2024年山东省济宁市汶上县中考二模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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2.答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．
3.答第Ⅱ卷时，将密封线内的项目填写清楚，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑．
4.填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2. 在一个不透明的塑料袋中装有红色球、白色球共40个，除颜色外其他都相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色球的频率稳定在左右，则塑料袋中红色球可能有（ ）
A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用频率估计概率、已知概率求数量，根据频率得出摸到红球的概率，用总数乘以概率可得红色球个数．
【详解】解：∵摸到红色球的频率稳定在左右，
∴摸到红球的概率约为，
故红球的个数为（个），
故选C．
3. 用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（ ）
A. （x+5）2=16B. （x+5）2=34
C. （x﹣5）2=16D. （x+5）2=25
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】根据题意可以先移项，再配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方），
即x2+10x+9=0，
x2+10x=﹣9，
x2+10x+52=﹣9+52，
（x+5）2=16．
故选A．
考点：解一元二次方程-配方法
4. 在中，，，的值是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的余弦值，由题意知，，根据，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：B．
5. 如图，中，点D、E分别是、的中点，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求得，，从而求得，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵点D、E分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，本题难度较低，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
6. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，根据旋转的性质可得，，在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由旋转得：，，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
7. 已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（ ）个
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
8. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）
A. 70°B. 50°C. 20°D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
9. 便民商店经营一种商品,在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是 （ ）
A. 1554元B. 1556元C. 1558元D. 1560元
【答案】B
【解析】
【分析】将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解．
【详解】解：，
二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，y随x的增大而增大，
，
时，y取最大值，此时，
即一周可获得最大利润是1556元，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意自变量的范围．
10. 如图，中，，，，D是边上一动点（不与A，C两点重合），沿的路径移动，过点D作，交于点E，将沿直线折叠得到．若设，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
分两种情况讨论，当时，由，得到，求得y与x之间函数关系；当时，同理求得，求得y与x之间函数关系，根据二次函数图象的性质即可求解．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
当D是边的中点时，
∴，
当时，
由题意得，则，
∴，
∴，
∵，开口向上，当时，y有最大值为；
当时，
由题意得，，，
，则，
∴，
∴，
∵，开口向下，当时，y有最大值为2；
综上，图象经过点和两点，且图象分别是开口先向上后向下的两段抛物线，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 化的结果为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查同分母分式的减法运算，分母不变，分子相减，最后约分化简即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
12. 二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=___．
【答案】－1
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．
【详解】由图可知，对称轴x=1，
根据二次函数的图象的对称性，
，
解得，x2=－1．
考点：抛物线与x轴的交点
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形结合，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．
13. 按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，通过观察可知每一个单项式均为关于a的单项式，再分别观察单项式的系数、次数的变化规律即可得到答案．
【详解】解：第1个单项式a，
第2个单项式为，
第3个单项式为，
第4个单项式为，
第5个单项式为，
…，
以此类推可知，第n个单项式的系数为，次数为n，字母部分都为a，
∴第n个单项式为，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，点为中点，点在上，当为_______时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【答案】3或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
先得到，再分与两种情况讨论即可解答．．
【详解】解：当时，
，
∴，
，
当时，
，
∴，
，
综上，或，
故答案为：3或．
15. 如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则AD=BD=1，即此时圆的直径为1，再根据圆周角定理可得到∠EOH=60°，则在Rt△EOH中，利用锐角三角函数可计算出EH=，然后根据垂径定理即可得到EF=2EH．
【详解】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
∵∠EOF=2∠BAC=120°，
而∠EOH=∠FOH，
∴∠EOH=60°，
Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=•sin60°=，
∵OH⊥EF，
∴EH=FH，
∴EF=2EH=3，
即线段EF长度的最小值为3．
故答案为3．
【点睛】本题考查垂径定理、垂线段最短和解直角三角形，解题的关键是知道垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答时应写出证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
17. 2023年5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，举国振奋．为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展，黔南州某中学九（1）班团支部在文体艺术节期间组织了一场手抄报比赛．要求该班每位同学从A：北斗卫星；B：5G时代：C：东风快递；D：智轨快运四个主题中任选一个自己喜欢的主题．比赛结束后，该班团支部对同学们所选主题进行统计，绘制成如下两种不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题．
（1）九（1）班共有______名学生；补全折线统计图．
（2）李刚和王丽从A，B，C，D四个主题中各任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50，见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查折线图和扇形图，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）用B主题的学生人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出D主题的人数，补全折线图即可；
（2）列出表格，利用概率进行求解即可．
【小问1详解】
解：（名）；
D主题的人数为：（人），
补全折线图如图：
故答案为：50；
【小问2详解】
列表如下：
共16种等可能的结果，其中两人选择主题相同的结果有4种，
（李刚和王丽选择相同主题．
18. 已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+m-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．
【答案】（1）m＞且m≠-1；（2）m=1，
【解析】
【分析】（1）一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0；
（2）在m的范围内，找到最小奇数，然后把m的值代入一元二次方程（m+1）x2+2mx+m-3=0中，再解出方程的解即可．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m-3=0 有两个不相等的实数根，
∴m+1≠0且Δ＞0，
∵Δ=（2m）2-4（m+1）（m-3）=4（2m+3），
∴2m+3＞0，
解得 m＞−，
∴m的取值范围是m＞−且m≠-1；
（2）在m＞−且m≠-1的范围内，最小奇数m为1，
此时，方程化为x2+x-1=0，
∵Δ=b2-4ac=12-4×1×（-1）=5，
∴，
∴方程的根为，．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
19. 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米
【解析】
【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，则四边形矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接．
（1）求k的值；
（2）求扇形的半径及圆心角的度数；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
【答案】（1）
（2）半径为2，圆心角为
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入中即可求解；
（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解；
（3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答．
【小问1详解】
解：将代入中，
得，
解得：；
【小问2详解】
解：过点作的垂线，垂足为，如下图：

，
，
，
半径为2；
，
∴，
，
由菱形的性质知：，
，
扇形的圆心角的度数：；
【小问3详解】
解：，
，
，
如下图：由菱形知，，

，
，
．
【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义．
21. 【初步感知】
（1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得出答案；
（2）延长至点E，使，连接，根据圆内接四边形的性质得出，再证，推出，，进而证明是等边三角形，可得；
（3）延长至点E，使，连接，通过证明，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）证明过程如下：
如图，延长至点E，使，连接，

四边形是的内接四边形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
即；
（3）如图，延长至点E，使，连接，

四边形是的内接四边形，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解．
22. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，作直线，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．

（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；
（3）当点在运动的过程中，在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或或
（3），或，
或，或，
【解析】
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点坐标代入求，进而得到抛物线的解析式；设直线的解析式为，将、两点坐标代入求解即可得到直线的解析式．
（2）由题可得坐标，分别求出，，，对等腰中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
（3）对点在点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而得到点，点的坐标．
【小问1详解】
解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入得，，
，
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的表达式为；
【小问2详解】
解：点在直线上，且，
点的坐标为，
，，
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得；
②若，则，
即，
解得或（舍去）；
③若，则，
即，
解得或（舍去）．
综上，或或；
【小问3详解】
解：点与点相对应，
或，
①若点在点的左侧，
则，
当，即时，
直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，即，
，即，
解得，
，
当，即时，
，
，即，
解得（舍去）．
当，即时，
，，
，即，
解得，（负值舍去），
，．
②若点在点的右侧，
则，，
当，即时，
直线的表达式为，
，
解得或（舍去），
，
，即，
解得，
，
当，即时，
，，
，即，
解得或（舍去），
，
综上，，或，或，或，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等相关知识．