2024天津河东区高三下学期一模考试数学含解析

这是一份2024天津河东区高三下学期一模考试数学含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．
1. 已知集合，则为（ ）
A. B. C. D.
2. 命题，命题不都为0，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
3. 如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C D.
4. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款，某地统计了近五年来查处的酒后驾车和醉酒驾车共200人，如图，这是对这200人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A. 在酒后驾车的驾驶人中醉酒驾车比例不高因此危害不大
B. 在频率分布直方图中每个柱的高度代表区间内人数的频率
C. 根据频率分布直方图可知200人中醉酒驾车的约有30人
D. 这200人酒后驾车血液中酒精含量的平均值约为
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于两点，抛物线焦点为，的面积为4，则的长度为（ ）
A. 2B. C. D.
7. 关于函数，下列结论正确的为（ ）
A. 的最小正周期为B. 是的对称中心
C. 当时，的最小值为0D. 当时，单调递增
8. 庑殿（图1）是古代传统建筑中的一种屋顶形式.宋称为“五脊殿”、“吴殿”，庑殿建筑是房屋建筑中等级最高的一种建筑形式，多用作宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上.学生小明在参观文庙时发现了这一建筑形式，将其抽象为几何体，如图2，其中底面为矩形，，则该几何体的体积为（ ）
A. 512B. 384C. D.
9. 已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（ ）
①；②在上是单调函数；
③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
10. 是复数单位，化简结果为______．
11. 在二项展开式中，常数项是______．（用数字作答）
12. 已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为______.
13. 某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为______；任找两个人，则小明有血可以输的概率为______．
14. 若，则的最小值为______．
15. 已知，如图所示，点为中点，点满足，记，用表示______；当时______．
三、解答题：本题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在三角形中，角所对的边分别为．已知，．
（1）求角的大小；
（2）求值；
（3）求边的值．
17. 在正方体中（如图所示），边长为2，连接
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由．
18. 已知椭圆的离心率为，点到椭圆右焦点距离等于焦距.
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点斜率为直线与椭圆交于两点，且与轴交于点，线段的垂直平分线与轴，轴分别交于点，点为坐标原点，求的值.
19. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）数列的前项和分别为；
（ⅰ）证明；
（ⅱ）求．
20. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的最小值；
（3）函数，证明：．
血型
A
B
AB
O
该血型的人占比
2024年河东区高考第一次模拟考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．
1. 已知集合，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出绝对值方程，得到，再根据交集和补集的含义即可.
【详解】令，解得；令，解得；令，解得.
则，
则，则
故选：B.
2. 命题，命题不都为0，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】故不都为0，得到答案.
【详解】故不都为0，
故是的充要条件.
故选：A
3. 如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据有界性可排除C，根据4处的函数值不超过5，可判断B.
【详解】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数，
对于A，，故函数为偶函数，不符合，
对于B, ，
根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合，
对于C，由于，显然不符合，
故选：D
4. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款，某地统计了近五年来查处的酒后驾车和醉酒驾车共200人，如图，这是对这200人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A. 在酒后驾车的驾驶人中醉酒驾车比例不高因此危害不大
B. 在频率分布直方图中每个柱的高度代表区间内人数的频率
C. 根据频率分布直方图可知200人中醉酒驾车的约有30人
D. 这200人酒后驾车血液中酒精含量的平均值约为
【答案】C
【解析】
【分析】利用频率分布直方图的实际意义，对各选项逐一分析判断即可得解.
【详解】对于A，不管酒驾的比例高不高，其危害都大，故A错误；
对于B，在频率分布直方图中，每个柱的高度代表区间内的频率/组距这一数值，故B错误；
对于C，血液酒精浓度在（含80）以上时，属醉酒驾车，
所以这200人中醉酒驾车的约有，故C正确；
对于D，这200人酒后驾车血液中酒精含量的平均值约为
，故D错误.
故选：C.
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.
【详解】，
故,
故选：A
6. 已知等轴双曲线的渐近线与抛物线的准线交于两点，抛物线焦点为，的面积为4，则的长度为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，联立方程组，求得的坐标，结合题意，列出方程求得，进而求得长度，得到答案.
【详解】由题意，等轴双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
联立方程组，解得，可得，同理可得，
因为的面积为4，可得，解得，
则.
故选：D.
7. 关于函数，下列结论正确的为（ ）
A. 的最小正周期为B. 是的对称中心
C. 当时，的最小值为0D. 当时，单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】利用正切函数的最小正周期的计算方法判断A，利用对称中心的计算方法判断B，举反例判断C，D即可.
【详解】对于A，易知，则的最小正周期为，故A错误，
对于B，易知，，解得，，当时，，
此时对称中心为，故B正确，
对于C，当时，，故的最小值不为0，故C错误，
对于D，易知，，故当时，并非单调递增，故D错误.
故选：B
8. 庑殿（图1）是古代传统建筑中的一种屋顶形式.宋称为“五脊殿”、“吴殿”，庑殿建筑是房屋建筑中等级最高的一种建筑形式，多用作宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上.学生小明在参观文庙时发现了这一建筑形式，将其抽象为几何体，如图2，其中底面为矩形，，则该几何体的体积为（ ）
A. 512B. 384C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰梯形以及等腰三角形的性质，利用勾股定理求解长度，利用体积公式求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，
【详解】因为，，所以，
由，
得四边形，四边形均为等腰梯形，
过作于，作于，连接，
过作于，作于，连接，
所以，，，
因为，，所以，
又，，在平面内，，
所以平面，同理，平面，所以平面平面，
所以该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥．
分别取，的中点，，连接，，
因为，所以，，
所以，
，
连接，交于，则为的中点，连接，
因为平面，在平面内，所以，
因为，所以，
又，在平面内，，所以平面，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以该几何体的体积为，
故选：D
9. 已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（ ）
①；②在上是单调函数；
③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数性质分析求出,根据复合函数的单调性，即可判断①，结合导数判断函数单调性即可判断②，根据函数的单调性即可求解最值判断③,根据函数的最值即可判断④.
