辽宁省名校2023-2024学年高二下学期3月联合考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省名校2023-2024学年高二下学期3月联合考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
4．已知为第二象限角,若,则在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5．函数的零点个数为( )
A.1B.2C.3D.4
6．若的展开式中各项系数和为16,则其展开式中的常数项为( )
A.54B.C.108D.
7．若球的两个平行截面的面积分别为和,球心到这两个截面的距离之差为,则球的直径为( )
A.B.C.D.
8．已知是定义在R上的偶函数,当,,且时,恒成立,,则满足的m的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．为了得到函数的图象,只需把正弦曲线上所有的点( )
A.先向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
10．已知,是夹角为的单位向量,且,,则( )
A.B.
C.与的夹角为D.与方向上的投影向量为
11．对于直线,,则( )
A.的充要条件是或B.当时,
C.直线经过第二象限内的某定点D.点到直线的距离的最大值为
12．在四面体ABCD中,棱AB的长为4,,,,若该四面体的体积为,则( )
A.异面直线AB与CD所成角的大小为
B.AC的长不可能为
C.点D到平面ABC的距离为
D.当二面角是钝角时,其正切值为
三、填空题
13．若某圆锥的侧面积为底面积的2倍,则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为______.
14．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则这个三角形一定是______三角形.
15．已知抛物线的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上异于点O的动点,则的最小值是______.
16．甲,乙,丙,丁四位同学参加跳台滑雪,越野滑雪,单板滑雪三个项目的比赛,每人只能参加一个项目,每个项目至少一个人参加,且甲,乙两人不能参加同一项目的比赛,则四人参加比赛的不同方案一共有_____种;如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等,定义事件A为丙和丁参加的项目不同,事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪,则________.
四、解答题
17．计算下列各式.
（1）;
（2）.
18．已知函数有唯一零点,函数.
（1）求的单调递增区间,并用定义法证明;
（2）求的值域.
19．已知集合,集合.
（1）当,求;
（2）已知“”是“”的充分不必要条件,求a的取值范围.
20．已知.
（1）求的值;
（2）求的值.
21．如图,多面体是由三棱柱截去部分后而成,D是的中点.
（1）若,平面ABC,,求点C到平面的距离;
（2）如图,点E在线段AB上,且,点F在上,且,问为何值时,平面?
22．已知椭圆的左,右顶点分别为A,B,左焦点为,过点作x轴的垂线与T在第二象限的交点为M,的面积为,且.
（1）求T的方程;
（2）已知点P为直线上一动点,过点P向T作两条切线,切点分别为.求证:直线恒过一定点Q,并求出点Q的坐标.
参考答案
1．答案：D
解析：由复数,,可得两个复数不能比较大小,故AB错误,
,,所以,故C错误,D正确.
故选:D.
2．答案：C
解析：由得,
又因为,
所以
故选:C.
3．答案：C
解析：双曲线的渐近线方程为,
双曲线的一条渐近线与直线垂直,
双曲线一条渐近线的斜率为,所以,即,
因此双曲线C的离心率.
故选:C.
4．答案：C
解析：因为为第二象限角,
所以,,
则,,
当时,,当时,,
因为,
所以,所以在第三象限,
故选:C
5．答案：B
解析：函数的零点个数,
即函数与交点个数,
在坐标平面中画出两个函数的图像,如图所示:
则两个图像交点的个数为2,
故选:B
6．答案：A
解析：令,可得,所以,
则展开式的通项为,
令,得,
所以展开式中的常数项为.
故选:A.
7．答案：D
解析：设球心为O,半径为R,
若两平面在球心同一侧,画出其截面图,如图:
设,
由题可得,,,,
则,解得.
故球的直径为.
若两平面在球心两侧,画出其截面图,如图:
设,
由题可得,,,,
则,解得(不合题意舍去).
故选:D.
8．答案：D
解析：设,由,
得,
所以,
令,则,
所以函数在上单调递增,
因为是定义在R上的偶函数,所以,
所以对任意的,,
所以,函数为R上的偶函数,且,
由,可得,即,
即,所以,解得,
故选:D
9．答案：AC
解析：正弦曲线先向右平移个单位长度,
得到函数的图象,
再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
得到函数的图象,故A正确,B错误;
先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
得到函数的图象,再向右平移个单位长度,
得到函数的图象,故C正确,D错误.
故选:AC
10．答案：ABD
解析：设与的夹角为,
对B,因为,B正确;
对A,,A正确;
对C,,
所以,C错误;
对D,在方向上的投影为,D正确.
