个检票口．
故答案为：2．
【点评】此题属于较复杂的牛吃草问题，通过设未知数，列出等式，解方程组，解决问题．

6．有一片牧场，牧草每周都匀速地生长，这片牧场可供20头牛吃10周或供24头牛吃6周，那么这片牧场可供18头牛吃 15 周．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意，由这片牧场可供20头牛吃10周或供24头牛吃6周，设每头牛一周的吃草量为一份，求出草的生长速度，然后再进一步解答即可．
【解答】解：设每头牛一周的吃草量为一份，
这片牧场可供20头牛吃10周，
那么这片牧场10周的供草量为：10×20=200（份）；
可供24头牛吃6周，
那么这片牧场6周的供草量为：24×6=144（份）；
那么青草增加的速度为：（200﹣144）÷（10﹣6）=14（份）；
这片牧场原有的草量为：200﹣14×10=60（份），
18头牛每周的吃草量为：18份，
那么可以吃：60÷（18﹣14）=15（周）．
答：这片牧场可供18头牛吃15周．
故答案为：15．
【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键的是求出青草的每周增加的速度（份数）和草地原有的草的份数．

7．有一块草地，每天都有新的草长出．这块草地可供9头牛吃12天，或可供8头牛吃16天．开始只有4头牛在这块草地上吃草，从第7天起又增加了若干头牛来吃草，又吃了6天，吃完了所有的草．假设草的生长速度每天都相同，那么从第7天起增加了 10 头牛来吃草．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：这块草地每天长草的份数是：（8×16﹣9×12）÷（16﹣12）=5（份）
原有草的份数是（9﹣5）×12=48（份）
新增的牛头数是（48+5×12﹣4×12）÷6=10（头）
【点评】本题关键在于学生对牛吃草公式的熟练应用．

8．某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票．一个检票口每分钟平均能让25人检票进站．如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 3 分钟后就暂时无人排队了．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题要先求出原来等着的有多少人，据已知条件，一个窗口8分钟一共放走了25×8=200（人），8分钟内共来了10×8=80（人），所以原来有200﹣80=120（人）；开两个窗口则每分钟可放25×2=50（人），则可设x分钟后就暂时无人排队了，x分钟共来人10x人．可得方程：50x﹣10x=120，解此方程即可．
【解答】解：原来有：
25×8﹣10×8
=200﹣80，
=120（人）；
设开两个窗口后x分钟后就暂时无人排队了，则得方程：
（25×2）x﹣10x=120
40x=120
x=3
答：开始检票3分钟后就暂时无人排队了．
故答案为：3．
【点评】完成本题的关健是先求出原来等着的有多少人．

9．李大爷在草地上放养一群牛，草地每天均匀生长，如果他再买进3头牛，则会提前2天将草吃完，如果他卖出3头牛，则会推迟4天才能将草地吃完，那么这片草地放养原来那群牛，会用 8 天将草地吃完．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每头牛每天吃草1份，根据 牛数×天数=天数×每天生长的草量+草地原有草量，列出两个等式，求出草地原有量和每天生长量，然后带入原有草量÷（原有牛头数﹣每天生长量），即可得解．
【解答】解：牛原来有x头，y天吃完，
则：xy=原有草量+y每天草生长量…①
（x+3）（y﹣2）=原有草量+（y﹣2）每天草生长量…②
（x﹣3）（y+4）=原有草量+（y+4）每天草生长量…③
①﹣②，得：2x﹣3y+6=2每天草生长量…④
③﹣①，得：4x﹣3y﹣12=4每天草生长量…⑤
⑤﹣④×2，得：﹣3y+6y﹣12﹣12=0
3y=24
y=8
答：这片草地放养原来那群牛，会用 8天将草地吃完．
故答案为：8．
【点评】这是一道典型的牛吃草问题，根据题意由牛吃草问题的解决方法解答即可．

10．一个牧场的草可供24头牛吃6天，或供21头牛吃8天，那么这个牧场的草可供16头牛吃 18 天．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意，设一头牛一天吃一份草，那么根据“24头牛吃6天”可得一共可吃：24×6=144份；再根据“21头牛吃8天”可得一共可吃：21×8=168份．然后求出草每天生长的份数：（168﹣144）÷（8﹣6）=12份，进而可求出牧场原来草的份数：144﹣12×6=72份；草每天生长的12份，可供12头牛去吃，所以要求这个牧场的草可供16头牛吃多少天，只要考虑16﹣12=4头牛吃原来的72份草需要多少天就可以了．
【解答】解：设一头牛一天吃一份草；
“24头牛吃6天”一共可吃：24×6=144（份），
“21头牛吃8天”一共可吃：21×8=168（份），
草每天生长的份数是：（168﹣144）÷（8﹣6）=24÷2=12（份），
牧场原来草的份数：144﹣12×6=144﹣72=72（份），
这个牧场的草可供16头牛吃的天数是：72÷（16﹣12）=72÷4=18（天）；
答：这个牧场的草可供16头牛吃18天．
【点评】本题是最典型的牛吃草问题，本题的难点是：要在牛的头数和天数的变化中，找到相关的数量，求出不变的量即求出草每天生长的份数．

