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专题16 妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考）
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这是一份专题16 妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲义（新教材新高考），文件包含专题16妙解离心率问题12大核心考点讲义原卷版docx、专题16妙解离心率问题12大核心考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题16 妙解离心率问题
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156895115" PAGEREF _Tc156895115 \h 2
\l "_Tc156895116" PAGEREF _Tc156895116 \h 3
\l "_Tc156895117" PAGEREF _Tc156895117 \h 4
\l "_Tc156895118" PAGEREF _Tc156895118 \h 4
\l "_Tc156895119" PAGEREF _Tc156895119 \h 12
\l "_Tc156895120" 考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 PAGEREF _Tc156895120 \h 12
\l "_Tc156895121" 考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 PAGEREF _Tc156895121 \h 16
\l "_Tc156895122" 考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 PAGEREF _Tc156895122 \h 19
\l "_Tc156895123" 考点四：椭圆与双曲线的4a通径体 PAGEREF _Tc156895123 \h 21
\l "_Tc156895124" 考点五：椭圆与双曲线的4a直角体 PAGEREF _Tc156895124 \h 24
\l "_Tc156895125" 考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 PAGEREF _Tc156895125 \h 26
\l "_Tc156895126" 考点七：双曲线的4a底边等腰三角形 PAGEREF _Tc156895126 \h 28
\l "_Tc156895127" 考点八：焦点到渐近线距离为b PAGEREF _Tc156895127 \h 32
\l "_Tc156895128" 考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 PAGEREF _Tc156895128 \h 36
\l "_Tc156895129" 考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 PAGEREF _Tc156895129 \h 38
\l "_Tc156895130" 考点十一：渐近线平行线与面积问题 PAGEREF _Tc156895130 \h 41
\l "_Tc156895131" 考点十二：数形结合转化长度角度 PAGEREF _Tc156895131 \h 45
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由椭圆可得，，，
椭圆的离心率为，
，，，
，
或（舍去）．
故选：．
2．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
3．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】已知，设，，则，，
，
，
故①，
，即②，
②代入①整理得：，
．
故选：．
4．（2021•甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，，
则根据题意及余弦定理可得：
，解得，
所求离心率为．
故选：．
5．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
【答案】
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为，
由题意可得：，渐近线的方程为：，
可得，，
，，
所以，，
由，
解得：，即，
所以双曲线的离心率．
故选：．
6．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为，
则，
由平面向量数量积的运算法则可得：
，，
则椭圆方程为．
故选：．
7．（2022•全国）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为
A．5B．C．D．
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得渐近线方程为，
由题意可得，
所以双曲线的离心率，
故选：．
8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，
设过的切线与圆相切于点，
则，，又，
所以，
过点作于点，
所以，又为的中点，
所以，，
因为，，所以，
所以，则，
所以，
由双曲线的定义可知，
所以，可得，即，
所以的离心率．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为，连接，则，，
过作于，则，因为，所以，，
，即，
所以，正确．
故选：．
9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】（法一）如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．
又点在上，
则，整理可得，
代，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设，则，
所以，解得，
所以，
在△ 中，由余弦定理可得，
即，则．
故答案为：．
10．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】．
【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
由于，且，则点在渐近线上，不妨设，
设直线的倾斜角为，则，则，即，则，
，
又，则，
又，则，则，
点的坐标为，
，即，
．
（法二）由，解得，
又，
所以点的纵坐标为，
代入方程中，解得，
所以，代入双曲线方程中，可得，
所以．
故答案为：．
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，
则四边形为矩形，
则，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设椭圆的左焦点为，连接，．
则四边形为矩形．
因此．．所以，．
．
，
，
，
，
其中，
．
．
故选：A．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，可知四边形为矩形，从而可知，且，由，可得，，结合，可得，根据，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形，
所以，，
由，可得，，
，即，
∵，，
，，
.
故选：A.
【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，
因为，所以四边形为矩形，
所以，
因为，，，
所以，
所以 ，
∵，∴，，
∴，
故选：C
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以，
故选：C．
【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，设P，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△中，由余弦定理得，
解得．∵，∴0≤＜a2，即．且
∴．故椭圆离心率的取范围是 e∈
【变式2-2】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若椭圆C上存在点，使得，即以为直径的圆与椭圆有交点，设， ，解得，即，，又，故.
故选：B.
