中考数学二轮复习冲刺第02讲 整式与因式分解【挑战中考满分模拟练】（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2022•二道区校级二模）小月去餐厅就餐，餐厅推出活动，消费每满100元减30元，已知小月消费原价为n元（300＜n＜400），则她实际付款 （n﹣90） 元．（用含n的式子表示）
【分析】先算出减了的钱，用n减去减了的钱即可．
【解答】解：∵每满100元减30元，
∴小月消费原价为n元（300＜n＜400），减了3×30＝90（元），
∴她实际付款（n﹣90）元，
故答案为：（n﹣90）．
【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
2．（2022•蜀山区校级三模）某快递公司受新一次疫情影响，4月份业务量比3月份下降了30%，由于采取了科学的防控措施，5月份疫情明显好转，该快递公司5月份业务量比4月份增长了40%，若设该快递公司3月份业务量为a，则5月份的业务量为（ ）
A．（1﹣30%+40%）aB．（30%+40%）a
C．（40%﹣30%）aD．（1﹣30%）（1+40%）a
【分析】先表示出4月份业务量是（1﹣30%）a，再根据5月份业务量比4月份增长了40%，即可列出代数式．
【解答】解：∵该快递公司3月份业务量为a，4月份业务量比3月份下降了30%，
∴4月份业务量是（1﹣30%）a，
∵5月份业务量比4月份增长了40%，
∴5月份业务量是（1+40%）（1﹣30%）a，
故选：D．
【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
3．（2022•庐阳区校级三模）某工厂2020的产值比2019的产值增长了a%，2021的产值又比2020的产值增长了a%，则2021的产值比2019增长了（ ）
A．2a%B．1+2a%C．（1+a%）•a%D．（2+a%）•a%
【分析】设2019年的产量为1，表示出2021的产值从而可表示出2021的产值，即可列出表示2021的产值比2019增长的代数式．
【解答】解：设2019年的产量为1，
∵2020的产值比2019的产值增长了a%，
∴2020的产值是1+a%，
∵2021的产值又比2020的产值增长了a%，
∴2021的产值是（1+a%）（1+a%）＝1+2a%+a%•a%，
∴2021的产值比2019增长了（1+2a%+a%•a%﹣1）÷1＝2a%+a%•a%＝（2+a%）•a%，
故选：D．
【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式．
二．代数式求值（共4小题）
4．（2022•三水区校级三模）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与x+4互为平衡数，则代数式6x2﹣3x﹣9＝ 9 ．
【分析】根据题意，2x2﹣2与x+4互为平衡数，得2x2﹣2﹣x﹣4＝0，得到2x2﹣x＝6，即可求出答案．
【解答】解：∵2x2﹣2与x+4互为平衡数，
∴2x2﹣2﹣x﹣4＝0，
∴2x2﹣x＝6，
∴6x2﹣3x＝18，
∴6x2﹣3x﹣9＝18﹣9＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
5．（2022秋•岳麓区校级月考）若a﹣2b＝3，则9﹣3a+6b的值为 0 ．
【分析】将所求代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：9﹣3a+6b
＝9﹣3（a﹣2b）
＝9﹣3×3
＝9﹣9
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将所求代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
6．（2022•章丘区模拟）若a﹣2b﹣1＝0，则24+4b﹣2a的值为 22 ．
【分析】利用等式的性质对等式变形，整体代入代数式求值即可．
【解答】解：∵a﹣2b﹣1＝0，
∴a﹣2b＝1，
∴2b﹣a＝﹣1，
∴4b﹣2a＝﹣2，
∴24+4b﹣2a
＝24﹣2
＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查了代数式的求值，做题关键是掌握等式的性质，整体代入．
7．（2022•朝阳区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．2m表示m和m相乘
B．2m的值一定比m的值大
C．2m的值一定比2大
D．2m的值随m的增大而增大
【分析】利用代数式的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵2m表示m的2倍，
∴A选项不符合题意；
∵若m＝0，则2m＝m，
∴B选项不符合题意；
∵若m比1小，2m的值小于2，
∴C选项不符合题意；
∵2m的值随m的增大而增大，
∴D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了代数式的意义，正确表述代数式的意义是解题的关键．
三．同类项（共1小题）
8．（2022•南岸区校级模拟）下列各组整式中，不是同类项的是（ ）
A．3a2b与﹣2a2bB．2xy与5yx
C．2x3y2与﹣x2y3D．5和0
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，判断即可．
【解答】解：A、3a2b与﹣2a2b所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不符合题意；
B、2xy与5yx所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不符合题意；
C、2x3y2与﹣x2y3所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合题意；
D、5和0都是常数项，所有常数项都是同类项，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
四．规律型：数字的变化类（共3小题）
9．（2022•五华区校级模拟）按一定规律排列的单项式：x，，，x7，，，…，第2022个单项式为（ ）