【详解】函数是偶函数，
则有，
即，
，①正确；
则，
设，由于，易知在上单调递增，则，
所以在上为增函数，
而为增函数，则在上是单调函数，②正确；
，当且仅当时，等号成立，
则的最小值为，③正确；
为偶函数且在上为增函数，其最小值为，
由于，所以，故方程没有实数根；④错误．
故选：C．
二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
10. 是复数单位，化简的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算即可求解.
【详解】，
故答案为：
11. 在的二项展开式中，常数项是______．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】求出的二项展开式的通式即可求解.
【详解】因为的二项展开式的通式为，
令，所以，所以常数项是.
故答案为：.
12. 已知过点的直线（不过原点）与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则的值为______.
【答案】18
【解析】
【分析】确定直线的方程，根据直线和圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列式求解，即得答案.
【详解】由题意知过点的直线（不过原点）在轴、轴上的截距相等，
设该直线方程为，将代入得，即直线方程为，
由于该直线与相切，圆心为，半径为，
故，
故答案为：18
13. 某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为______；任找两个人，则小明有血可以输的概率为______．
【答案】 ①. 0.7 ②. 0.91
【解析】
【分析】根据互斥事件概率加法公式即可求解空1，根据相互独立事件的概率乘法公式即可求空2.
【详解】由于小明是B型血，所以可以血型为O,B的可以给小明输血，故概率为，
小明是B型血，两个人都不可以给小明输血的概率为，
所以任找两个人，则小明有血可以输的概率为，
故答案为：0.7；0.91
14. 若，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由，
故
，当且仅当时等号成立，
故最小值为4，
故答案为：4
15. 已知，如图所示，点为中点，点满足，记，用表示______；当时______．
【答案】 ①. ②. 3
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算计算即可得；利用转化法求.
【详解】,
由题意，为等腰三角形，则，，
所以
.
故答案为：；3
三、解答题：本题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在三角形中，角所对的边分别为．已知，．
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求边的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求出，故，根据大边对大角，得到为锐角，求出；
（2）由二倍角公式得到，进而利用和角公式求出答案；
（3）由余弦定理求出.
【小问1详解】
因为，，，解得，
由已知，，
又，故，
故，解得；
【小问2详解】
，，
；
【小问3详解】
由得，
整理为，解得或（舍）.
17. 在正方体中（如图所示），边长为2，连接
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，3.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，得到平行关系；
（2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；
（3）设，且，利用线面角的正弦值得到方程，求出或，求出.
【小问1详解】
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则．
平面的法向量为，
，令，则，
，
平面；
【小问2详解】
平面法向量为，
，令，则，
平面与平面夹角为，
；
【小问3详解】
设，且，
与平面所成角，
，
即，
解得或，故或，
所以.
18. 已知椭圆的离心率为，点到椭圆右焦点距离等于焦距.
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点斜率为的直线与椭圆交于两点，且与轴交于点，线段的垂直平分线与轴，轴分别交于点，点为坐标原点，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两点距离和离心率求解，即可求解椭圆方程；
（2）设方程，与椭圆联立，韦达定理，求出中垂线方程，进而求得点的坐标，利用面积关系列式求解即可.
【小问1详解】
由已知，解得，又，所以，
由，所以，所以椭圆方程为；
【小问2详解】
设所在直线方程为，
联立得，
得到，，所以，
记的中点为，则，所以中垂线，
所以，，所以，
又，则，
因为，所以，解为或（舍），解得.
19. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）数列的前项和分别为；
（ⅰ）证明；
（ⅱ）求．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得的值，即可求解；
（2）（ⅰ）由（1）求得，结合裂项法求和，即可得证；
（ⅰⅰ）由（1）求得，结合错位相减法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，，
因为，可得，解得，
又因为，可得，
又由且，可得，解得（负值舍去），
所以.
【小问2详解】
（ⅰ）证明：由，可得，
所以，
则.
（ⅰⅰ）解：由，可得，
则
，
可得，
则，
两式相减得，
，
所以，即
【点睛】关键点点睛：本题第2问（ⅱ）解决的关键是，通过观察计算发现的结果满足错位相减法的要求，从而得解.
20. 已知函数．
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求函数的最小值；
（3）函数，证明：．
【答案】（1）；
（2）0； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，求得，即可求得切线方程；
（2）利用导数判断的单调性，即可求得函数最小值；
（3）由，求得与的关系；对目标不等式分离参数，构造函数求得其最大值；再结合关系，即可证明.
【小问1详解】
，，切线斜率为
故切线方程为，即.
【小问2详解】
，令，可得，
当，；，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数的最小值.
【小问3详解】
，由①
欲证明，只需要，
令，
令
在区间上单调递增，则，故；
则在区间上单调递增，只需证明，
由①可知，
由（2）可知，
只需证明，
化简为：成立即可，令，
则在区间上单调递增，
故，所以得证.
【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是：对目标式分离参数，转化为求解的最大值，结合关系，消去参数后，构造函数，进而利用导数求其最小值即可证明.
血型
A
B
AB
O
该血型的人占比