故选:ABD
11．答案：ABC
解析：对于A,若,
则,解得或,
经检验,符合题意,所以或,
所以的充要条件是或,故A正确;
对于B,当时,,所以,故B正确;
对于C,由,得,
令,解得,
所以直线经过定点,位于第二象限,故C正确;
对于D,由,得,
令,解得,
所以直线过定点,
当时,点到直线的距离的最大,
最大值为,故D错误.
故选:ABC.
12．答案：ACD
解析：在平面ABD内过D作,且,
由于,故四边形ABDE为矩形,
,,,CD,平面,故平面CDE,
故,
,
故,因此,
由于,所以或,
由于为异面直线AB与CD所成角或其补角,故异面直线AB与CD所成角的大小为,A正确,
当时,,
由于平面CDE,,平面CDE,平面CDE,
故,此时,故B错误,
当时,,
此时,
由于,,
当时,,故,
,
当时,,故,
,
综上可得,故点D到平面ABC的距离为,C正确,
当时,,,取BC中点为O,连接OA,OD,
则即为二面角的平面角,
,
所以,
故为钝角,符合题意,此时,
当时,,,取BC中点为O,连接OA,OD
则即为二面角平面角,
所以,
故为钝角,符合题意,此时,
当,由于,点A到平面DBC的距离为,
设A在平面DBC的投影为H,则,故
,
因此点O为以D,C为圆心,以半径为,为半径的圆的交点,
显然交点位于BC,同D的一侧,（如图）,故此时二面角为锐角,不符合要求,
故D正确,
故选:ACD
13．答案：
解析：设圆锥的底面半径和母线长分别为r,l,
母线与底面所成的角为,由题意可得,得,
由勾股定理可得圆锥的高,
所以,
故答案为:
14．答案：等腰
解析：因为,
由余弦定理得,即,所以,
所以这个三角形一定是等腰三角形.
故答案为:等腰.
15．答案：或
解析：,设,则,
则,,
故,
令,,则,
则,
当,即时,,
所以的最小值是.
故答案为:.
16．答案：30,
解析：依题意,甲,乙,丙,丁四位同学参加三个项目所有的方案共种,
其中甲,乙参加同一项目的方案种,
则所求的参赛方案一共有种;
因为甲,乙两人不能参加同一项目,所以丙,丁两人不能参加同一项目,
则甲,乙必有其中一人和丙,丁其中一人参加同一项目,这里有种方案,
若甲单独选择跳台滑雪,则丙,丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪,乙也可在其中二选一,
故总共有种不同的方案;
若甲和一人一起选择跳台滑雪,则甲只可能和丙或丁共同选择,剩下2个人分别选择2个项目,
故共有种不同的方案;
同理,乙单独选择跳台滑雪,有种不同的方案;
乙和一人共同选择跳台滑雪,有种不同的方案,总共有16种方案.
所以.
故答案为:;.
17．答案：（1）75
（2）
解析：（1）
（2）
18．答案：（1）的单调递增区间为,证明见解析
（2）
解析：（1）因为函数有唯一零点,
所以,解得(舍去),
所以,,
函数的单调递增区间为,
令,
则,
因为,所以,,
所以,即,
所以函数在上单调递增,
令,
则,
因为,
所以,,
所以,即,
所以函数在上单调递减,
综上所述,的单调递增区间为;
（2）由（1）知,
当时,,
所以的值域为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
当,,
故或,
所以;
（2）因为“”是“”的充分不必要条件,所以A是B的真子集,
当时,,符合题意;
当时,,不符合题意,
当时,,
所以,解得,
综上所述,.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）;
（2）
.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）多面体是由三棱柱截去一部分后而成,
是的中点,平面ABC,平面ABC,
又,,面,面,
面,又面,
则,而,所以,
又,D是的中点,,,
可得,即,,
面,面,
面,
点C到面的距离;
（2）当时,直线平面,
理由如下:设,则,
在上取点G,使得,
所以,而,平面,平面,
所以平面,
取的中点H,连接AH,可得,
当时,,所以,则,
平面,平面,所以平面,
,平面,平面GEF,
所以平面平面,平面GEF,
所以平面,
此时.
22．答案：（1）
（2）证明见详解,
解析：（1）由题意可得,,
因为,所以,得.
又因为轴,且M在第二象限,所以可得,
所以的面积为,
所以,,
解得,所以椭圆的方程为,
（2）设点,,,
先证明过椭圆上一点的切线方程为,
由椭圆,则有
当时,,求导数为:,
当时,.
切线方程为,
整理为:,
两边同时除以得:.
同理可证:时,切线方程也为.
当时,切线方程为满足.
综上,过椭圆上一点的切线方程为.
则直线PJ的方程为,直线PK的方程为,
因为在这两条切线上,
所以,
所以直线JK的方程为,①
因为在直线上,
所以,
所以,代入①得,
整理得
当时,JK过定点Q,
解得,,所以.