A．B．C．x4045D．
【分析】通过观察系数和指数的规律即可求解．
【解答】解：∵x，，，x7，，，…，
∴系数的规律为以1，，不断循环，指数的规律为2n﹣1，
∵2022÷3＝674，
∴第2022个单项式为：，
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．
10．（2022•肥东县校级模拟）观察以下等式：
第1个等式：1+
第2个等式：1+
第3个等式：1+
第4个等式：1+
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，不难得出第n个等式为：，通过对等式的左边的运算即可证明．
【解答】解：（1）第5个等式为：，
故答案为：；
（2）猜想：第n个等式为：，
证明：等式左边＝1+
＝1+
＝
＝＝右边，
故猜想成立．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
11．（2022•蜀山区校级三模）阅读理解，完成任务
发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律，如：1+3＝4；3+6＝9；6+10＝16；……；
（1）第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为 49 ；
（2）第n个“三角形数”与第（n+1）个“三角形数”的和可用下面等式表示： + ＝ （n+1）2 ，
请补全等式并说明它的正确性．
【分析】（1）分别求出第6或第7个“三角形数”，从而再求和即可；
（2）表示出第（n+1）个“三角形数”，再求和即可．
【解答】解：（1）第6个“三角形数”是：＝21，
第7个“三角形数”是：＝28，
则21+28＝49，
故答案为：49；
（2）第n个“三角形数”与第（n+1）个“三角形数”的和可用下面等式表示：＝（n+1）2，
左边＝
＝
＝n2+2n+1
＝（n+1）2＝右边．
故答案为：，，（n+1）2．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字总结出存在的规律．
五．规律型：图形的变化类（共7小题）
12．（2022•五华区校级三模）观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2022应标在（ ）
A．第505个菱形的上边B．第506个菱形的上边
C．第505个菱形的左边D．第506个菱形的右边
【分析】首先发现四个数的排列规律，然后设第n个菱形中标记的最大的数为an，观察给定图形，可找出规律“an＝4n”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：观察图形发现菱形的四个角上的数字排列规律为1为下边，2为上边，3为左边，4为右边，
∵2022÷4＝505……2，
∴2022应该在第506个菱形的上边．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据菱形顶点上标数的变化找出变化规律是解题的关键．
13．（2022•海口模拟）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出第六个“品”字形中a的值为 11 ，c的值为 75 ．
【分析】观察图中的数字发现规律：最上方的数字是连续奇数1，3，5…，左下方的数字为21，22，23…，右下方的数字＝左下方的数字+最上方的数字，据此解答即可．
【解答】解：观察已知图形中的数字间的规律为：
最上方的数字为：2n﹣1，
左下方的数字为：2n，
右下方的数字＝最上方的数字+左下方的数字，
即为2n+（2n﹣1），
∴第6个“品”字形中a的值为：2×6﹣1＝11，
b的值为：26＝64
c的值为：11+64＝75．
故答案为：11，75．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．
14．（2022•山西模拟）如图，用若干相同的小棒拼成含正五边形的图形，拼第1个图形需要5根小棒；拼第2个图形需要9根小棒；拼第3个图形需要13根小棒……按此规律，拼第n个图形需要 （4n+1） 根小棒（用含n的代数式表示）．
【分析】由题意得每个图形比前一个图形多4根小棒，可归纳出此题结果．
【解答】解：由题意得，第1个图形需要小棒根数为：5＝4×1+1；
第2个图形需要小棒根数为：9＝4×2+1；
第3个图形需要小棒根数为：13＝4×3+1；
……，
∴第n个图形需要小棒根数为：4n+1，
故答案为：4n+1．
【点评】此题考查了图形变化类规律问题的解决能力，关键是能根据图案变化观察、猜想、验证而得到此题蕴含的规律．
15．（2022•杜尔伯特县一模）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第100个图案中黑色三角形的个数为 5050 ．
【分析】根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1），即可求解．
【解答】解：由图形的变化规律知，④中黑三角的个数为1+2+3+4＝10，
ⓝ中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n＝n（n+1），
第66个图案中黑色三角形的个数为：×100×（100+1）＝5050，
故答案为：5050．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形黑色三角的个数为n（n+1）是解题的关键．
16．（2022•兴庆区校级三模）2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．第n次分形后所得图形的边数是 3×4n ．（用含n的代数式表示）
【分析】根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，••••••，可得第n次分形后所得图形的边数是3×4n，
【解答】解：第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，
第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，
