2023-2024学年上海市宝山区罗店中学高二(下)第一次诊断数学试卷(3月份)(含解析)
展开1.若排列数=6×5×4,则m= .
2.7个人站成一排,如果甲、乙2人必须站在两端,有 种排法.
3.设直线y=ax+3与圆x2+y2=4相交所得弦长为,则a= .
4.的二项展开式中x2项的系数为 .
5.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
6.若双曲线的一条渐近线与直线y=2x﹣1平行,则b= .
7.已知实数a,b,c成等差数列,则直线ax+by+c=0必过定点 .
8.从装有3个红球和4个蓝球的袋中,每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A,“第二次摸球时摸到蓝球”为B,则P(B|A)= .
9.有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念.若从这6人中随机选取2人拍双人照,则选中的2人恰为1男1女的概率是 .
10.某校开展“全员导师制”.有2名导师可供5位学生选择,若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择,则不同的选择方案共有 种(用数字作答).
11.已知无穷数列{an}满足,且a2=1,则ai= .
12.已知曲线C1:y2=4x(x≤1),曲线C2:x2﹣2x+y2﹣28=0(x≥6),若△ABC的顶点的A坐标为(1,0),顶点B,C分别在曲线C1和C2上运动,则△ABC周长的最小值为 .
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,其中13、14题每题4分,15、16题每题5分)
13.若直线(a﹣1)x+y﹣1=0与直线3x﹣ay+2=0垂直,则实数a的值为( )
A.B.C.D.
14.已知=(2,﹣1,3),=(﹣1,4,﹣2),=(1,3,λ),若三向量共面,则实数λ等于( )
A.1B.2C.3D.4
15.如果、分别是A、B的对立事件,下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是( )
A.B.
C.D.P(B|A)=P(A|B)
16.已知数列{an},设(n为正整数).若{an}满足性质Ω:存在常数c,使得对于任意两两不等的正整数i、j、k,都有(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=c,则称数列{an}为“梦想数列”.有以下三个命题:
①若数列{an}是“梦想数列”,则常数c=0;
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”;
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是( )个
A.3B.2C.1D.0
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)
17.一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球.
(1)从中有放回地依次摸出2个球,求两球颜色不同的概率;
(2)从中不放回地依次摸出2个球,记两球中白球的个数为X,求X的期望与方差.
18.已知各项均为正数的数列{an},其前n项和为Sn,a1=1.
(1)若数列{an}为等差数列,S10=70,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}为等比数列,a4=,求满足Sn>100an时n的最小值.
19.已知抛物线Γ1:y2=4x,Γ2:y2=2x,直线l交抛物线Γ1于点A、D,交抛物线Γ2于点B、C,其中点A、B位于第一象限.
(1)若点A到抛物线Γ1焦点的距离为2,求点A的坐标;
(2)若点A的坐标为(4,4),且线段AC的中点在x轴上,求原点O到直线l的距离.
20.(18分)已知E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC、CD的中点,求:
(1)A1D与EF所成角的大小;
(2)二面角C﹣D1B1﹣C1的大小;
(3)点M在棱CD上,若A1M与平面B1C1CB所成角的正弦值为,请判断点M的位置,并说明理由.
21.(18分)椭圆C的方程为x2+3y2=4,A、B为椭圆的左右顶点,F1、F2为左右焦点,P为椭圆上的动点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若△PF1F2为直角三角形,求△PF1F2的面积;
(3)若Q、R为椭圆上异于P的点,直线PQ、PR均与圆x2+y2=r2(0<r<1)相切,记直线PQ、PR的斜率分别为k1、k2,是否存在位于第一象限的点P,使得k1k2=1?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)
1.若排列数=6×5×4,则m= 3 .
【分析】利用排列数公式直接求解.
解:∵排列数=6×5×4,
∴由排列数公式得,
∴m=3.
故答案为:m=3.
【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用.
2.7个人站成一排,如果甲、乙2人必须站在两端,有 240 种排法.
【分析】根据题意,结合分步乘法计数原理,计算即可.
解:7个人站成一排,如果甲、乙2人必须站在两端,先排甲,乙有=2种排法,
在排剩余5人,有=120种排法,
故共有2×120=240种排法.
故答案为:240.
【点评】本题考查排列组合的应用,属于基础题.
3.设直线y=ax+3与圆x2+y2=4相交所得弦长为,则a= ± .
【分析】根据已知条件,结合点到直线的距离公式,以及垂径定理,即可求解.
解:圆x2+y2=4,
则圆心为O(0,0),半径r=2,
∵直线y=ax+3与圆x2+y2=4相交所得弦长为,
∴圆心O到直线y=ax+3的距离d==1,
又圆心O(0,0)到直线y=ax+3的距离为,
∴=1,解得a=±2.
