2024年湖南省怀化市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①以及与有关的一些计算；②开方开不尽的数；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），根据无理数的定义逐项分析即可.
【详解】解：A.是有理数，故不符合题意；
B.是有限小数，为有理数，故不符合题意；
C.是无限循环小数，为有理数，故不符合题意；
D. 是无理数，符合题意，
故选：D
2. 下列算式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式和完全平方公式，解答时根据相关运算法则逐项判定即可．
【详解】解：A.，错误，不符合题意，
B. ，错误，不符合题意，
C. ，正确，符合题意，
D. ，错误，不符合题意．
故选：C．
3. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
4. 有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ）
A. 方差B. 中位数C. 众数D. 平均数
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可．
故选A.
考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差
5. 中汽协发布数据显示，2024年1~2月，新能源汽车产销分别完成125.2万辆和120.7万辆，同比分别增长和，市场占有率达到30%．将数据125.2万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万
故选：B
6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答．
【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意；
B将代入反比例函数得到，故B项不符合题意；
C将代入反比例函数得到，故C项不符合题意；
D将代入反比例函数得到，故D项符合题意；
故选：D．
7. 已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（ ）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整数k值为2024，
故选：C．
8. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成夹角，已知缆车速度为每分钟30米，从山脚A到山顶B需16分钟，则山的高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意得，米，
在中，，
∴米，
故选：A．
9. 如图，以直角的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边于点D，交斜边于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，用表示的面积（其它同理），则＝（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识，解答时过点G作于点H，得到，再由勾股定理求出，再推出，则问题可解
【详解】解：如图，过点G作于点H，

由尺规作图可知，为平分线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图是一把椅子侧面钢架结构的几何图形．其中的交点C是可以活动的，调整它的位置可改变坐板与靠背所成的角度（即的大小），但又始终保证坐板与水平面平行（即）．如图所示，测得，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质．利用平行线性质得到，再利用三角形的外角性质求出即可．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故选：A
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式计算即可得到答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
12. 把点先向上平移4个单位，再向左平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移与坐标与图形的变化．根据向下平移，纵坐标减，横坐标不变，向左平移，横坐标减，纵坐标不变进行求解即可．
【详解】解：根据题意，点Q的坐标是，
即．
故答案为：．
13. 因式分解：______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先结合平行线的性质证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，进而即可求解．
【详解】解：，
，
，
，即，
，
故答案为：．
15. 如图，点A，B，C都在上，，则的度数为________．
【答案】108°##108度
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理．根据“同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵点A、B、C在上，
∴．
故答案为：．
16. 从5，，0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法和点的坐标特征，注意掌握通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表得：
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，
所以该点在坐标轴上的概率，
故答案为：．
17. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式________．（要求答案为具体的数值）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，先估算出，再根据新定义得到，，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，那么在点B运动到点的过程中，线段所“扫过”的面积为________．（结果用含的式子表示）

【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了求图形扫过的扇形面积，解直角三角形，先解直角三角形得到，则，进而求出，则，再根据线段所“扫过”的面积即为扇形的面积进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∵将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C，A，在同一条直线上，
∴，
∴线段所“扫过”的面积为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】此题考查的是实数的混合运算，分别按照60°的正弦值、负指数幂的性质和零指数幂的性质，对各部分进行化简，最后合并即可．
【详解】解：原式
．
20. 如图，在四边形中，，过点C作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，若，．求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，先证明得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，即可得到，证明，得到，即可证明平行四边形是菱形．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
21. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．如图，一次函数（a为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点和点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D．求证：C，O，D三点在同一条直线上．