…，
所以第n次分形后所得图形的边数是3×4n，
故答案为：3×4n．
【点评】此题考查图形的变化规律，解题关键是找出图形之间的联系，得出运算规律．
17．（2022•丰南区二模）如图，自左向右，水平摆放一组小球，按照以下规律排列：红球、黄球、绿球、红球、黄球、绿球…，嘉琪依次在小球上标上数字1、2、3、4、5、6…
尝试：左数第三个黄球上标的数字是 8 ；
应用：若某个小球上标的数字是100，则这个小球的颜色是 红色 ，它左边共有 33 个与它颜色相同的小球．
发现：试用含n的代数式表示左边第n个黄球所标的数字．
【分析】尝试：根据题意可以得到左数第三个黄球上标的数字；
应用：根据题意，可知，每三个球一个循环，从而可以解答本题；
发现：根据题意，可以用含n的代数式表示出左边第n个黄球所标的数字．
【解答】解：尝试：
由题意可得，左边第一个黄球的数字是2，则第三个黄球上标的数字是2+3+3＝8，
故答案为：8；
应用：∵100÷3＝33…1，
∴若某个小球上标的数字是100，则这个小球的颜色是红色，它左边共有33个与它颜色相同的小球；
故答案为：红色，33；
发现：由题意可得，
左边第一个黄球的数字是2，
左边第一个黄球的数字是2+3＝5，
左边第一个黄球的数字是2+3×2＝8，
…
则左边第n个黄球的数字是2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
即左边第n个黄球所标的数字是3n﹣1．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小球的变化规律．
18．（2022•庐阳区校级三模）在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花…由里向外依次按红、黄、紫的颜色摆放．
（1）这个鲜花图案有n层，则这n层共摆放了 （3n2+3n） 盆花（用含n的代数式表示）；
（2）如果最外层共有96盆花，则最外层花的颜色是 红色 ．请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆成的．
【分析】（1）从图形可得：第1层花的盆数是6，第2层花的盆数是12＝6×2，第3层的花的盆数是18＝6×3，…，则第n层花的盆数是6n，从而可求n层共有花的盆数；
（2）根据（1）所得的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）∵第1层花的盆数是6，
第2层花的盆数是12＝6×2，
第3层的花的盆数是18＝6×3，
…，
∴第n层花的盆数是6n，
∴n层共有花的盆数是：6+12+18+…+6n＝6×（1+2+3+…+n）＝3n（n+1）＝3n2+3n，
故答案为：（3n2+3n）；
（2）由题意得：6n＝96，
解得n＝16，
即第16层共有96盆花，
∵16÷3＝5……1，
∴第16层花的颜色是红色，
共有花的盆数是：3×162+3×16＝816（盆）．
故答案为：红色．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出第n层有6n盆花，n层共有（3n2+3n）盆花．
六．单项式（共1小题）
19．（2022•思明区校级二模）单项式x2y的次数是 3 ．
【分析】直接利用单项式的次数确定方法解答即可．
【解答】解：单项式x2y的次数是3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题的关键．要注意：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
七．整式的加减（共2小题）
20．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为 ．
【分析】根据图形给出的已知条件列出算式，进行整式加减即可得结论．
【解答】解：观察图形可得：
图3的长方形的周长30＝2（10﹣b）+2（10﹣3b），
解得b＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是观察图形正确列出算式．
21．（2022•渝北区校级模拟）有依次排列的2个整式x，y，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，称为第一次操作，得到第3个整式2x+y；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，称为第二次操作，得到第4个整式2x+3y；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，称为第三次操作，得到第5个整式6x+5y；……以此类推，下列四个说法：①第7个整式为22x+21y；②第20个整式中x的系数与y的系数的差为﹣1；③第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和等于2048；④若x＞0，y＜0，第2023次操作完成后，所有整式的和为0，则|x|＜|y|，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①按要求分别列出即可求解；
②由①，可得规律当n是奇数时，x的系数比y的系数大1，当n是偶数时，y的系数比x的系数大1，再求解即可；
③分别求出部分整式的系数和，可得第11个整式和第12个整式的系数和是211＝2048，即可求解；
④第2023次操作完成后，得到第2025个等式，奇数个整式比偶数个等式多1个，则所有x的系数和要比y的系数大1，再由所有整式的和为0，可得|x|＜|y|．
【解答】解：①第1个整式：x，
第2个整式：y，
第3个整式：2x+y，
第4个整式：2x+3y，
第5个整式：6x+5y，
第6个整式：10x+11y，
第7个整式：22x+21y，
故①符合题意；
②由①可知，当n是奇数时，x的系数比y的系数大1，当n是偶数时，y的系数比x的系数大1，
∴20个整式中x的系数与y的系数的差为﹣1，
故②符合题意；
③第1个整式和第2个整式的系数和是2，
第3个整式和第4个整式的系数和是23，
第5个整式和第6个整式的系数和是25，
……
∴第11个整式和第12个整式的系数和是211＝2048，
故③符合题意；