故答案为:±2.
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,属于基础题.
4.的二项展开式中x2项的系数为 210 .
【分析】由题意,在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于2,求得r的值,可得展开式中含x2项的系数.
解:在的二项展开式中,通项公式为Tr+1=•x10﹣2r,
令10﹣2r=2,求得r=4,可得x2项的系数为=210.
故答案为:210.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.
5.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.
解:随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,
可得np=30,npq=20,q=,则p=,
故答案为:.
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力.
6.若双曲线的一条渐近线与直线y=2x﹣1平行,则b= 2 .
【分析】先求出a=1,再结合渐近线的定义,以及直线平行的性质,即可求解.
解:双曲线,
则a=1,
双曲线的一条渐近线与直线y=2x﹣1平行,
则.
故答案为:2.
【点评】本题主要考查双曲线的性质,属于基础题.
7.已知实数a,b,c成等差数列,则直线ax+by+c=0必过定点 (1,﹣2) .
【分析】由a,b,c成等差数列,可得2b=a+c,即a﹣2b+c=0,故直线ax+by+c=0可得.
解:∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,∴a﹣2b+c=0,
∴直线ax+by+c=0必过点(1,﹣2).
故答案为:(1,﹣2).
【点评】本题主要考查恒过定点的直线,属于基础题.
8.从装有3个红球和4个蓝球的袋中,每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A,“第二次摸球时摸到蓝球”为B,则P(B|A)= .
【分析】根据已知条件,结合条件概率公式,即可求解.
解:由题意可知,P(A)=,P(AB)=,
故P(B|A)=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查条件概率公式,属于基础题.
9.有3男3女共6位高三同学在高考考场外合影留念.若从这6人中随机选取2人拍双人照,则选中的2人恰为1男1女的概率是 .
【分析】根据组合数公式结合古典概率公式即可得到答案.
解:设选中的2人恰为1男1女为事件A,
故,
故答案为:.
【点评】本题考查古典概型相关知识,属于基础题.
10.某校开展“全员导师制”.有2名导师可供5位学生选择,若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择,则不同的选择方案共有 20 种(用数字作答).
【分析】根据题意可知,将学生分组为2,3,分好之后再对其进行分配,结合分步乘法计数原理计算即可.
解:有2名导师可供5位学生选择,若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择,
故可将学生分组为2,3,共有=10种,
再将分好的学生分配给2名导师,共=2种,
故不同的选择方案共有10×2=20种.
故答案为:20.
【点评】本题考查排列组合的应用,属于基础题.
11.已知无穷数列{an}满足,且a2=1,则ai= 4 .
【分析】由已知可得数列{an}为以为公比的等比数列,再结合无穷等比数列求和公式求解即可.
解:由数列{an}满足,且a2=1,
则数列{an}为以为公比的等比数列,
由a2=1,
则a1=2,
则ai=,
故答案为:4.
【点评】本题考查了无穷等比数列求和,属基础题.
12.已知曲线C1:y2=4x(x≤1),曲线C2:x2﹣2x+y2﹣28=0(x≥6),若△ABC的顶点的A坐标为(1,0),顶点B,C分别在曲线C1和C2上运动,则△ABC周长的最小值为 7+ .
【分析】求出圆的圆心与半径,抛物线的焦点坐标,以及准线方程,画出图形,转化求解即可.
解:抛物线的焦点坐标(1,0),准线方程为x=﹣1,
曲线C2:x2﹣2x+y2﹣28=0(x≥6),圆的圆心(1,0),半径为,
△ABC的顶点的A坐标为(1,0),与抛物线的焦点坐标以及圆的圆心重合,过B作抛物线准线的垂线,垂足为D,可知|AB|=|BD|,
顶点B,C分别在曲线C1和C2上运动,则△ABC周长|AB|+|BC|+|CA|≥|AC|+|CD|,
当且仅当B、C、D共线时,取得最小值.此时C(6,±2),
最小值为:7+.
故答案为:7+.
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,圆与抛物线的位置关系的综合应用,是中档题.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,其中13、14题每题4分,15、16题每题5分)
13.若直线(a﹣1)x+y﹣1=0与直线3x﹣ay+2=0垂直,则实数a的值为( )
A.B.C.D.
【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出结果.
解:直线(a﹣1)x+y﹣1=0与直线3x﹣ay+2=0垂直,
则3(a﹣1)﹣a=0,解得a=.
故选:B.
【点评】本题考查的知识要点:直线垂直的充要条件,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于基础题.