【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先根据题意求出C、D坐标，进而求出直线，直线的解析式即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得，解得，
∴，
把，代入中得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
证明：∵过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D，
∴，
同理可得直线解析式为，直线解析式为，
∴C，O，D三点在同一条直线上．
22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩单价各是多少？
（2）该停车场计划购买A，B两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
【答案】（1）A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，万元
（2）A，B型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，根据用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购买A型号充电桩m个，总费用为W，则购买B型号充电桩个，先根据题意列出不等式组求出m的取值范围，再求出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：A，B两种型号充电桩的单价各是1万元，万元；
【小问2详解】
解：设购买A型号充电桩m个，总费用为W，则购买B型号充电桩个，
∵购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．
∴，
解得，
，
∵，
∴W随m增大而减小，
又∵m为正整数，
∴当时，总费用最少，
∴，
答：A，B型充电桩各购买18个，8个可使购买总费用最少．
23. 基于学生数学个性发展的需要，拟开设几门数学类拓展课程，供学生自主选修．为了解学生选修课程意向，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）请根据统计图所提供的信息，直接填写答案：
①m= ，n= ；
②“E．思想方法”所对应的扇形的圆心角度数是 ；
③对选择“D．生活应用”有意向的学生人数是 ．
（2）该校共有1600名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【答案】（1）①；②36；③18；
（2）400人．
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息．
（1）①先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比=其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值；
②根据乘以E所占百分比即可求解；
③用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；
（2）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【小问1详解】
①观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，
故总人数有人，
∴，
；
故答案为：；
②；
故答案为：36；
③选D的有人，
故答案为：18
【小问2详解】
估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：人．
24. 如图，在圆内接四边形中，，，四边形的对角线，交于点E．
（1）求的度数；
（2）过点C作交的延长线于点F，若，求证：是圆的切线．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、切线的判定等知识．
（1）由，，根据等腰三角形性质，得到，则，再由圆内接四边形性质，，则；
（2）找到外接圆圆心O，连，证明为等边三角形，则由外心性质可知，再由得到，则切线可证明．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴为圆的直径，
设四边形的外接圆圆心为O，
如图，连，
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵为外接圆，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是圆的切线．
25. 已知正方形和正方形按图1所示叠放在一起，其中，，点O为和的中点．
（1）图2中正方形为图1中正方形关于直线的轴对称图形，求点D和点U的连结线段的长度；
（2）将图1中的正方形绕点O旋转，如图3所示，求运动过程中点D和点G之间距离的最大值和最小值．
【答案】（1）；
（2）点D和点G之间距离的最大值和最小值分别为和．
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系．
（1）根据正方形的性质结合勾股定理即可求解；
（2）连接，利用勾股定理求得长，推出点在以点为圆心，长为半径的圆上，当点在线段上时，取得最小值；当点在延长线上时，取得最大值；据此求解即可．
【小问1详解】
解：延长交于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，
∴，
∴点在以点为圆心，长为半径圆上，
∴当点在线段上时，取得最小值；
当点在延长线上时，取得最大值；
∵，，
∴，
如图1，
最小值为；
如图2，
取得最大值为．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
图1 图2 图3
（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标；
（2）如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时最小，求出Q点的坐标，并求出此时的周长；
（3）如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足．求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1），对称轴为直线，顶点D的坐标为；
（2）的周长的最小值为；
（3）直线恒过定点，定点坐标为．
【解析】
【分析】（1）求得点B坐标为，点C的坐标为，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解；
（2）先求得直线的解析式，再求直线与对称轴交点Q，将转化为，在中求，在中求即可求解；
（3）如图，过点D作直线垂直轴，再过点M，N分别作直线的垂线，设点M的坐标为，点N的坐标为，证明，求得，再利用待定系数法求得直线的解析式为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴对称轴为直线，顶点D的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点A与点关于直线对称，
∴直线与对称轴的交点为Q，则Q为最小时位置，
设直线的解析式为，
代入点得，解得，
∴直线的解析式为，
当，，
∴，
∵点，
∵，
，
∴的周长的最小值为；
【小问3详解】
解：如图，过点D作直线垂直轴，再过点M，N分别作直线的垂线，垂足分别为H，G，
设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵顶点D的坐标为，
∴，，
，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵点M的坐标为，点N的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
得，
∵，
∴，
将代入①得，
求得；
∴直线的解析式为，
∵，即，
∴，
∴当即时，，
∴无论为何值，直线总会经过定点，
∴直线恒过定点，定点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
5
0
5
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0
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