④第2023次操作完成后，得到第2025个等式，奇数个整式比偶数个等式多1个，
∴所有x的系数和要比y的系数大1，
∵所有整式的和为0，
∴|x|＜|y|，
故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出整式各项系数之间的关系，找到系数和的规律是解题的关键．
八．幂的乘方与积的乘方（共3小题）
22．（2022•兴庆区校级三模）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣m3）2＝﹣m5B．（mn2）3＝m3n6
C．m6﹣m3＝m2D．（﹣2）﹣2＝﹣4
【分析】利用合并同类项的法则，负整数指数幂的运算法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣m3）2＝m6，故A不符合题意；
B、（mn2）3＝m3n6，故B符合题意；
C、m6与﹣m3不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、（﹣2）﹣2＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
23．（2022•南岸区校级模拟）计算：22022•（）2022+（﹣1）﹣1＝ 0 ．
【分析】利用积的乘方的运算，以及负指数幂的运算即可求出答案．
【解答】解：
＝
＝1+（﹣1）
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查积的乘方和负指数幂的运算，解题的关键是掌握好运算法则．
24．（2022•兴庆区校级三模）若a2n＝2，则3a6n﹣1＝ 23 ．
【分析】利用幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：当a2n＝2时，
3a6n﹣1
＝3×（a2n）3﹣1
＝3×23﹣1
＝3×8﹣2
＝24﹣1
＝23．
故答案为：23．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
九．同底数幂的除法（共2小题）
25．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（ ）
A．x2•xB．x+xC．x8÷x4D．（﹣x）2
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方分别计算即可．
【解答】解：∵x2•x＝x3≠x2，故A选项不符合题意；
∵x+x＝2x≠x2，故B选项不符合题意；
∵x8÷x4＝x4≠x2，故C选项不符合题意；
∵（﹣x）2＝x2，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
26．（2022•香坊区校级三模）下列计算正确的是（ ）
A．a5÷a2＝a7B．a4•a2＝a8C．a3﹣a2＝aD．a
【分析】根据同底数幂的乘法和除法法则计算即可．
【解答】解：∵a5÷a2＝a3，故A选项不符合题意；
∵a4•a2＝a6，故B选项不符合题意；
∵a3与a2不是同类项，无法合并，故C选项不符合题意；
∵a，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，熟练掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．
一十．多项式乘多项式（共1小题）
27．（2022•湖北模拟）计算：（a﹣1）（2a+3）＝ 2a2+a﹣3 ．
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（a﹣1）（2a+3）
＝2a2+3a﹣2a﹣3
＝2a2+a﹣3，
故答案为：2a2+a﹣3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．
一十一．完全平方公式（共2小题）
28．（2022•濠江区一模）若（a+b）2＝7，ab＝2，则a2+b2＝ 3 ．
【分析】根据完全平方公式进行变形可得答案．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．
29．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．
【分析】根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算减法．
【解答】解：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）
＝x2+9﹣6x﹣（x2﹣4x+x﹣4）
＝x2+9﹣6x﹣x2+4x﹣x+4
＝﹣3x+13．
【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握整式的混合运算法则、完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
一十二．完全平方公式的几何背景（共3小题）
30．（2022•景县校级模拟）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．30B．32C．34D．36
【分析】先设A，B的边长分别是a，b，再用a，b边上阴影部分的面积求解．
【解答】解：设A的边长a，B的边长是b，则a2+b2＝34，
根据题意得：（a﹣b）2＝4，
∴a2+b2﹣2ab＝4，
∴2ab＝30，
∴乙图阴影部分的面积为：（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝30，
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，用字母表示面积是解题的关键．
31．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为 14 ．
【分析】根据长方形的面积公式可ab＝10，再根据a2+b2＝29，可求出a+b的值即可．
【解答】解：由于长方形的面积为10，长方形的边长为a和b，所以ab＝10，
∵a2+b2＝29，
∴（a+b）2﹣2ab＝29，
即（a+b）2＝29+2ab，