【变式2-3】（2024·高三课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．
∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，
∴ 中，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，
所以，
即．
∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．
故选：A．
【变式3-1】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于 ．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图，
由椭圆和双曲线定义与对称性知，，
四边形为平行四边形，，
，而，则，因此，
即，于是有，则，，
所以，当且仅当，时取等号．
故答案为：
【变式3-2】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，
，
即，，且，，
，，解得：．
在双曲线中，，；
在椭圆中，，；
；
，，则，，
可得：，
的取值范围为.
故选：B.
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即
【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
，由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
，
因为，
故，整理可得，故该双曲线的离心率为.
故选：B.
【变式4-1】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以可设，，，
因为，所以，解得，
因为，所以，，，
所以，
在中，，，
由，可得，
即椭圆的离心率为.
故选：B.
【变式4-2】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，设，，设，则，
在中，，
由椭圆定义可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以椭圆离心率.
故选：D.
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体
如左图，若，过原点，且，，则可得离心率．
如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率．
【例5】（2024·山东济南·校联考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，不妨令，
过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，
则，，
又，所以，则和都是直角三角形，
则，即，解得，
所以，，又，，
所以，因此，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
【变式5-1】（2024·安徽池州·高三统考期末）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设 ，再由 是等腰直角三角形
，故选D,
【变式5-2】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【解析】因为，设，由椭圆的定义可得：，则，因为，所以，
所以，即，又因为椭圆的离心率为，
所以，则有，
所以，则，则，
由，所以，因为，所以，
所以，即，解得：，
故选：.
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
【例6】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【变式6-1】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C．
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【解析】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C．
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形
当或者时，令,则一定存在①，②
【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，
故选：D．
【变式7-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．
因为，所以，即，则．
设．因为，
所以，则，从而，故，解得．
因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
故选：C
【变式7-2】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】如图，设为的中点，连接.
易知，所以，所以.
因为为的中点，所以.
设，因为，所以.
因为，所以.
所以.
因为是的中点，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因为直线的斜率为，
所以，所以，
，所以离心率为.
故选：A
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】D
【解析】设，则由双曲线定义可得，，，由可得，再在中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设，则由双曲线定义可得，
，则，
则，解得，从而.
在中，，
即，解得.
故选：D.
考点八：焦点到渐近线距离为b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，.
【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】连结，因为点分别为和的中点，
所以，且
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，
中，满足，
整理为：，
双曲线的离心率.
故选：D
【变式8-1】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为，因为，为的中点，
所以为的中点，
将直线，的方程联立，可得，
又，所以即，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以该双曲线的离心率为，
故选：A.
【变式8-2】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，不妨取点在第二象限，题中条件，得到，记，求出，根据双曲线定义，得到，，在中，由余弦定理，即可得出结果.
因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限，
所以，则，
因为双曲线的渐近线方程为，则，所以；
记，则，由解得，
因为，由双曲线的定义可得，所以，，
由余弦定理可得：，
则，所以，整理得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
【变式8-3】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】设双曲线：的右焦点，
双曲线的一条渐近线方程设为，
可得，，
的面积为，即有，
化为，，解得.
故选：A.
【变式8-4】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不妨设在第二象限，在第三象限，如下图所示：
因为，，所以，
所以，，
又，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以.
故选：C.
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习）是双曲线的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得：，双曲线渐近线方程为：
若为直线与交点，为直线与交点
则 直线方程为：，与联立可得：
直线方程与联立可得：
由得：，即
，即，解得：或（舍）
由双曲线对称性可知，当为直线与交点，为直线与交点时，结论一致
故选：
【变式9-1】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(，+∞)B．(，+∞)C．(2，+∞)D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意双曲线C：的渐近线，右焦点，
不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即
故选：A
【变式9-2】（2024·江西新余·统考）已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，，则，
因为，则，
设，则，所以，，
，，
由二倍角的正切公式可得，即，可得，
因此，.
故选：A.
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则，
【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是( )
A．2.B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到，
而，，即点A是线段FB的中点，
所以，所以.