11．一片草地每天都均匀地长草，如果放25头牛，18天就把草地的草吃完；如果放21头牛，30天就把草吃完．为使草地的草永远吃不完，这片草地最多可以放 15 牛．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每头牛每天吃草“1”份，则25头牛18天就要吃掉18×25=450份，21头牛30天要吃掉21×30=630份（因为草每天都要长，所以天数不同，份数也不同）．630﹣450=180（这是30天比18天多长的草），则每天长草180÷（30﹣18）=15份，因此这片草地最多可以放15÷1=15（头）．
【解答】解：假设每头牛每天吃草“1”份．
18×25=450（份）
21×30=630（份）
（630﹣450）÷（30﹣18）
=180÷12
=15（份）
15÷1=15（头）
答：这片草地最多可以放15头牛．
故答案为：15．
【点评】牛吃草的问题，你可以列方程，x头牛可以吃生长的草，得：18（25﹣x）=30（21﹣x），解方程即可．

12．有三块草地，面积分别是5、15、25亩，草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，则第三块草地可供 45 头牛吃60天．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60；
每亩45天的总草量为：28×45÷15=84；
那么每亩每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）=1.6；
每亩原有草量为：60﹣1.6×30=12；
那么25亩原有草量为：12×25=300；
25亩60天新长草量为25×1.6×60=2400；
25亩60天共有草量2400+300=2700；
所以有2700÷60=45（头）．
答：第三块地可供45头牛吃60天．
【点评】本题需要把不同面积的草地统一成相等的面积进行计算．

二．解答题（共38小题）
13．牧场上长满了牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧草可供18头牛吃30天，或者可供24头牛吃20天，有若干头牛在牧场上方牧，6天后，卖了4头牛，余下的牛再吃两天将牧草全部吃完，那么牧场上原来共有多少头牛在吃草？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据“这片牧草可供18头牛吃30天，或者可供24头牛吃20天”条件求出：草的生长量和牧场的原有草量；再把有“卖牛”看作是“没卖牛”条件，这样就变为“原有牛都吃了8天”，只是原有牛都吃了8天草的总草量比有卖牛的情况多出了4头牛2天吃的量，确定了这些原有牛吃的草总量，进而就能求出这些牛的头数了．
【解答】解：草的生长量是（18×30﹣24×20）÷（30﹣20）=60÷10=6（份）
牧场原有草的总量是18×30﹣6×30=360（份）
这些若干牛都吃了8天的草总量是360+6×（6+2）+4×2=416（份）
416÷（6+2）=52（头）
答：牧场上原来共有52头牛在吃草．
【点评】学会改动一下条件，靠到“牛吃草问题公式”上来，就可解决这类问题了．

14．顽皮的小欣哥哥带着小欣逆着超市的自动扶梯方向行走，20秒内哥哥走了29级，小欣走了22级，按此速度，哥哥2分钟到达另一端，小欣4分钟才能到达，问自动扶梯共多少级？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】结合题意，我们把“自动扶梯”看作“草”，“哥俩”比作“牛吃草问题中的牛”，然后利用“牛吃草问题”公式即可得出“自动扶梯的运动速度”，之后再次利用公式即可求得自动扶梯的级数．
【解答】解：2分钟=120秒
4分钟=240秒
（22÷20×240﹣29÷20×120）÷（240﹣120）=0.75（级/秒）
22÷20×240﹣0.75×240=84（级）
答：自动扶梯共84级．
【点评】此题只要能灵活运用“牛吃草问题”公式即可轻松作答．

15．有两块草地，面积分别为4公顷、5公顷．草地上的草一样厚，且长得一样快．第一块草地可供14头牛吃24天，或者16头牛吃20天．问：第二块草地可供25头牛吃多少天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】首先求出4公顷原草量对应的份数．和草的生长速度．然后按照比例求出5公顷的原草量和草的生长速度．利用公式就可求解．
【解答】解：4公顷草量差14×24﹣16×20=16（份）．
4公顷每天草生长的量：16÷4=4（份）．
4公顷原草量：（16﹣4）×20=240（份）．
5公顷草量：240÷4×5=300（份）．
5公顷草速是：4÷4×5=5（份）．
300÷（25﹣5）=15（天）．
答：第二块草地颗供25头牛吃15天．
【点评】牛吃草的问题关键是求草的生长速度和原来的草量，这里给出的是4公顷和5公顷，所以需要确定4，5公顷的原草量和草的生长速度．问题解决．

16．仓库里原有一批货，继续运货进仓，且每天运进的货一样多．用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完．仓库里原有的存货若用3辆汽车运，则需要多少天运完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】假设每辆车每天运货量为1份，先求出每天运进货的速度：（9×4﹣6×5）÷（9﹣6）=2（份）；然后求出仓库里原有货的份数：9×4﹣2×9=18（份）；若用3辆汽车运，可以用2辆汽车运每天增加的2份，剩下的（3﹣2=1）辆汽车运原有的18份货物，需要18÷1=18天；据此解答即可．
【解答】解：假设每辆车每天运货量为1份，
（9×4﹣6×5）÷（9﹣6）
=6÷3
=2（份）
9×4﹣2×9
=36﹣18
=18（份）
18÷（3﹣2）
=18÷1
=18（天）
答：仓库里原有的存货若用3辆汽车运，则需要18天运完．
【点评】本题考查了牛吃草的问题，关键是明确理解问题中消长关系．难点是求出变量：每天增加货物的份数；不变量：仓库中原有货物的份数．