∴（a+b）2＝49，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝7，
∴2（a+b）＝14，
即周长为14，
故答案为：14．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
32．（2022•永康市模拟）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了 7 张．
【分析】根据各种卡片的面积，张数与面积之间的关系列出方程，根据方程的正整数解得出答案．
【解答】解：设拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，需要A，B，C三种型号的纸片a张、b张、c张，由题意得，
4a+6b+9c＝11×5，
即b＝，
又∵a、b、c为正整数，若使b最大，则a、c最小，
∴当a＝1，c＝1时，b最大，b＝7，拼图如图所示：
故答案为：7．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，根据面积之间的关系得出方程，由方程的正整数解得出答案是解决问题的关键．
一十三．平方差公式（共2小题）
33．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝ 16x4﹣1 ．
【分析】两次运用平方差公式计算即可．
【解答】解：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）
＝（4x2﹣1）（4x2+1）
＝16x4﹣1．
故答案为：16x4﹣1．
【点评】本题考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
34．（2022•北仑区校级三模）（1）计算：（a﹣1）2+（2﹣a）（a+2）；
（2）解不等式：4x+5＜3（x+1）．
【分析】（1）根据整式的混合运算法则，先计算乘法，再计算加法．
（2）根据不等式的性质解决此题．
【解答】解：（1）（a﹣1）2+（2﹣a）（a+2）
＝a2﹣2a+1+4﹣a2
＝﹣2a+5．
（2）4x+5＜3（x+1），
∴4x+5＜3x+3．
∴4x﹣3x＜3﹣5．
∴x＜﹣2．
【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式、平方差公式、解一元一次不等式，熟练掌握整式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式、解一元一次不等式是解决本题的关键．
一十四．整式的除法（共1小题）
35．（2022•固安县模拟）一个长方体体积为x2y﹣9y，长和宽是关于x的一次二项式，且长大于宽，高是y，则长是 x+3 ，宽是 x﹣3 ．
【分析】根据整式的除法求出长×宽，然后因式分解即可得出答案．
【解答】解：长×宽＝（x2y﹣9y）÷y
＝x2﹣9
＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：x+3，x﹣3．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
一十五．整式的混合运算（共1小题）
36．（2022•开福区校级三模）下列运算正确的是（ ）
A．（3a）2＝6a2B．2a2+3a3＝5a3
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝x2﹣1D．（﹣4x2+2x）÷2x＝﹣2x
【分析】选项A根据积的乘法运算法则判断即可；选项B根据合并同类项法则判断即可；选项C根据平方差公式判断即可，选项D根据多项式除以单项式的运算法则判断即可．
【解答】解：A．（3a）2＝9a2，故本选项不合题意；
B．2a2与3a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝x2﹣1，故本选项符合题意；
D．（﹣4x2+2x）÷2x＝﹣2x+1，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
一十六．整式的混合运算—化简求值（共3小题）
37．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a2+2a＝2代入化简后的式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）
＝a2﹣1+2a﹣6
＝a2+2a﹣7，
∵a2+2a﹣2＝0，
∴a2+2a＝2，
∴当a2+2a＝2时，原式＝2﹣7
＝﹣5．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
38．（2022•南关区校级模拟）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣4x（x﹣2），其中x＝﹣．
【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2﹣4x+1﹣4x2+8x
＝4x+1，
当x＝﹣时，
原式＝﹣2+1＝﹣1．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
39．（2022•朝阳区校级模拟）先化简，再求值：（m﹣2）2+4（m﹣1）+2，其中m＝．
【分析】根据整式的混合运算法则把原式化简，把m的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝m2﹣4m+4+4m﹣4+2
＝m2+2，
当m＝时，原式＝（）2+2＝5+2＝7．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
一十七．因式分解的意义（共1小题）
40．（2022•易县二模）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x+2y＝（x+y）+yB．5x2y﹣10xy2＝5xy（x﹣2y）
C．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1D．p（q+h）＝pq+ph
【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
