中考数学一轮复习课件 第4章 三角形第19课勾股定理与解直角三角形的简单应用（含答案）

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1．直角三角形的性质：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，则(1)两个锐角的关系：∠A＋∠B＝_____°.(2)三边的数量关系(勾股定理)：________________．(3)边与角的关系：sin A＝ ，cs A＝________， tanA________．(4)若CD是斜边的中线，则CD与AB的数量关系是 __________． (5)若∠B＝30°，则AC与AB的数量关系是 __________．
AC2+BC2=AB2
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， S△ABC＝ AC×________＝ AB×________．
2．直角三角形的判定：(1)定义法：当∠ACB＝______°时，△ABC是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理：当△ABC的三边满足____________ 时， △ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(3)CD是AB边上的中线，且__________________时，△ABC是直 角三角形，且斜边是________．
【例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，求OE的长．
【考点1】勾股定理，等面积法
解：∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°. ∴BC＝ . ∵S△OBC＝ OB·OC＝ BC·OE. ∴OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE. ∴OE＝ .
【变式1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D, AE⊥BC于点E，BC＝6, tan B＝ ，AB＝AC.求AB, AE，CD的长．
解：∵AB=AC ，AE⊥BC，∴BE=CE=3.∵tan B= ，∴在Rt△ABE中， ，∴AE=4 .∴AB= .∵CD⊥AB，∴S△ABC＝ AB·CD.又∵S△ABC＝ BC·AE，∴AB·CD＝BC·AE，即5×CD ＝6×4. ∴CD＝ .
【考点2】直角三角形边与角的关系
【例2】如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6， AC＝ ，∠A＝30°.(1)求BD和AD的长；(2)求tan C的值．
解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°. 在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°， ∴BD= AB=3. ∴AD= BD= . （2）CD=AC－AD= ， 在Rt△ADC中，tan∠C= .
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，点E为线段AB上的一点，且AE∶EB ＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，求tan∠CFB.
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 设BC=x，则AB=2x，AC= x. 又∵EF⊥AC，∴EF∥BC. ∴ AF∶FC=AE∶EB=4∶1, CF= AC= . ∴在Rt△CFB中, ∴tan∠CFB= .
【考点3】直角三角形的性质
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝12 cm，DC＝5 cm，求sin A的值．
解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=5 cm， ∵AD=12－5=7 cm， ∴SinA= .
【变式3】如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，求PD的长．
解：过点P作PE⊥OB于E， ∵∠AOP=∠BOP，PE⊥OB，PD⊥OA， ∴PE=PD. ∠BOP=∠AOP=15°， ∴∠AOB=30°. ∵PC∥OA，∴∠BCP=∠AOB=30°. ∴在Rt△PCE中，PE= PC= ×4=2. ∴PD=PE=2.
2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O， ∴AC⊥BD，DO=BO， ∵AB=5，AO=4，∴BO=3. ∴BD=2BO=2×3=6.
3．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝13， PA＝12，求sin P的值．
解：连接OA, ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°． 又∵PO=13，PA=12， ∴根据勾股定理，得OA= . ∴sinP= .
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求EF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD= BD， ∵AB=6 cm，BC=8 cm， ∴由勾股定理,得BD=AC= （cm）， ∴DO=5 cm， ∵点E,F分别是AO,AD的中点， ∴EF=OD=2.5 cm
解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA= ， ∴∠E=30°，BE=tan60°·6= . ∵∠CDE=90°，CD=4，sinE= ，∠E=30°， ∴CE=4÷ =8. ∴BC=BE－CE= －8. （2）∵∠ABE=90°，AB=6，sinA= ， ∴设BE=4x，则AE=5x，AB=3x. ∴3x=6，得x=2. ∴BE=8，AE=10. ∴tanE= . 解得DE= . ∴AD=AE－DE=10－ .
5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝ 90°，AB＝6, CD＝4, BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝ ，求AD的长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)