故选：D
【变式10-1】（2024·山西晋城·统考）设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．2
【答案】A
【解析】由题意可得，
即有为等腰三角形，
设，
则，
所以
即为，
所以，
故选：A
【变式10-2】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接， 设，
则由题意可得是直角三角形，
由恰好为正三角形得，，
∴，∴，
，
．
故选：C．
【变式10-3】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得点坐标，由可表示出点坐标，点坐标代入双曲线方程整理后可求得．，圆方程为，
由， 由，，解得，即，
设Q(x0，y0)，由，，得，，
因为在双曲线上，
∴，，
解得（舍去），
故选：A
考点十一：渐近线平行线与面积问题
①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，，
【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】易知MN关于x轴对称，令，，
∴，，∴，∴．
，，，
∴，
∴．
故选: C.
【变式11-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 .
【答案】或
【解析】由题意知，，
双曲线的渐近线方程为，
设过点且与渐近线平行的直线与渐近线相交于点，如图所示，
直线的方程为，
将其与联立，解得，，即，，
，
点，到直线的距离为，
所围图形面积等于1，
，即，
化简得，
点，在双曲线上，，即，
，
又，，或，，
离心率或．
故答案为：或．
【变式11-2】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线：（，）右支上一点作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点，，为坐标原点，设的面积为，若，则双曲线的离心率取值范围为 ．（用区间作答）
【答案】
【解析】设，是过P与渐近线平行的直线，交y轴于点，与渐近线交于，
则，即，
联立解得，
则，由题知四边形是平行四边形，
又在双曲线上，应满足，即
则
则，解得，
可得离心率
所以离心率的范围为，
故答案为：
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
【例12】（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 .
【答案】
【解析】
因为，所以是的中点，又为的中点，
所以，因为，所以，所以，
设，则，，且在双曲线上，
则，即，又，即，
所以.
故答案为：.
【变式12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的对称性得，由，得，
不妨设点在的右支上，且，
在中，由双曲线定义知，
由勾股定理得，
则，
且
又，，所以，
则在中，由，得，
化简得，
即，所以，
所以，化简得.
所以的离心率为.
故答案为：.
【变式12-2】（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【解析】设的内切圆在边的切点分别为，如图：
则得，
又，则，考点要求
考题统计
考情分析
离心率
2023年新高考I卷第5、16题，10分
2023年甲卷第9题，5分
2022年甲卷第10题，5分
2022年浙江卷第16题，4分
2021年甲卷第5题，5分
2021年天津卷第8题，5分
离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题16 妙解离心率问题
【目录】
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156895115" PAGEREF _Tc156895115 \h 2
\l "_Tc156895116" PAGEREF _Tc156895116 \h 3
\l "_Tc156895117" PAGEREF _Tc156895117 \h 4
\l "_Tc156895118" PAGEREF _Tc156895118 \h 4
\l "_Tc156895119" PAGEREF _Tc156895119 \h 12
\l "_Tc156895120" 考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 PAGEREF _Tc156895120 \h 12
\l "_Tc156895121" 考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 PAGEREF _Tc156895121 \h 16
\l "_Tc156895122" 考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 PAGEREF _Tc156895122 \h 19
\l "_Tc156895123" 考点四：椭圆与双曲线的4a通径体 PAGEREF _Tc156895123 \h 21
\l "_Tc156895124" 考点五：椭圆与双曲线的4a直角体 PAGEREF _Tc156895124 \h 24
\l "_Tc156895125" 考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 PAGEREF _Tc156895125 \h 26
\l "_Tc156895126" 考点七：双曲线的4a底边等腰三角形 PAGEREF _Tc156895126 \h 28
\l "_Tc156895127" 考点八：焦点到渐近线距离为b PAGEREF _Tc156895127 \h 32
\l "_Tc156895128" 考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 PAGEREF _Tc156895128 \h 36
\l "_Tc156895129" 考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 PAGEREF _Tc156895129 \h 38
\l "_Tc156895130" 考点十一：渐近线平行线与面积问题 PAGEREF _Tc156895130 \h 41
\l "_Tc156895131" 考点十二：数形结合转化长度角度 PAGEREF _Tc156895131 \h 45
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由椭圆可得，，，
椭圆的离心率为，
，，，
，
或（舍去）．
故选：．
2．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故选：．
3．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】已知，设，，则，，
，
，
故①，
，即②，
②代入①整理得：，
．
故选：．
4．（2021•甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设，，
则根据题意及余弦定理可得：
，解得，
所求离心率为．
故选：．
5．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
【答案】
【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为，
由题意可得：，渐近线的方程为：，
可得，，
，，
所以，，
由，
解得：，即，
所以双曲线的离心率．
故选：．
6．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为，
则，
由平面向量数量积的运算法则可得：
，，
则椭圆方程为．
故选：．
7．（2022•全国）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为
A．5B．C．D．
【答案】
【解析】由双曲线的方程可得渐近线方程为，
由题意可得，
所以双曲线的离心率，
故选：．
8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，
设过的切线与圆相切于点，
则，，又，
所以，
过点作于点，
所以，又为的中点，
所以，，
因为，，所以，
所以，则，
所以，
由双曲线的定义可知，
所以，可得，即，
所以的离心率．
情况二：当直线与双曲线交于一支时，
如图，记切点为，连接，则，，
过作于，则，因为，所以，，
，即，
所以，正确．
