2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题17导数与函数的极值最值（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题17导数与函数的极值最值（学生版），共12页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
【考点预测】
1.函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【常用结论】
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【方法技巧】
1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
4.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
5.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
6.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
二、【题型归类】
【题型一】根据函数图象判断极值
【典例1】(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(0)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为f(x)的极小值
【典例2】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
【典例3】(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则( )
A.－3是函数y＝f(x)的极值点
B.－1是函数y＝f(x)的极小值点
C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D.－2是函数y＝f(x)的极大值点
【题型二】求已知函数的极值
【典例1】已知函数f(x)＝ln x＋eq \f(a－1,x)，求函数f(x)的极小值．
【典例2】已知函数f(x)＝x3＋6ln x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数g(x)＝f(x)－f′(x)＋eq \f(9,x)的单调区间和极值．
【典例3】已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
【题型三】已知函数的极值求参数值(范围)
【典例1】函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于( )
A．－7 B．0
C．－7或0 D．－15或6
【典例2】设函数g(x)＝ln x－mx＋eq \f(m,x)，若g(x)存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围.
【典例3】设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求实数a的值；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
【题型四】利用导数求函数的最值
【典例1】函数y＝eq \f(x,ex)在[0，2]上的最大值是( )
A．eq \f(1,e) B．eq \f(2,e2)
C．0 D．eq \f(1,2\r(e))
【典例2】已知函数f(x)＝3ln x－x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))x在区间(1，3)上有最大值，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(11,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(11,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
【典例3】已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
【题型五】构造法解决抽象函数问题
【典例1】定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)eq \f(x2＋1,2)的解集为( )
A．(1，2) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(－1，1)
【典例2】函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，若f(ln 2)＝eq \f(1,2)，则满足不等式f(x)>eq \f(1,ex)的x的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0，1)
C．(ln 2，＋∞) D．(0，ln 2)
【典例3】f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________．
三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0【训练二】已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)有两个极值x1，x2，x1【训练三】已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cs x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【训练四】已知函数f(x)＝aln x＋eq \f(1,x)(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【训练五】已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x)－ax，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过点(2，－1)．
(1)求实数a的值；
(2)设b>1，求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,b)，b))上的最大值和最小值．
【训练六】已知函数f(x)＝eq \f(1,2)m(x2－1)－ln x(m∈R)．
(1)若m＝1，求证：f(x)≥0；
(2)讨论函数f(x)的极值．
四、【强化测试】
【单选题】
1. 函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
2. 函数y＝eq \f(x,ex)在[0,2]上的最大值是( )
A.eq \f(1,e) B.eq \f(2,e2) C．0 D.eq \f(1,2\r(e))
3. 已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．－eq \f(5,2)
C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2
4. 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(8,3) D.eq \f(16,3)
5. 函数f(x)＝x＋2cs x在[0，π]上的最大值为( )
A．π－2 B.eq \f(π,6)
C．2 D.eq \f(π,6)＋eq \r(3)
6. 若函数f(x)＝(x2－a)ex的两个极值点之积为－3，则f(x)的极大值为( )
A.eq \f(6,e3) B．－eq \f(2,e)
C．－2e D.eq \f(4,e2)
7. 函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为( )
A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2
C．a＝2，b＝3 D．以上都不对
8. 设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A．ab
C．aba2
【多选题】
9. 已知f(x)＝eq \f(3x,ex)，则f(x)( )
A.在(－∞，＋∞)上单调递减
B.在(－∞，1)上单调递增
C.有极大值eq \f(3,e)，无极小值
D.有极小值eq \f(3,e)，无极大值
10. 已知函数f(x)＝eq \f(x2＋x－1,ex)，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝eq \f(5,e2)，则t的最小值为2
11. 对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是( )
A.x＝3是函数f(x)的一个极值点
B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)
C.f(x)在区间(1，2)上单调递减
D.直线y＝16ln 3－16与函数f(x)的图象有3个交点
12. 已知函数f(x)＝xln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是( )
A．0eq \f(1,e)
C．f(x0)＋2x0<0 D．f(x0)＋2x0>0
【填空题】
13. 函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．
14. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝________；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
15. 若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．
16. 若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
【解答题】
17. 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝eq \f(1,2)时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
18. 已知函数f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．
19. 已知函数f(x)＝ln x－eq \f(2x－2,x＋1).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝f(x)－eq \f(4＋a,x＋1)＋2(a∈R)，若x1，x2是函数g(x)的两个极值点，求实数a的取值范围．
20. 已知函数f(x)＝excs x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值.
21. 若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
22. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．