17．有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长．设每头牛每天的吃草量为1．假如放牧18头牛，则30天内牧草将被全部吃完；假如放牧24头牛，则20天内牧草将被全部吃完．问：
（1）该牧场1天内生长的牧草量是多少？
（2）该牧场现有的牧草量是多少？
有若干头牛在牧场放牧，6天后4头牛死亡，余下的牛再吃2天，将牧草全部吃完．
（3）求牛的头数．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据“牛吃草的公式”和题目已知条件”求得（1）、（2）问；第（3）问，只要假设4头牛没死，把4头牛2天吃的草加到牧场8天后的牧草总量中，这样就是原有牛吃了6+2=8天的量，这样即可求得原有牛的头数．
【解答】解：（1）每天牧草的生长量是（18×30﹣24×20）÷（30﹣20）=60÷10=6
（2）牧场现有的牧草量是18×30﹣6×30=360
（3）牧场8天后的牧草总量是360+6×（6+2）=408
4头牛2天吃的草量是4×2=8
（408+8）÷（6+2）=52（头）
答：牧场1天内生长的牧草量是6；该牧场现有的牧草量是360；牛的头数是52头．
【点评】此题只要灵活运用“牛吃草公式”就行．

18．两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走．在20秒钟里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共有多少级台阶？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】我们可把“孩子看作是“牛”，台阶看作是草”，这样根据“牛吃草的公式”，可先求“草增长的速度即自动扶梯的运行速度为0.9级/秒”；之后可同样依据“牛吃草公式”求得“原有的草量”即扶梯的台阶级数为54级．
【解答】解：2分钟=120秒，3分钟=180秒
24÷20×180﹣27÷20×120=54（级）
54÷（180﹣120）=0.9（级/秒）
（24÷20﹣0.9）×180=54（级）
答：该扶梯共有54级台阶．
【点评】解答此题的关键是要明确题目中的什么相当于“牛”，什么相当于“草”，之后灵活运用好“牛吃草问题”的公式，即可轻松解答．

19．有一个水池，池底有一个打开的出水口，不停地向外排着水，另外再用5台抽水机，20小时可将水抽空，用8台抽水机，15小时可将水抽完，如果仅靠出水口排水，那么多少时间能把水排完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】可假设每台抽水机每小时抽水量是1份，分别求出用“8台抽水机15小时”的抽水量和“5台抽水机20小时”的抽水量，然后根据这两个结果，可求出水池出水口每小时的漏水量是多少份，即：（8×15﹣5×20）÷（20﹣15）=4（份），然后再求出水池的原有水量的总份数：15×8+15×4=180（份），再除以漏水量，就是仅靠出水口出水需要的时间．据此解答．
【解答】解：设每台抽水机每小时可抽水1份
（8×15﹣5×20）÷（20﹣15）
=（120﹣100）÷5
=20÷5
=4（份）
（15×8+15×4）÷4
=（120+60）÷4
=180÷4
=45（小时）
答：把水漏完需要45小时．
【点评】本题的关键是在抽水机和时间的变化中，求出题目中不变的量即水池的漏水量．

20．抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机要30分钟．现因井底渗水，且每分钟渗水量相等，用两台抽水机合抽18分钟正好抽干．如果单独用甲抽水机抽水，多少分钟把水抽干？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】我们把在无渗水的情况下，井中的水量看作“单位1“即总工作量，那么就可以得到甲与乙的工作效率分别为、，进而得甲乙合作的工作效率为；现在用他们在两种情况（渗水与不渗水）下合作的工作效率，便可得出井底渗水量（或者称水渗的工作效率），之后就可轻松解得问题答案了．
【解答】解：设无渗水情况下，井中的水量为“单位1”则
+=
﹣=
1÷（﹣）=45（分钟）
答：45分钟把水抽干．
【点评】解此题的关键是要明白如何求出井底渗水量，之后的计算就简单了．

21．一个水池装一个进水管和20个同样的出水管．先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管．如果同时打开10个出水管，那么4小时排尽池中水；如果同时打开7个出水管，那么6小时排尽池中水．若要3小时排尽池中水，应打开几根出水管？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：（7×6﹣10×4）÷（6﹣4）=1（份）
（10﹣1）×4=36（份）
36÷3+1=13（根）
答：打开13根出水管可以3小时排尽池中水．
【点评】本题应该先计算出进水管每小时的出水量，再计算存水量，然后就可求解．

22．公园早上8点开门，但很早就有人来排队，从第一个游客来到时，每分钟来的游客人数一样多．如果同时开4个入场口，8时10分就不再有人排队；如果同时打开6个入场口，8时6分就不再有人排队．请问：第一个游客来到时是几时几分？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：（4×10﹣6×6）÷（10﹣6）=1（人）
10×（4﹣1）=30（人）
8点﹣30分=7时30分
答：第一个游客来到时是7时30分．
【点评】本题关键在于求出每分钟到的游客数量，然后计算原有游客数量，进而得出第一个游客的到达时间．

23．“十一”黄金周许多人乘坐火车去外地旅游，10月1号某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟，如果想要在12分钟后使等候的队伍消失，那么需要同时开几个检票口．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】我们把“旅客”看作“草”，把“检票口”看作“牛”，这样利用“牛吃草问题”的公式便可求出“原有草的数量和草的增长速度”分别为60人、2人/分钟，之后就可求得题目中要求得的“牛”的数量为7个，即答案了．
【解答】解：设每个检票口每分钟检票的旅客人数为“1”，由题意得
4×30×1﹣5×20×1=20（人）
20÷（30﹣20）=2（人）
4×30﹣2×30=60（人）
60+2×12=84（人）
84÷12=7（个）
答：需要同时开放检票口7个．
【点评】解此题，只要是知道题目中“谁”相当于“牛吃草问题”中的“牛与草”，之后再利用“牛吃草问题”中的公式便可轻松解答了．