故选：．
9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】（法一）如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．
又点在上，
则，整理可得，
代，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设，则，
所以，解得，
所以，
在△ 中，由余弦定理可得，
即，则．
故答案为：．
10．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】．
【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
由于，且，则点在渐近线上，不妨设，
设直线的倾斜角为，则，则，即，则，
，
又，则，
又，则，则，
点的坐标为，
，即，
．
（法二）由，解得，
又，
所以点的纵坐标为，
代入方程中，解得，
所以，代入双曲线方程中，可得，
所以．
故答案为：．
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，
则四边形为矩形，
则，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设椭圆的左焦点为，连接，．
则四边形为矩形．
因此．．所以，．
．
，
，
，
，
其中，
．
．
故选：A．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，可知四边形为矩形，从而可知，且，由，可得，，结合，可得，根据，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形，
所以，，
由，可得，，
，即，
∵，，
，，
.
故选：A.
【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，
因为，所以四边形为矩形，
所以，
因为，，，
所以，
所以 ，
∵，∴，，
∴，
故选：C
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以，
故选：C．
【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，设P，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．
在△中，由余弦定理得，
解得．∵，∴0≤＜a2，即．且
∴．故椭圆离心率的取范围是 e∈
【变式2-2】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若椭圆C上存在点，使得，即以为直径的圆与椭圆有交点，设， ，解得，即，，又，故.
故选：B.
【变式2-3】（2024·高三课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．
∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，
∴ 中，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．
设，．．则，，∴，．
因为，
所以，
即．
∴，∴，
∴，则，当且仅当，时取等号．
故选：A．
【变式3-1】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于 ．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图，
由椭圆和双曲线定义与对称性知，，
四边形为平行四边形，，
，而，则，因此，
即，于是有，则，，
所以，当且仅当，时取等号．
故答案为：
【变式3-2】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，
是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，
，
即，，且，，
，，解得：．
在双曲线中，，；
在椭圆中，，；
；
，，则，，
可得：，
的取值范围为.
故选：B.
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即
【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
，由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
，
因为，
故，整理可得，故该双曲线的离心率为.
故选：B.
【变式4-1】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以可设，，，
因为，所以，解得，
因为，所以，，，
所以，
在中，，，
由，可得，
即椭圆的离心率为.
故选：B.
【变式4-2】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，设，，设，则，
在中，，
由椭圆定义可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以椭圆离心率.
故选：D.
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体
如左图，若，过原点，且，，则可得离心率．
如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率．
【例5】（2024·山东济南·校联考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，不妨令，
过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，
则，，
又，所以，则和都是直角三角形，
则，即，解得，
所以，，又，，
所以，因此，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
【变式5-1】（2024·安徽池州·高三统考期末）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设 ，再由 是等腰直角三角形
，故选D,
【变式5-2】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【解析】因为，设，由椭圆的定义可得：，则，因为，所以，
所以，即，又因为椭圆的离心率为，
所以，则有，
所以，则，则，
由，所以，因为，所以，
所以，即，解得：，
故选：.
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
【例6】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【变式6-1】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C．
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】C
【解析】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C．
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形
当或者时，令,则一定存在①，②
【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，
故选：D．
【变式7-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．
因为，所以，即，则．
设．因为，
所以，则，从而，故，解得．
因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
故选：C
【变式7-2】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】如图，设为的中点，连接.
易知，所以，所以.
因为为的中点，所以.
设，因为，所以.
因为，所以.
所以.
因为是的中点，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因为直线的斜率为，
所以，所以，
，所以离心率为.
故选：A
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】D
【解析】设，则由双曲线定义可得，，，由可得，再在中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设，则由双曲线定义可得，
，则，
则，解得，从而.
