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吉林省通化市梅河口市第五中学2024届高三下学期一模数学试题（Word版附答案）
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这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2024届高三下学期一模数学试题（Word版附答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是
A．9 B．8 C．7 D．4
2．已知向量满足，则a(a-b)的值为
A．4B．3C．2D．0
3．已知，，，则
A．B．
C．D．
4．已知椭圆G：，A,B为G的短轴端点，P为G上异于A,B的一点，则直线AP,BP的斜率之积为
A． B．
C． D．
5．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的
视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，
每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力的视标边长约为10cm，则视力的视标边长约为
A．B．
C．D．
6. 辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（ ）
A. 14.4B. 9.6C. 24D. 48
7. 已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数满足，则（ ）
A. 10000B. 10082C. 10100D. 10302
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
10. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位
C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位
11. 已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A. 当点为直线与轴的交点时，直线经过点
B. 当为等边三角形时，点的坐标为
C. 的取值范围是
D. 的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______.
13. 在的展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答）
14. 已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
16. 如图，三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，点满足，求二面角的大小．
17. 如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 已知抛物线焦点为，其准线与轴交于点，过点的直线与交于两点（点在点的左侧）.
（1）若点是线段的中点，求点的坐标；
（2）若直线与交于点，记内切的半径为，求的取值范围.
19. 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时；
①证明有唯一极值点；
②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论．
1-8 DCBCA ADC 9 BD 10ACD 11ABC 12 0 13 -3 14
15 （1）
2 证明：由题意知，
故
，
由于，则，故，
即.
16 过作于点，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
（2）
17 证明：如图，设的中点为，连接.
∵为的中点，
∴且.
又为的中点，且四边形是平行四边形，
∴且
∴四边形为平行四边形.
∴.
又∵平面平面，
∴平面.
（2）.
18 （1）或
（2）
19
1 由可得
，
令，则；
又，，所以，即恒成立；
即函数在上单调递减，
又，所以，
可得恒成立，因此函数在上单调递减，
即当时，函数在上单调递减；
2 当时，
①由（1）可知
令，可得,
易知当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
即函数在处取得极大值，也是最大值；
注意到，由单调性可得，可知在大于零，
不妨取，则；
由零点存在定理可知存在唯一变号零点，
所以存在唯一变号零点满足，
由单调性可得，当时，，当时，；
即可得函数在上单调递增，在单调递减；
所以有唯一极大值点；
②记的唯一极值点为，即可得
由可得，
即可得的反函数，
令,，则，
构造函数，则，
显然在恒成立，所以在上单调递增，
因此，即在上恒成立，
而，即，所以在上恒成立，
即可得在上恒成立，因此在单调递增；
易知函数与其反函数有相同的单调性，所以函数在上单调递增；
1．从某班所有同学中随机抽取10人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，这组数据的众数是
A．9 B．8 C．7 D．4
2．已知向量满足，则a(a-b)的值为
A．4B．3C．2D．0
3．已知，，，则
A．B．
C．D．
4．已知椭圆G：，A,B为G的短轴端点，P为G上异于A,B的一点，则直线AP,BP的斜率之积为
A． B．
C． D．
5．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的
视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，
每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力的视标边长约为10cm，则视力的视标边长约为
A．B．
C．D．
6. 辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（ ）
A. 14.4B. 9.6C. 24D. 48
7. 已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数满足，则（ ）
A. 10000B. 10082C. 10100D. 10302
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
10. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位
C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位
11. 已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A. 当点为直线与轴的交点时，直线经过点
B. 当为等边三角形时，点的坐标为
C. 的取值范围是
D. 的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为______.
13. 在的展开式中，含的项的系数是______.（用数字作答）
14. 已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
16. 如图，三棱锥中，平面平面，且，．
（1）证明：平面；
（2）若，点满足，求二面角的大小．
17. 如图，平行六面体中，分别为的中点，在上.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求平面与平面的夹角的余弦值.
18. 已知抛物线焦点为，其准线与轴交于点，过点的直线与交于两点（点在点的左侧）.
（1）若点是线段的中点，求点的坐标；
（2）若直线与交于点，记内切的半径为，求的取值范围.
19. 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时；
①证明有唯一极值点；
②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论．
1-8 DCBCA ADC 9 BD 10ACD 11ABC 12 0 13 -3 14
15 （1）
2 证明：由题意知，
故
，
由于，则，故，
即.
16 过作于点，平面平面，且平面平面，平面，
故平面．又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
（2）
17 证明：如图，设的中点为，连接.
∵为的中点，
∴且.
又为的中点，且四边形是平行四边形，
∴且
∴四边形为平行四边形.
∴.
又∵平面平面，
∴平面.
（2）.
18 （1）或
（2）
19
1 由可得
，
令，则；
又，，所以，即恒成立；
即函数在上单调递减，
又，所以，
可得恒成立，因此函数在上单调递减，
即当时，函数在上单调递减；
2 当时，
①由（1）可知
令，可得,
易知当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
即函数在处取得极大值，也是最大值；
注意到，由单调性可得，可知在大于零，
不妨取，则；
由零点存在定理可知存在唯一变号零点，
所以存在唯一变号零点满足，
由单调性可得，当时，，当时，；
即可得函数在上单调递增，在单调递减；
所以有唯一极大值点；
②记的唯一极值点为，即可得
由可得，
即可得的反函数，
令,，则，
构造函数，则，
显然在恒成立，所以在上单调递增，
因此，即在上恒成立，
而，即，所以在上恒成立，
即可得在上恒成立，因此在单调递增；
易知函数与其反函数有相同的单调性，所以函数在上单调递增；
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