24．某水库有10个泄洪闸，若水库的水位已经超过安全线，且上游河水还在按不变的速度增加．为了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸30小时，水位降至安全线；若打开两个泄洪闸，10个小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部要求在5.5个小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开多少个闸门？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：（30×1﹣10×2）÷（30﹣10）=0.5（份）
30×1﹣0.5×30=15（份）
（15+0.5×55）÷5.5≈4（个）
答：要求在5.5个小时内使水位降至安全线以下，至少要同时打开4个．
【点评】牛吃草问题关键在于先计算出每天的新增草量和原有草量，再计算其他量．

25．一个牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供15头牛吃24天，或供20头牛吃14天．现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了3天将草吃完．这群牛原有多少头？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：牧场每天的新增草量：（15×24﹣20×14）÷（24﹣14）=8（份）
牧场原有草量：（15﹣8）×24=168（份）
这群牛原有的头数：（168+3×4+8×9）÷9=28（头）
答：这群牛原有28头．
【点评】牛吃草问题关键在于计算出原有草量和新增草量，然后根据题目具体情况进行列式解答．

26．某水池漏水，如果用20部抽水机5小时可将水抽光，或用15部抽水机6小时将水抽光．问用多少部抽水机10小时可将水抽光？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设1部抽水机1小时可抽水1份，先求出“20部抽水机5小时”和“15部抽水机6小时”分别可抽水的份数，然后根据这两个结果可以求出水池每小时漏水的份数是：（20×5﹣15×6）÷（6﹣5）=10份，再求出水池里的水的总份数：20×5+10×5=150份，进而可以求出用多少部抽水机10小时可将满池水抽光？即（150﹣10×10）÷10=5（部）．
【解答】解：设1部抽水机1小时可抽水1份，
20部抽水机5小时可抽水的份数是：
20×5=100（份）
15部抽水机6小时可抽水的份数是：
15×6=90（份）
水池每小时漏水的份数是：
（100﹣90）÷（6﹣5）
=10÷1
=10（份）
水池里水的总份数是：
20×5+10×5
=100+50
=150（份）
10小时将满池水抽光用抽水机的部数是：
（150﹣10×10）÷10
=50÷10
=5（部）
答：用5部抽水机10小时可将满池水抽光．
【点评】本题是最典型的牛吃草问题，本题的难点是：要在抽水机的部数和时间的变化中，找到相关的数量，求出不变的量即水池每小时漏水的份数．

27．一只船被发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果10人舀水，3小时舀完；如果5人舀水8小时舀完，如果要2小时舀完，要安排多少人舀水？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】从题意中我们不知道船舱原来有多少水，也不知道每小时进多少水和每人每小时淘多少水，为了便于计算我们就要设定其中一个量，将一人一小时淘出的水量定为1．我们可以分别求出3小时和8小时水的总量，即10人和5人淘水的量：
3小时的总水量 10×3=30
8小时的总水量 5×8=40
3小时和8小时之间水的总量的差距就可以求出每小时的进水量：
每小时的进水量 （40﹣30）÷（8﹣3）=2
从2小时到3小时，有进水1小时，即进水量为2那么：
2小时的总水量 30﹣2=28，
用2小时水的总量28除以时间2小时，再除以一人一小时淘出的水量1，就是需要的人数．
即28÷2÷1=14（人）；据此解答即可．
【解答】解：设一人一小时淘出的水量定为1，
3小时的总水量 10×3=30
8小时的总水量 5×8=40
每小时的进水量 （40﹣30）÷（8﹣3）=2
2小时的总水量 30﹣2=28
需要的人数28÷2÷1=14（人）．
答：如果要2小时舀完，要安排14人舀水．
【点评】本题较难理解，题目中没有给出任何水的量，我们就由数学常用的设定量法来分析，设定每人每小时淘水量为1．然后再逐步分析解答．

28．有一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内．若10个人淘水，12个小时可以淘完；15个人淘水，6小时可以淘完，如果3小时淘完，需要多少人淘水？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】先设一人一小时淘出的水量为1，求出每小时的进水量为5，再得出3小时的总水量即可求出所需人数．
【解答】解：设一人一小时淘出的水量为1，
6小时的总水量 15×6=90，
12小时的总水量 10×12=120，
每小时的进水量 （120﹣90）÷（12﹣6）=5，
3小时的总水量 90﹣5×3=75，
需要的人数75÷3÷1=25（人）．
答：如果3小时淘完，需要25人淘水．
【点评】本题是典型的牛吃草问题．关键是求出每小时的进水量为5．

29．某海港货场不断有外洋轮船卸下货来，又不断用汽车将货物运走．如果用9辆车，12小时可以清场；如果用8辆车，16小时可以清场．该场开始只用3辆车，10小时后增加了若干辆，再过4小时就已清场，那么后来增加的车是多少辆？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】先求出每小时从轮船上卸货量，据此得出原来货场上有货量，再算出3辆车10小时后，货场上有多少货，得出需要车的总数量，再减去原有的3辆即为增加的．
【解答】解：设每辆车每小时运的货为1份．
每小时从轮船上卸货量为：（9×12﹣8×16）÷（16﹣12）=5（份），
原来货场上有货量为：108﹣5×12=48（份），
3辆车10小时后，货场上有货：48+（5﹣3）×10=68（份），
再过4小时清场，共运走货物量：68+5×4=88（份），
需要车的数量为：88÷4=22（辆），
增加车22﹣3=19（辆）．
答：后来增加的车是19辆．
【点评】本题是典型的牛吃草问题．关键是得出原来货场上有货量和每小时从轮船上卸货量．