在中，，
即，解得.
故选：D.
考点八：焦点到渐近线距离为b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，.
【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】连结，因为点分别为和的中点，
所以，且
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，
中，满足，
整理为：，
双曲线的离心率.
故选：D
【变式8-1】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为，因为，为的中点，
所以为的中点，
将直线，的方程联立，可得，
又，所以即，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以该双曲线的离心率为，
故选：A.
【变式8-2】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，不妨取点在第二象限，题中条件，得到，记，求出，根据双曲线定义，得到，，在中，由余弦定理，即可得出结果.
因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限，
所以，则，
因为双曲线的渐近线方程为，则，所以；
记，则，由解得，
因为，由双曲线的定义可得，所以，，
由余弦定理可得：，
则，所以，整理得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
【变式8-3】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】设双曲线：的右焦点，
双曲线的一条渐近线方程设为，
可得，，
的面积为，即有，
化为，，解得.
故选：A.
【变式8-4】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不妨设在第二象限，在第三象限，如下图所示：
因为，，所以，
所以，，
又，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以.
故选：C.
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习）是双曲线的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得：，双曲线渐近线方程为：
若为直线与交点，为直线与交点
则 直线方程为：，与联立可得：
直线方程与联立可得：
由得：，即
，即，解得：或（舍）
由双曲线对称性可知，当为直线与交点，为直线与交点时，结论一致
故选：
【变式9-1】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(，+∞)B．(，+∞)C．(2，+∞)D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意双曲线C：的渐近线，右焦点，
不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即
故选：A
【变式9-2】（2024·江西新余·统考）已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，，则，
因为，则，
设，则，所以，，
，，
由二倍角的正切公式可得，即，可得，
因此，.
故选：A.
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则，
【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是( )
A．2.B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到，
而，，即点A是线段FB的中点，
所以，所以.
故选：D
【变式10-1】（2024·山西晋城·统考）设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．2
【答案】A
【解析】由题意可得，
即有为等腰三角形，
设，
则，
所以
即为，
所以，
故选：A
【变式10-2】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接， 设，
则由题意可得是直角三角形，
由恰好为正三角形得，，
∴，∴，
，
．
故选：C．
【变式10-3】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得点坐标，由可表示出点坐标，点坐标代入双曲线方程整理后可求得．，圆方程为，
由， 由，，解得，即，
设Q(x0，y0)，由，，得，，
因为在双曲线上，
∴，，
解得（舍去），
故选：A
考点十一：渐近线平行线与面积问题
①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，，
【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】易知MN关于x轴对称，令，，
∴，，∴，∴．
，，，
∴，
∴．
故选: C.
【变式11-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 .
【答案】或
【解析】由题意知，，
双曲线的渐近线方程为，
设过点且与渐近线平行的直线与渐近线相交于点，如图所示，
直线的方程为，
将其与联立，解得，，即，，
，
点，到直线的距离为，
所围图形面积等于1，
，即，
化简得，
点，在双曲线上，，即，
，
又，，或，，
离心率或．
故答案为：或．
【变式11-2】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线：（，）右支上一点作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点，，为坐标原点，设的面积为，若，则双曲线的离心率取值范围为 ．（用区间作答）
【答案】
【解析】设，是过P与渐近线平行的直线，交y轴于点，与渐近线交于，
则，即，
联立解得，
则，由题知四边形是平行四边形，
又在双曲线上，应满足，即
则
则，解得，
可得离心率
所以离心率的范围为，
故答案为：
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
【例12】（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 .
【答案】
【解析】
因为，所以是的中点，又为的中点，
所以，因为，所以，所以，
设，则，，且在双曲线上，
则，即，又，即，
所以.
故答案为：.
【变式12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的对称性得，由，得，
不妨设点在的右支上，且，
在中，由双曲线定义知，
由勾股定理得，
则，
且
又，，所以，
则在中，由，得，
化简得，
即，所以，
所以，化简得.
所以的离心率为.
故答案为：.
【变式12-2】（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 .
【答案】
【解析】设的内切圆在边的切点分别为，如图：
则得，
又，则，考点要求
考题统计
考情分析
离心率
2023年新高考I卷第5、16题，10分
2023年甲卷第9题，5分
2022年甲卷第10题，5分
2022年浙江卷第16题，4分
2021年甲卷第5题，5分
2021年天津卷第8题，5分
离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．
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