一十八．因式分解-提公因式法（共2小题）
41．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式分解20222022﹣20222020，再根据等式的性质确定n的值．
【解答】解：∵20222022﹣20222020
＝20222020×（20222﹣1）
＝20222020×（2022+1）×（2022﹣1）
＝2023×20222020×2021，
又∵20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，
∴2023×20222020×2021＝2023×2022n×2021．
∴n＝2020．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法、平方差公式是解决本题的关键．
42．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝ ﹣6 ．
【分析】先利用因式分解把代数式变形，再整体代入数据求出代数式的值即可．
【解答】解：原式＝xy（x+y），
∵x+y＝2，xy＝﹣3，
∴原式＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了求代数式的值，做题关键是掌握因式分解．
一十九．因式分解-运用公式法（共3小题）
43．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝ （a+4）（a﹣4） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2﹣16＝（a+4）（a﹣4）．
故答案为：（a+4）（a﹣4）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
44．（2022•环江县模拟）因式分解：x2﹣2x+1的结果是（ ）
A．x（x﹣2）+1B．（x﹣1）2C．（x+1）2D．（x﹣2）（x+1）
【分析】利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
45．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2B．a2﹣4b2C．a2﹣2ab+b2D．﹣a2﹣b2
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
二十．提公因式法与公式法的综合运用（共6小题）
46．（2022•临邑县模拟）把a3﹣4a分解因式正确的是（ ）
A．a（a2﹣4）B．a（a﹣2）2
C．a（a+2）（a﹣2）D．a（a+4）（a﹣4）
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：a3﹣4a
＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
47．（2022•南岗区三模）把多项式5a2﹣10ab+5b2分解因式的结果是 5（a﹣b）2 ．
【分析】先提公因式5，再利用完全平方公式即可．
【解答】解：原式＝5（a2﹣2ab+b2）
＝5（a﹣b）2，
故答案为：5（a﹣b）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
48．（2022•南岗区校级模拟）把多项式2ab3﹣8ab分解因式的结果为 2ab（b+2）（b﹣2） ．
【分析】先提公因式2ab，再利用平方差公式即可．
【解答】解：2ab3﹣8ab＝2ab（b2﹣4）
＝2ab（b+2）（b﹣2），
故答案为：2ab（b+2）（b﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
49．（2022•雨花台区校级模拟）分解因式：2a3﹣8a2b+8ab2＝ 2a（a﹣2b）2 ．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣4ab+4b2）
＝2a（a﹣2b）2．
故答案为：2a（a﹣2b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
50．（2022•南岗区校级模拟）把多项式a2b﹣6ab2+9b3分解因式的结果是 b（a﹣3b）2 ．
【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝b（a2﹣6ab+9b2）
＝b（a﹣3b）2．
故答案为：b（a﹣3b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
51．（2022•青县二模）已知整式A＝5x2﹣9，B＝﹣x2+5，若A+B＝C．
（1）求整式C；
（2）将整式C因式分解；
（3）整式D＝﹣7﹣4x，比较整式C和整式D的大小．
【分析】（1）把A与B代入A+B＝C中，合并即可确定出C；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用作差法比较C与D大小即可．
【解答】解：（1）∵A＝5x2﹣9，B＝﹣x2+5，
∴C＝A+B＝5x2﹣9﹣x2+5＝4x2﹣4；
（2）C＝4x2﹣4＝4（x2﹣1）＝4（x+1）（x﹣1）；
（3）∵C﹣D＝4x2﹣4﹣（﹣7﹣4x）
＝4x2﹣4+7+4x
＝4（x+）2+2＞0，
∴C＞D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及整式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二十一．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
52．（2022•蜀山区校级三模）下列因式分解中，错误的是（ ）
A．2x2﹣x＝x（2x﹣1）B．y2﹣x2＝（x+y）（y﹣x）
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2D．x2+x+＝（x+）2
【分析】根据提取公因式和公式法分别进行因式分解即可．
【解答】解：∵2x2﹣x＝x（2x﹣1），