30．羊村有一批青草，若8只大羊和10只小羊一起吃，则可以吃12天，已知两只小羊每天吃的草量与一只大羊吃的草量相等．那么，这批青草可供多少只小羊和5只大羊吃8天？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意，假设一只小羊每天吃1份草，那么大羊每天吃2份草；由若8只大羊和10只小羊一起吃，则可以吃12天，可得这批草共有（8×2+10）×12=312份；5只大羊8填可吃5×2×8=80份，还剩下312﹣80=232份，再除以8即可．
【解答】解：假设一只小羊每天吃1份草；
这批青草共有：（8×2+10）×12=312（份）；
5只大羊8天吃青草：5×2×8=80（份）；
可供小羊的只数是：（312﹣80）÷8=29（只）．
答：可供29只小羊和5只大羊吃8天．
【点评】根据题意，假设出一只小羊每天吃1份草，然后求出这批草的份数，然后再进一步解答．

31．某天上海世博会中国馆入口处已有945名游客等候检票进馆．此时，每分钟还有若干人前来入口处准备进馆．这样，如果打开4个检票口，15分钟游客可以全部进馆；如果打开8个检票口，7分钟游客可以全部进馆．现在要求在5分钟内所有游客全部进馆，需要打开 11 个检票口．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设1个检票口1分钟检票的人数为单位“1”，先求出每分钟新来的旅客，再求出检票开始前排队的人数（用单位“1”）表示，那单位“1”即可求出，最后即可求出在5分钟内所有游客全部进馆，需要打开检票口的个数．
【解答】解：每分钟新来的旅客量为：（15×4﹣7×8）÷（15﹣7），
=4÷8，
=（单位“1”），
检票开始前排队的人数：15×4﹣×15，
=60﹣，
=（单位“1”），
1个检票口1分钟检票 的人数为：945÷，
=945×，
=18（人），
5分钟新来的人数：×18×5=45（人），
需要打开检票口的个数：（945+45）÷（18×5），
=990÷90，
=11（人），
答：需要打开11个检票口，
故答案为：11．
【点评】解答此题的关键是，求出1个检票口1分钟检票的人数，问题即可解决．

32．陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生长．这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天．问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意，把每只羊每天吃草量为1份，求出新生草量与原有草量，然后再进一步解答即可．
【解答】解：根据题意可得：每只羊每天吃草量为1份；
新生草量：（100×200﹣150×100）÷（200﹣100）=50（份）；
原有草量：100×200﹣50×200=10000（份）；
250只羊可吃：10000÷（250﹣50）=50（天）；
放牧这么多羊不对．
最多放牧50只羊，因为每天新增草50份，刚好够50只羊吃．
答：如果放牧250只羊可以吃50天，放牧这么多羊不对，为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧50只羊．
【点评】解答牛吃草问题的关键是求出草地上每天生长出的新草及草地上原有的草，然后再根据题意进一步解答即可．

33．有三个牧场长满草，第一个牧场33亩，可供22头牛吃27天；第二个牧 场28亩，可供17头牛吃42天；第三个牧场10亩，可供多少头牛吃3天（假如 每块地每亩草量相同，而且都是匀速生长）？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份，根据“第一个牧场33亩，可供22头牛吃27天”可列方程为：27×（22﹣33y）=33x，①；再根据“第二个牧 场28亩，可供17头牛吃42天；”可列方程为：42×（17﹣28y）=28x，②，然后解①②两个方程得y=0.5，x=4.5；那么可以求出第三个牧场10亩可供吃3天的头数：（10×4.5+0.5×10×3）÷3=35（头）；据此解答．
【解答】解：每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份，
27×（22﹣33y）=33x，①
42×（17﹣28y）=28x，②
把方程①②联立，解得：y=0.5，x=4.5
那么，（10×4.5+0.5×10×3）÷3，
=60÷3，
=20（头）；
答：第三个牧场10亩，可供20头牛吃3天．
【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数=草地原有的草量．

34．假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上资源可供137.5亿人生活112.5年，或可供112.5亿人生活262.5年，为使人类能不断繁衍，那么地球上最多能养活 93.75 亿人．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】要求地球上最多能养活多少人？就是使人类不断繁衍增长的人口的速度等于地球上新生成的资源的增长速度，所以要求出地球上一年新生的能源是多少？因为地球上新生成的资源的增长速度是一定的，所以可用（137.5亿人生活112.5年的总份数﹣112.5亿人生活262.5年的总份数）÷（两者的年数差）=一年新生的能源总份数，然后问题即可解决．
【解答】解：设一亿人一年消耗的能源是1份，
那么一年新生的能源是：
（262.5×112.5﹣137.5×112.5）÷（262.5﹣112.5），
=112.5×（262.5﹣137.5）÷（262.5﹣112.5），
=14062.5÷150，
=93.75（份），
要想使得人类不断生存下去，则每年消耗的能源最多就是每年新生的能源，那么最多的人口是：93.75÷1=93.75（亿人）；
答：地球上最多能养活93.75亿人．
故答案为：93.75．
【点评】这是典型的牛吃草问题，关键要理解地球上最多能养活的人数即为地球上新生成的资源的增长的份数，然后求出这个变化的量，问题得解．

