2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题46向量法求空间角（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题46向量法求空间角（学生版），共12页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。

【考纲要求】
1.掌握空间向量的应用.
2.会用空间向量求空间角和距离.
【考点预测】
1．异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
【常用结论】
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs〈a，n〉|，不要误记为cs θ＝|cs〈a，n〉|.
2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
【方法技巧】
1.求异面直线所成的角的两个关注点
(1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的．
(2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两方向向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cs θ＝|cs α|.
2.求直线与平面所成角的方法
(1)定义法：
①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角．
(2)公式法：sin θ＝eq \f(h,l)(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面所成的角)．
(3)向量法：sin θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|AB·n|,|\(AB,\s\up6(→))||n|)(其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．
3.利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
二、【题型归类】
【题型一】异面直线所成的角
【典例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
【典例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角.
【典例3】如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在eq \(AB,\s\up8(︵))上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
【题型二】直线与平面所成的角
【典例1】在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点(如图1)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1－BCDE(如图2)．
(1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE；
(2)若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．
【典例2】如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【典例3】如图所示，在三棱锥S－BCD中，平面SBD⊥平面BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4.
(1)若SA＝AD，求证：SD⊥CA；
(2)若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为eq \f(4\r(195),65)，求AD的长．
【题型三】平面与平面的夹角
【典例1】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．
(1)求证：AB∥平面DEG；
(2)求二面角C­DF­E的余弦值．
【典例2】如图是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为弧A1B1上(不与A1，B1重合)的动点．
(1)证明：PA1⊥平面PBB1；
(2)若四边形ABB1A1为正方形，且AC＝BC，∠PB1A1＝eq \f(π,4)，求二面角P­A1B1­C的余弦值．
【典例3】如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点.
(1)证明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积.
三、【培优训练】
【训练一】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(3)若平面EBD与平面FBD夹角的余弦值为eq \f(1,3)，求线段CF的长.
【训练二】如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值.
【训练三】已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.
(1)证明：BF⊥DE；
(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE夹角的正弦值最小？
【训练四】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，点M在线段PC上，PD＝BD＝BC＝eq \r(3)，N是线段PB的中点，且三棱锥M­BCD的体积是四棱锥P­ABCD的体积的eq \f(1,6).
(1)若H是PM的中点，证明：平面ANH∥平面BDM；
(2)若PD⊥平面ABCD，求二面角B­DM­C的正弦值．
四、【强化测试】
一、单选题
1．如图， 在棱长为 2 的正方体 中，均为所在棱的中点， 则下列结论正确的有（ ）
①棱 上一定存在点， 使得
②三棱锥的外接球的表面积为
③过点 作正方体的截面， 则截面面积为
④设点 在平面内， 且平面， 则与所成角的余弦值的最大值为
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
5．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正四棱柱，中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为．
A．2B．3C．4D．5
7．如图二面角的大小为，平面上的曲线在平面上的正射影为曲线，在直角坐标系下的方程，则曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
8．（2019·福建龙岩·统考三模）若正四棱柱的体积为，，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则到直线的距离的最小值为
B．若，则，且直线平面
C．若，则与平面所成角正弦的最小值为
D．若，，则，两点之间距离的最小值为
10．（2022·全国·校联考模拟预测）在正三棱柱中，，，点、分别在棱、上运动（不与重合，不与重合），使得是等腰三角形．记的面积为，平面与平面所成锐二面角的平面角大小为，则（ ）
A．平面B．可能为等腰直角三角形
C．的取值范围是D．的取值范围是
11．（2023·全国·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论成立的有（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．点到平面的距离为2
12．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．当为中点时，为锐角
B．存在点，使得平面
C．的最小值
D．顶点到平面的最大距离为
三、填空题
13．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是 ．
14．在空间直角坐标系中，，，，，若四面体的外接球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为 .
15．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线AD与BC所成的角的大小为 ．
16．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且则下列结论：
则下列结论：
①；
②当时，与相交；
③始终与平面平行；
④异面直线与所成的角为
正确的序号是 .
四、解答题
17．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.
18．如图；在梯形中，为的中点；为的中点，沿将三角形折起
（1）证明：在折起过程中，平面平面，
（2）当折起到平面平面时，求二面角的余弦值，
19．（2022·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
20．如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱上一点，是的中点．
（1）若是的中点，证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角为，求的长．

21．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，三角形为等边三角形，侧面底面，且，为棱上的动点.
（1）若，交于，证明：平面；
（2）若为棱的中点，且过三点的平面被该四棱锥截得的截面的面积为，求的长，并求直线与该截面所成角的正弦值.
22．如图，在四棱锥中， ，且．
(1)当时，证明：平面平面；
(2)当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线与平面所成角的正弦值．