故A选项不符合题意；
∵y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），
故B选项不符合题意；
∵x2﹣2x+4不能因式分解，
故C选项符合题意；
∵x2+x+＝（x+）2，
故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
二十二．因式分解的应用（共8小题）
53．（2022•小店区校级模拟）若a+b＝2，则a2+2ab+b2﹣6的值为 ﹣2 ．
【分析】把代数式因式分解，再把已知等式整体代入，求出代数式的值．
【解答】解：原式＝（a+b）2﹣6，
∵a+b＝2，
∴原式＝22﹣6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了代数式求值，因式分解，做题关键是掌握因式分解，整体代入求代数式的值．
54．（2022•景县校级模拟）对于m，n，定义：若m+n＝2，则称m与n是关于1的“对称数”．
（1）填空：7与 ﹣5 是关于1的“对称数”；2x+5与 ﹣2x﹣3 是关于1的“对称数”；
（2）已知A＝（x+a）（x﹣2），B＝﹣x2﹣4x+b，其中a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，求a，b的值；
（3）若C＝﹣x2+6x，D＝4x2﹣7，且C与D是关于1的“对称数”，求满足条件的x的值．
【分析】（1）根据关于1的“对称数”的定义求解即可；
（2）根据A与B是关于1的“对称数”，可得（x+a）（x﹣2）+（﹣x2﹣4x+b）＝2，再根据a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，可得a﹣6＝0，﹣2a+b＝2，进一步求解即可；
（3）根据C与D是关于1的“对称数”，可得﹣x2+6x+4x2﹣7＝2，进一步解方程即可．
【解答】解：（1）根据关于1的“对称数”的定义，
得2﹣7＝﹣5，2﹣（2x+5）＝﹣2x﹣3，
故答案为：﹣5，﹣2x﹣3；
（2）根据题意，得A+B＝2，
即（x+a）（x﹣2）+（﹣x2﹣4x+b）＝2，
∴x2﹣2x+ax﹣2a﹣x2﹣4x+b＝2，
整理得（a﹣6）x﹣2a+b＝2，
∵a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于1的“对称数”，
∴a﹣6＝0，﹣2a+b＝2，
解得a＝6，b＝14；
（3）∵C与D是关于1的“对称数”，
∴﹣x2+6x+4x2﹣7＝2，
整理，得x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴满足条件的x值为﹣3或1．
【点评】本题考查了新定义，因式分解的应用等，理解新定义并灵活运用是解题的关键．
55．（2022•长丰县校级模拟）已知实数a，b，c满足：4a+4b+c＝0，4a﹣4b+c＞0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣4ac≥0B．b＞0，b2﹣ac≤0
C．b＜0，b2﹣4ac≤0D．b＜0，b2﹣ac≥0
【分析】利用等式的性质，不等式的性质，可得到b与0的关系，排除法，排除A、B，再利用因式分解，配方法，判断C、D中正确的．
【解答】解：∵4a+4b+c＝0，4a﹣4b+c＞0，
∴c＝﹣4（a+b），b＝，
4a﹣4b﹣4（a+b）＞0，
﹣8b＞0，即b＜0，
∴A、B选项错误；
b2﹣4ac＝（）2﹣4ac
＝﹣4ac
＝
＝
＝，
不能确定b2﹣4ac与0的大小关系，
∴C选项错误；
b2﹣ac＝（）2﹣ac
＝﹣ac
＝
＝
＝≥0
∴D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，不等式，做题的关键是掌握因式分解，不等式的性质．
56．（2022•红花岗区模拟）同号两实数a，b满足a2+b2＝4﹣2ab，若a﹣b为整数，则ab的值为（ ）
A．1或B．1或C．2或D．2或
【分析】先将a2+b2＝4﹣2ab变形为（a+b）2＝4，然后把a﹣b用含a+b的式子表示出来，再根据a﹣b为整数进行讨论后得出ab的值．
【解答】解：∵a2+b2＝4﹣2ab，
∴（a+b）2＝4，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4ab≥0，
∴ab≤1，
∵ab＞0，
∴0＜ab≤1．
∴0≤4﹣4ab＜4．
∵a﹣b为整数，
∴4﹣4ab为平方数．
∴4﹣4ab＝1或0，
解得ab＝或1；
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方式的应用，灵活运用完全平方和公式与完全平方差公式的互换是解题的关键．
57．（2022•南岸区校级模拟）两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则成这两个多位数互为“友好数”．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是3+7，8+2，∵3+7＝8+2＝10，∴37和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是1+2+3，5+1，∵1+2+3＝5+1＝6，∴123和51互为“友好数”．
（1）直接写出103的所有两位数的“友好数”；
（2）若两个不同的三位数m＝100a+40+b、n＝200+10c（1≤a≤5，0≤b≤5，0≤c≤9，且a、b、c为整数）互为友好数，且m﹣n是11的倍数，记P＝，求P的所有值．
【分析】（1）根据新定义进行解答便可；
（2）根据新定义列出a、b、c的方程，得a+b＝c﹣2，m﹣n是11的倍数，得是整数，从而求得c的值，进而求得a、b的值，便可求得结果．
【解答】解：（1）∵1+0+4＝4，1+3＝4，2+2＝4，3+1＝4，4+0＝4，
∴103的所有两位数的“友好数”为13、22、31、40；
（2）∵m＝100a+40+b、n＝200+10c，
∴a+b＝c﹣2，
∵m﹣n是11的倍数，
∴100a+40+b﹣200﹣10c是11的倍数，
即100a+b﹣10c﹣160是11的倍数，
∴＝9﹣c+4+为整数，
∴是整数，
∵a+b＝c﹣2，
∴是整数，