35．有一片草场，草每天的生长速度相同．若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）．那么17头牛和20只羊多少天可将草吃完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】本题先把羊的只数转化为牛的只数，“若14头牛30天可将草吃完，70只羊（17.5头牛）16天也可将草吃完”求出草每天的生长份数和原有的草的份数；就能够进一步求出17头牛和20只羊（5头牛）多少天可将草吃完？
【解答】解：设一头牛一天的吃草量为1份，
那么70只羊，20只羊转化成牛的头数是：
70÷4=17.5（头），20÷4=5（头）；
草每天的生长速度是：
（14×30﹣17.5×16）÷（30﹣16），
=140÷14，
=10（份），
原有的草是：
14×30﹣30×10=120（份），
那么17头牛和20只羊也就相当于牛的头数是：
17+5=22（头）；
那么每天生长的10份的草就够22头牛中的10头牛吃的，剩下的牛去吃120份需要的天数是：
120÷（22﹣10），
=120÷12，
=10（天），
所以22头牛也就相当于17头牛和20只羊10天可将草吃完．
答：17头牛和20只羊10天可将草吃完．
【点评】求出变化的量（草每天的生长速度）和不变的量（原有的草的份数）是本题的难点．

36．某海港货场不断有外洋轮船卸下货来，又不断用汽车将货物运走．如果用9辆车，12小时可以清场；如果用8辆车，16小时也可以清场．该场开始只用3辆车，10小时候增加了若干辆车，再过4小时就已清场，那么后来增加的车数应是 19 ．
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意，不断有外洋轮船卸下货来，又不断用汽车将货物运走，这是典型的牛吃草问题；根据“如果用9辆车，12小时可以清场”列出等式：原有货+12小时进货=每车每时运货×9×12=每车每时运货×108；根据“如果用8辆车，16小时也可以清场”列出等式：原有货+16小时进货=每车每时运货×8×16=每车每时运货×128；两个等式联立，求出每小时进货需要5辆车1小时运完，原有货=每车每时运货×48；开始只用3辆车，10小时候积压的货物为48+（5﹣3）×10=68×每车每时运货，4小时运走这些货需68÷4=17辆车，另应增加2辆车与原有3辆车使到货没有新的积压，共需17+2=19辆车；据此得解．
【解答】解：原有货+12小时进货=每车每时运货×9×12=每车每时运货×108 （1）
原有货+16小时进货=每车每时运货×8×16=每车每时运货×128 （2）
（2）﹣（1）得：
4小时进货=每车每时运货×20，即每小时进货需要5辆车1小时运完，
代入（1）得：原有货=每车每时运货×48
现在3辆车运10个小时，积货为48+（5﹣3）×10=68×每车每时运货
4小时运走这些货需68÷4=17辆车，
另应增加2辆车与原有3辆车使到货没有新的积压，
所以，共需新增17+2=19辆车．
故答案为：19．
【点评】根据题意，列式求出原有货和每小时进货与每车每时运货的关系是解决此题的关键．

37．画展九时开始，但早有人来等候．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多．如果开三个入场口，九时九分就不再有人排队；如果开五个入场口，九时五分就不再有人排队．那么，第一个观众到时是八时几分？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】9时开门，开3个入场口，9：09就不再有人排队，开5个入场口，9：05就没有人排队，来人的速度为（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）=，开门之前来人为3×9﹣×9=22，第一个观众来的时间距开门时间：22÷=45分，再用9时减去45分即可求出答案．
【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）
=（27﹣25）÷4
=2÷4
=；
3×9﹣×9
=27﹣4
=22，
22÷=45（分），
9时﹣45分=8时15分．
答：第一个观众到达的时间是8时15分．
【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题．

38．有三片牧场，场上草长的一样密，而且长的一样快．他们的面积分别是亩、10亩和24亩，12头牛4个星期可以吃完第一片草，21头牛9星期可以吃完第二片草，问多少头牛18星期可以吃完第三片草？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】由于两次的亩数不同，所以统一亩数：把12头牛4周吃牧草亩，看作12×3头牛4周吃牧草×3亩，即36头牛4周吃牧草10亩；然后假设每头牛每周吃1份草，36头牛4周吃36×4=144份，21头牛9周吃21×9=189份，多吃了189﹣144=45份，恰好是9﹣4=5周长的；那么10亩每周就长45÷5=9份，则每亩每周就长9÷10=0.9份，原来牧场每亩的草量有36×4÷10﹣0.9×4=10.8份；那么24亩牧草18周后的草量为：10.8×24+0.9×18×24=259.2+388.8=648份，所以牛的数量是：648÷18=36（头），据此解答即可．
【解答】解：假设每头牛每周吃1份草，
把12头牛4周吃牧草亩，看作12×3头牛4周吃牧草×3亩，即36头牛4周吃牧草10亩；
10亩每周长草的份数：
（21×9﹣36×4）÷（9﹣4）
=45÷5
=9份
每亩每周就长：9÷10=0.9份
原来牧场每亩的草量有：
36×4÷10﹣0.9×4
=14.4﹣3.6
=10.8份
24亩牧草18周后的草量为：
10.8×24+0.9×18×24
=259.2+388.8
=648份
所以牛的数量是：648÷18=36（头）
答：36头牛18星期可以吃完第三片草．
【点评】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”，这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素；解这类题的关键是求出草每周的生长量．数量关系是：草的总量=原有草量+草每周生长量×周数．

39．某体育场举办某明星的演唱会，19时开始入场，但早有观众在门口排队，从第一个观众到体育场时起，每分钟到来的观众人数一样多．如果开4个入场口，19时12分就不再有人排队；如果开6人入场口，19时6分就没有人排队．第一个观众到场的时间是几时几分？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】19点开门，开4个入场口，12分钟就不再有人排队，开6个入场口，6分钟就没有人排队，来人的速度为（12×4﹣6×6）÷（12﹣6）=2，开门之前来人为4×12﹣2×12=24，第一个观众来的时间距开门时间：24÷2=12分，再用19时减去12分即可求出答案．
【解答】解：（12×4﹣6×6）÷（12﹣6）
=（48﹣36）÷6
=2
4×12﹣2×12
=48﹣24
=24
24÷2=12（分钟）
19时﹣12分钟=18时48分
答：第一个观众来的时刻是18时48分．
【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题．

