北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项22二次函数解析式的方法归类(4种类型)(原卷版+解析)

这是一份北师大版九年级数学全册高分突破必练专题专项22二次函数解析式的方法归类(4种类型)(原卷版+解析)，共20页。

类型一：待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）
已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。
（2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
类型二：运用几何图形性质求抛物线解析式
确定解析式的形式，设出解析式的表达式；
代入解析式中，形成关于待定系数的方程或方程组；
解方程或方程组，求出相应的待定系数；
然后回代所设的解析式中即可。
【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
【变式1-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。求该二次函数的解析式
【变式1-2】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．
【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.
【变式2-1】已知抛物线的顶点为 (−2，−4) ，且经过点 (1，12) ，求此抛物线的解析式．
【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．
【变式3-1】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式
【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，求抛物线的解析式。
【变式4】已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．
【典例5】（2020秋•郫都区期末）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为 ．
【变式5】（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
【典例6】（2021秋•海珠区校级期中）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
【变式6】（2021•安徽模拟）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
1．抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 (2,4) ，且过点 (1,2) ，求抛物线的解析式.
2．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(-1，0)，(0，5)两点，求此二次函数的解析式．
5.已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式．
3.已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．
4.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．
5．抛物线过点(9，0)、(5，16)、(1，0)，求二次函数解析式，并画出函数图象.
6.（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
7.如图所示．三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4m（即NC=4m），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．
8.如图，用长为 6 m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为 xm ，窗户的透光面积为 ym2 （铝合金条的宽度不计）．
（Ⅰ）求出 y 与 x 的函数关系式；
（Ⅱ）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
专项22 二次函数解析式的方法归类（4种类型）
类型一：待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）
已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。
（2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
类型二：运用几何图形性质求抛物线解析式
确定解析式的形式，设出解析式的表达式；
代入解析式中，形成关于待定系数的方程或方程组；
解方程或方程组，求出相应的待定系数；
然后回代所设的解析式中即可。
【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．
【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得
a+b+c=0c=−54a+2b+c=3
解得 a=−1b=6c=−5
所以，所求函数的解析式为 y=−x2+6x−5 ．
y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4 ．
所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），
对称轴为直线x = 3．
【变式1-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。求该二次函数的解析式
【答案】解：根据题意，得 0=1+b+c−3=c
解得 b=2c=−3
所以所求的二次函数的解析式为y=x2+2x-3
【变式1-2】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．
【答案】解：设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c ．
∵抛物线经过 A(0,0) ， B(1,9) ， C(−1,−1) ，
∴c=0a+b+c=9a−b+c=−1 ，解得 a=4b=5c=0 ，
∴y=4x2+5x
【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.
【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，
解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4
【变式2-1】已知抛物线的顶点为 (−2，−4) ，且经过点 (1，12) ，求此抛物线的解析式．
【答案】解：∵二次函数的图象的顶点为（﹣2，﹣4），
∴可设函数解析式为：y＝a（x+2）2﹣4，
∵函数图象经过点（1， 12 ）
∴a×9﹣4＝ 12 ，
∴a=12 ，
∴二次函数的表达式为： y=12(x+2)2−4 ．
【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．
【答案】解：由题意可设二次函数的解析式为： y=a(x+1)(x−3)
将C（0，﹣3）代入得： −3=a(0+1)(0−3)
解得a=1
∴y=(x+1)(x-3)= x2−2x−3
∴此二次函数的解析式为： y=x2−2x−3 .
【变式3-1】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式
【答案】解：依题意，设函数的解析式为 y=a(x+3)(x−1)(a≠0)
将点 (0,−3) 代入，得 −3=−3a
∴a=1
∴所求函数解析式为 y=(x+3)(x−1) ，即 y=x2+2x−3
【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，求抛物线的解析式。
【答案】解：∵对称轴是x= −b2a =-3，a=1，
∴b=6
又∵抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，
∴(-4)2+6×(-4)+c=-3，解得c=5
∴抛物线的解析式为y=x2+6x+5
【变式4】已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．
【答案】解：由题意得， a−b−1=2−b2a=−1 ，
解得， a=−3b=−6 ，
则抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1。
【典例5】（2020秋•郫都区期末）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为 ．
【答案】y＝﹣x2
【解答】解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意知B（6，﹣4），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将点B（6，﹣4）代入，得：﹣4＝36a，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2．
【变式5】（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
【答案】：y＝x2﹣100．
【解答】解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），
设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，
则0＝62500a﹣100，
解得：a＝，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．
故答案为：y＝x2﹣100．
【典例6】（2021秋•海珠区校级期中）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
【答案】（1）y＝﹣（x﹣6）2+10（2）能安全通过
【解答】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，
将点B（0，4）代入，得：36a+10＝4，
解得：a＝﹣，
故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10；
（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞6，
∴这辆货车能安全通过．
【变式6】（2021•安徽模拟）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
【答案】（1） （2）2.29 m
【解答】解：（1）如图②中，A（﹣4，0），C（0，4），
设抛物线解析式为y＝ax2+k，
由题意，得，
解得：，
∴抛物线表达式为．
（2）2+＝2.2，
当x＝2.2时，y＝﹣×2.22+4＝2.79，
当y＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29 （m）．
1．抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 (2,4) ，且过点 (1,2) ，求抛物线的解析式.