∵0≤c≤9，c为整数，
∴﹣8≤2c﹣8≤10，c为整数，
∴2c﹣8＝0，
∴c＝4，
∴a+b＝c﹣2＝2，
∵1≤a≤5，0≤b≤5，且a、b为整数，
∴a＝1，b＝1或a＝2，b＝0，
∴m＝141或240，n＝240，
∵m、n为两个不同的三位数，
∴m＝141，n＝240，
∴P＝＝．
即P＝﹣9．
【点评】本题主要考查了新定义，整除的问题，关键是读懂题意，应用新定义解决问题．
58．（2022•新洲区校级模拟）解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值是（ ）
A．1+B．1﹣C．3+D．3﹣
【分析】首先解方程x2﹣x﹣1＝0，然后利用整体代值的思想把x2换成x+1，多次代入即可求解．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，x＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴x4﹣2x3+3x
＝x2•x2﹣2x•x2+3x
＝（x+1）2﹣2x（x+1）+3x
＝﹣x2+3x+1
＝﹣x﹣1+3x+1
＝2×
＝1+．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分解因式的实际运用，同时也考查了解一元二次方程，有一定的综合性．
59．（2022•渝北区校级模拟）一个四位自然数m，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个位数字的差等于4，则称这个四位自然数m为“青年数”．“青年数”m的千位数字与百位数字的和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P（m）；“青年数”m的千位数字与4的差记为Q（m），令F（m）＝．
例如：∵对7240，7﹣2＝5，4﹣0＝4，∴7240是“青年数”．
∵P（7240）＝2×（7+2）+4+0＝22，Q（7240）＝7﹣4＝3，
∴F（7240）＝＝．
又如：∵对5093，5﹣0＝5，但9﹣3≠4，∴5093不是“青年数”．
（1）请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的F（m）的值；
（2）若一个“青年数”m，当F（m）能被10整除时，求出所有满足条件的m．
【分析】（1）根据题中的定义进行判断；
（2）根据题意列方程，再根据10倍，20倍，30倍进行讨论，求出满足条件的整数解．
【解答】解：（1）7240不是“青年数”，9462是“青年数”，
理由：∵对5093，5﹣0＝5，9﹣3＝6≠4，
∴7240不是“青年数”；
∵对9462，9﹣4＝5，6﹣2＝4，
∴9462是“青年数”，
∵P（9462）＝2×（9+4）+6+2＝34，Q（9462）＝9﹣4＝5，
∴F（9462）＝＝；
（2）设“青年数”m的千位数是a，十位数是b，则m的百位数是a﹣5，个位数是b﹣4，（5≤a≤9，4≤b≤9），
则P（m）＝2（a+a﹣5）+b+b﹣4＝4a+3b﹣14，
Q（m）＝a﹣4，
∵F（m）能被10整除，
当P（m）＝10Q（m），有4a+3b﹣14＝10（a﹣4），
解得：a＝6，b＝5，或者a＝7，b＝8，
∴m＝6151或m＝7284；
当P（m）＝20Q（m），有4a+3b﹣14＝20（a﹣4），
解得：a＝5，b＝7，
∴m＝5073；
∴所有满足条件的m值为：6151或7284或5073．
【点评】本题考查了因式分解的应用，求整数解是解题的关键．
60．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“欢乐分解”．
例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．
又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．
（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令G（M）＝，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
【分析】（1）读懂题意，按照题目给出的新定义，先因式分解，再判断即可；
（2）设A的十位数为a，个位数为b，则B为10a+8﹣b，根据G（M）能被8整除求出a的可能的值，再由a的值求出b的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵195＝13×15，13、15的十位数字相同，个位数字之和为8，
∴195是“团圆数”．
∵621＝23×27，23与27的十位数字相同，但个位数字和不等于8，
∴621不是“团圆数”．
（2）设A＝10a+b，则B＝10a+8﹣b，
∴A+B＝20a+8，|A﹣B|＝|2b﹣8|，
∵G（M）＝＝能被8整除，
∴＝8k，k为整数，
∴5a+2＝（|b﹣4|）4k，
∴5a+2是4的倍数，
∴满足条件的a有2，6，
若a＝2，则 ＝8k，k为整数，
∴＝k，
∴|b﹣4|是3的因数，
∴b﹣4＝﹣3，﹣1，1，3，
∴满足条件的b有1，3，5，7，
∴A＝21，B＝27或A＝23，B＝25或A＝25，B＝23或A＝27，B＝21，
∴A×B＝567或575，
若a＝6，则 ＝8k，k为整数，
∴＝k，
∴|b﹣4|是8的因数，
∴b﹣4＝﹣8，﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，8，
∴满足条件的b有2，3，5，6，
∴A＝62，B＝66或A＝63，B＝65或A＝65，B＝63或A＝66，B＝62，
∴A×B＝62×66＝4092或4095，
综上，M的值为567或575或4092或4095．
【点评】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“团圆数”含义，能把A和B用含a和b的式子表示出来．
三角形数
古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、...这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数“可表示为：1+2+3+...+n＝.