40．草场上的草匀速生长，每人每天的割草量相等．一片草若用17人去割，30天可以割完；若用19人去割，则只需24天就能割完．现在需要6天将草割完，至少要多少个人？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每人每天割草一份，根据“一片草若用17人去割，30天可以割完”；若用19人去割，则只需24天就能割完”可以列式求出草每天生长量和草地原有草的份数，首先让一部分人来平衡每天生产量，然后利用原有草的总份数÷6天=人数，两个人数求和，即可得解．
【解答】解：设每人每天割草1份，
原有草+30×草每天生产量=17×30…①
原有草+24×草每天生产量=19×24…②
①﹣②，得：草每天生产量=（17×30﹣19×24）×（30﹣24）=9（份）
带入①，得：原有草=（17﹣9）×30=240（份）
首先让9人割草来平衡草的生产量，没有新的积压，
另外每天需要的人数：240÷6=40（人）
9+40=49（人）
答：至少要49个人．
【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度和草地原有草的份数．

41．6月9日晚20时30分，某市突然狂风大作，暴雨倾盆而下．据监测显示，1小时内，该市降雨量达到32.8毫米．由于该市下水道排水设施不够完善科学，导致多处路面积水严重，交通瘫痪．某滞水严重的路段，若用17个下水道，30小时可将滞水排完；若用19个下水道，24小时可将滞水排完；该路段现有若干个下水道，排水6小时后，由于泥沙和落叶的堵塞，导致4个下水道不能排水，剩余的滞水花了2小时才排完，该路段原有多少个下水道？（假设雨水以均匀的速度下降）
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】此题可以用牛吃草的算法进行解答．
设1个下水道1小时排水量为1份，17个下水道，30小时可排水：17×30=510份；19个下水道，24小时可排水：19×24=456份；1小时下雨量是：（510﹣456）÷（30﹣24）=9份；那么可以求出该路段原有滞水510﹣30×9=240份；然后再设该路段原有下水道x个，根据题意列出方程进行解答即可．
【解答】解：假设1个下水道1小时排水量为1份；
17个下水道，30小时可排水：17×30=510（份）；
19个下水道，24小时可排水：19×24=456（份）；
1小时下雨量是：（510﹣456）÷（30﹣24）=9（份）；
该路段原有滞水：510﹣30×9=240（份）；
设该路段原有下水道x个；
根据题意可得：
6x+2×（x﹣4）=240+（6+2）×9，
6x+2x﹣8=312，
8x=320，
x=40．
答：该路段原有40个下水道．
【点评】此题的解法是把工程为题转化成牛吃草问题来解答，很好理解．所以希望同学们在今后的学习中，遇到问题可灵活处理．

42．一个草场的草，如果用20头羊吃，10天可以吃完；如果用15头羊吃，15天可以吃完．如果用10头羊吃，几天可以吃完？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意，设每头羊每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供10头羊吃的天数．
【解答】解：设每头羊每天吃“1”份草，
每天新生草量为：
（15×15﹣20×10）÷（15﹣10），
=（225﹣200）÷5，
=25÷5，
=5（份）；
原有草量为：
20×10﹣5×10=100（份），
10头羊吃的天数：
100÷（10﹣5），
=100÷5，
=20（天）；
答：这片牧草可供10头羊吃20天，
【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头羊每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决．

43．有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，如用10台抽水机需抽8小时，如用8台抽水机需抽12小时．那么，如果用6台抽水机，需抽多少小时？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每部抽水机每小时能抽泉水1份，每小时涌出的泉水量为：（8×12﹣10×8）÷（12﹣8）=4（份）；井中原有的水量为：8×10﹣4×8=48（份）；6部抽水机拿出4部抽每小时涌出的4份的泉水，剩下的2台抽井中原有的水量，所需时间为：48÷2=24（小时），即为所求问题．
【解答】解：设每部抽水机每小时能抽泉水1份，
（8×12﹣10×8）÷（12﹣8），
=16÷4，
=4（份）；
8×10﹣4×8，
=80﹣32，
=48（份）；
48÷（6﹣4），
=48÷2，
=24（小时）；
答：如果用6台抽水机，需抽24小时．
【点评】本题是典型的牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时渗水的水量）和草地原有的份数（本题相当于井内原有的水量）．

44．兴安水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游的河水还在按不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪闸，假设每个闸门的泄洪速度相同，经测试，若打开一个泄洪闸，需30小时水位才能降至安全线，若打开两个泄洪闸，10小时才能将水位降至安全线，现在控洪指挥部要求在5.5个小时内使水位降至安全线以下，至少要同时打开多少个闸门？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪1份，先求上游的河水的增加速度为：（30×1﹣10×2）÷（30﹣10）=0.5（份）；再求安全线以上的原有的水量为：30×1﹣0.5×30=15（份）；至少要同时打开个闸门个数为：（15+0.5×5.5）÷5.5≈3.2个，为了确保在5.5个小时内使水位降至安全线以下，需要用“进一法”求出得数．
【解答】解：设每个泄洪闸每小时泄洪1份，
（30×1﹣10×2）÷（30﹣10），
=10÷20，
=0.5（份）；
30×1﹣0.5×30，
=30﹣15，
=15（份）；
（15+0.5×5.5）÷5.5，
=17.75÷5.5，
≈4（个）；
答：要求在5.5个小时内使水位降至安全线以下，至少要同时打开4个．
【点评】本题是牛吃草问题，关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时的泄洪量）和草地原有的份数（本题相当于安全线以上的原有的水量）．