【答案】解：由抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 (2,4) ，且过点 (1,2) ，
可设抛物线为： y=a(x−2)2+4 ，
把（1，2）代入得：2=a+4，解得：a=-2，
所以抛物线为： y=−2(x−2)2+4 ，
即 y=−2x2+8x−4 .
2．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(-1，0)，(0，5)两点，求此二次函数的解析式．
【答案】解：把(-1，0)，(0，5)代入y=-x2+bx+c，
得 −1−b+c=0c=5
解得 b=4c=5
所以二次函数的解析式为y=-x2+4x+5
5.已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+b将A，B点坐标带入得，
0=4a+b，6=a+b，
解得a=-2，b=8，
则y=-2(x-1)²+8.
3.已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．
【答案】解：由题意可设二次函数的解析式为： y=a(x+1)(x−3)
将C（0，﹣3）代入得： −3=a(0+1)(0−3)
解得a=1
∴y=(x+1)(x-3)= x2−2x−3
∴此二次函数的解析式为： y=x2−2x−3 .
4.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．
【答案】解：由题意得， a−b−1=2−b2a=−1 ，
解得， a=−3b=−6 ，
则抛物线的解析式为y=-3x2-6x-1。
5．抛物线过点(9，0)、(5，16)、(1，0)，求二次函数解析式，并画出函数图象.
【答案】解： ∵ 抛物线经过点(9，0)、(1，0)
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=9+12=5
又 ∵ 抛物线过点(5，16)
∴ 点(5，16)即为抛物线的顶点
∴ 可设二次函数的解析式为： y=a(x−5)2+16
把点(1，0)代入得： 0=a(1−5)2+16
解得： a=−1
∴ 二次函数的解析式为： y=−(x−5)2+16
列表如下：
图象如下：
6.（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【答案】（1） y=−0.2x2+3.5 . （2）0.2m.
【解答】（1）解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝a x2 +3.5，
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）.
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为 y=−0.2x2+3.5 .
（2）解：设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为（1）中求得 y=−0.2x2+3.5 ，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，
∴h+2.05＝﹣0.2× (−2.5)2 +3.5，
∴h＝0.2（m）.
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m.
7.如图所示．三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4m（即NC=4m），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．
【答案】（1）y=−625x2+6 （2）能安全通过 （3）1033(m)
【答案】（1）解：设大孔抛物线的解析式为y＝ax2＋6，把点A（−5，0）代入解析式解得，
(−5)2a+6=0，
解得：a=−625，
∴函数解析式为y=−625x2+6
（2）解：把x=2代入函数解析式y=−625x2+6得：
y=−625×22+6=5124，
∵4.5+0.5=5＜5124，
∴这艘船在正常水位时，能安全通过拱桥大孔
（3）解：∵NC=4，
∴把y=4代入y=−625x2+6得：4=−625x2+6，
解得：x=±533，
∴E、F两个点的横坐标分别为：−533，533，
当水位上涨到刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度EF为：533−(−533)=1033(m)
答：该货车能够通行的最大高度为2.29 m．
8.如图，用长为 6 m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为 xm ，窗户的透光面积为 ym2 （铝合金条的宽度不计）．
（Ⅰ）求出 y 与 x 的函数关系式；
（Ⅱ）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，
∴长为 6−3x2 m，
∴y=x• 6−3x2 =﹣ 32x2+3x （0＜x＜2），
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：y和x是二次函数关系，
a=﹣ 32 ＜0，
∴函数有最大值，
当x=﹣ 32×(−32) =1时，y最大= 32 m2，
答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m².
x
1
3
5
7
9
y
0
12
16
12
0