45．社乡一片草地，5头牛20天吃完草，6头牛15天吃完草，草生长的速度是匀速的，问12头牛多少天吃完草？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】设每头牛每天吃“1”份草，则5头牛20天吃：5×20=100（份），6头牛15天共吃：6×15=90（份），
那么20﹣15=5（天）共长草10份，每天长草：10÷（20﹣15）=2（份），原来有草：100﹣2×20=60（份），12头牛1天吃草：12×1=12（份）．那么，12头牛可吃：60÷（12﹣2），计算即可．
【解答】解：设每头牛每天吃“1”份草．
则5头牛20天吃：5×20=100（份），
6头牛15天吃：6×15=90（份），
那么20﹣15=5（天）共长草10份，
每天长草：10÷（20﹣15）=2（份），
原来有草：100﹣2×20=60（份），或90﹣2×15=60（份），
12头牛1天吃草：12×1=12（份）．
12头牛可吃：60÷（12﹣2）=60÷10=6（天）；
答：12头牛6天吃完草．
【点评】此题在求出原来有草60份后，可用方程解答．解：设可供12头牛吃x份，由题意得：60+2x=12x，解得x=6．

46．有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放24只羊，则6天吃完草；如果放牧21只羊，则8天吃完，每天吃草的量都是相等的．问：
（1）如果放牧16只羊，则几天可以吃完牧草？
（2）要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】（1）设每只羊每天吃1份草．24只羊，则6天吃完草，说明6天长的草+原来的草共：24×6=144份； 21只羊，8天吃完，说明8天长的草+原来的草共21×8=168份； 所以（8﹣6=2）天长的草为168﹣144=24份，即每天长12份，这样原来草为144﹣6×12=72份，那么草地每天长的草够12头羊吃一天．如果放16头羊，那么12头够吃长出来的草，还剩下4头吃原来的72份，这样可以吃18天．
（2）若要牧草永远吃不完，羊只能吃新长的草，所以最多只能放12头羊．
【解答】解：（1）设每只羊每天吃1份草；
草的生长速度即每天长的份数为：
（21×8﹣24×6）÷（8﹣6），
=（168﹣144）÷2，
=24÷2，
=12（份）；
原来草的份数为：144﹣6×12=72（份），
那么草地每天长的草够12头羊吃一天．如果放16头羊，那么12头够吃长出来的草；
还剩下16﹣12=4（头）吃原来的72份，这样可以吃的天数为：72÷4=18（天）．
（2）若要牧草永远吃不完，羊只能吃新长的草，所以最多只能放12头羊．
答：如果放牧16只羊，则18天可以吃完牧草；要是牧草永远吃不完，最多只能放12头羊．
【点评】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口．

47．两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走．在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端．问：该扶梯共多少级？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】2分钟=120秒，3分钟=180秒． 男孩走了2分钟到达另一端，走了（120÷20）×27=162（级）； 女孩走了3分钟到达另一端，走了（180÷20）×24=216（级）． 求出电动扶梯每分钟走的级数，再进一步解决问题即可
【解答】解：2分钟=120秒，3分钟=180秒．
电动扶梯每分钟走：
[（180÷20）×24﹣（120÷20）×27]÷（3﹣2），
=216﹣162，
=54（级）；
电动扶梯共有：
（120÷20）×27﹣54×2=54（级）；
答：该扶梯共54级．
【点评】此题难度较大，要认真分析，才能正确作答．

48．一个水池装一个进水管和三个同样的出水管．先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管．如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开多少分钟？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水．因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题．
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8=16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5=15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量．两者相减就是在8﹣5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是（16﹣15）÷3=（份）．假设让个出水管专门排进水管新进的水，两相抵消，其余的出水管排原有有的水，可以求出原有水的水量为：（2﹣）×8=（份）或（3﹣）×5=（份）．
【解答】解：①设出水管每分钟排出的水为1份．每分钟进水量为：
（2×8﹣3×5）÷（8﹣5）=（份）；
②进水管提前开了：
（2﹣）×8，
=8×3，
=40（分钟）．
答：出水管比进水管晚开40分钟．
【点评】虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题．因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题．

49．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100﹣90=10（级），多用了6﹣5=1（分），说明电梯1分钟走10级．由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有
（20+10）×5=150（级）．
【解答】解：①自动扶梯每分钟走
（20×5﹣15×6）÷（6﹣5），
=10÷1，
=10（级）；
②自动扶梯共有（20+10）×5=150（级）．
答：扶梯共有150级．
【点评】此题当作牛吃草问题来解决，上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度．

50．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．如果同时开放3个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失．如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？
【考点】N9：牛吃草问题．
【分析】根据题意可知，等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解．
【解答】解：旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客．
假设1个检票口1分钟检票的人数为1份．3个检票口40分钟通过（3×40）份，4个检票口25分钟通过（4×25）份，说明在（40﹣25）分钟内新来旅客（3×40﹣4×25）份，所以每分钟新来旅客是：（3×40﹣4×25）÷（40﹣25）=（份）．
那么原有旅客为：3×40﹣×40=（份）．
同时开放8个检票口，需要的时间是：
÷（8﹣）
=÷
=10（分）．
答：如果同时开放8个检票口，那么队伍10分钟恰好消失．
【点评】根据题意，把题目转换成牛吃草问题，比较容易解决此题．