14.已知=(2,﹣1,3),=(﹣1,4,﹣2),=(1,3,λ),若三向量共面,则实数λ等于( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】利用向量共面定理,设,即(1,3,λ)=(2m﹣n,﹣m+4n,3m﹣2n),列出方程组,能求出实数λ.
解:=(2,﹣1,3),=(﹣1,4,﹣2),=(1,3,λ),
三向量共面,
∴可设,即(1,3,λ)=(2m﹣n,﹣m+4n,3m﹣2n),
∴,解得m=1,n=1,λ=1.
∴实数λ等于1.
故选:A.
【点评】本题考查实数值的求法,考查向量共面定理等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
15.如果、分别是A、B的对立事件,下列选项中能判断事件A与事件B相互独立的是( )
A.B.
C.D.P(B|A)=P(A|B)
【分析】根据相互独立事件满足的关系即可判断A,根据假设即可判断BCD.
解:对于A,由P(A∩)=P(A)P(),且P()=1﹣P(B),可得P(A∩)=[1﹣P(B)]P(A)=P(A)﹣P(A)P(B),
所以P(AB)=P(A)﹣P(A∩)=P(AB),所以事件A与事件B相互独立,故A正确;
对于B,若事件A与事件B相互独立,则需满足P(AB)=P(A)P(B),
由于P()=P(A)P(B),所以于P()=P(AB),
故无法确定事件A与事件B相互独立,B错误;
对于C,P(B|A)=,P(B)=P(AB),
若事件A与事件B相互独立,则P(A)P(B)=P(AB)=P(B),则P(B)=0或P(A)=1,
故事件A为必然事件或事件B为不可能事件,
显然无法确定事件A与事件B相互独立,故C错误;
对于D,由P(B|A)=P(A|B),可得,即P(A)=P(B),无法确定事件A与事件B相互独立,故D错误.
故选:A.
【点评】本题考查概率的应用,属于中档题.
16.已知数列{an},设(n为正整数).若{an}满足性质Ω:存在常数c,使得对于任意两两不等的正整数i、j、k,都有(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=c,则称数列{an}为“梦想数列”.有以下三个命题:
①若数列{an}是“梦想数列”,则常数c=0;
②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”;
③“梦想数列”一定是等差数列.
以上3个命题中真命题的个数是( )个
A.3B.2C.1D.0
【分析】根据题意,结合“梦想数列”的定义,依次分析3个命题是否正确,综合可得答案.
解:根据题意,依次分析3个命题:
对于①,若数列{an}是“梦想数列”,则(i﹣j)mk+(j﹣k)mi+(k﹣i)mj=c,同时有(j﹣i)mk+(k﹣j)mi+(i﹣k)mj=c,必有c=0,①正确;
对于②③,令i=1,j=2,k=3,
有(1﹣2)+(2﹣3)+(3﹣1)=0,
变形可得a1+a3=2a2,即a1、a2、a3成三项成等差数列,
令i=1,j=2,k=n(n≥3),
则有(1﹣2)+(2﹣n)a1+(n﹣1)=0,
变形可得:2Sn+(n2﹣3n)a1﹣n(n﹣1)a2=0,
则有2Sn+1+(n2﹣2n﹣2)a1﹣n(n+1)a2=0,
两式相减可得:2an+1+2na1﹣2a1﹣2na2=0,
则有an+1=a1+nd,
所以有an=a1+(n﹣1)d(n≥4)成立,
又由当n=1、2、3时也成立,故“梦想数列”一定是等差数列,则②错误,③正确.
故选:B.
【点评】本题考查数列的应用,涉及等差、等比数列的判定和性质,属于中档题.
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)
17.一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球.
(1)从中有放回地依次摸出2个球,求两球颜色不同的概率;
(2)从中不放回地依次摸出2个球,记两球中白球的个数为X,求X的期望与方差.
【分析】(1)由互斥事件和相互独立事件的概率公式即得;
(2)由题意知x可能取0,1,2,根据取值对应的事件求出相应的概率,再代入期望和方差公式计算即可.
解:(1)记“摸出一球,放回后再摸出一球,两球颜色不同”为事件A,
摸出一球得白球的概率为,
摸出一球得黑球的概率为,
由互斥事件和相互独立事件的概率公式可得P(A)=;
(2)由题意知X的可能取值为0,1,2,
其中,P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
∴E(X)==,
D(X)=(0﹣)2×+(1﹣)2×+(2﹣)2×=,
即摸出白球个数的期望和方差分别是和,
【点评】本题考查运用概率知识解决实际问题的能力,属中档题.
18.已知各项均为正数的数列{an},其前n项和为Sn,a1=1.
(1)若数列{an}为等差数列,S10=70,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}为等比数列,a4=,求满足Sn>100an时n的最小值.
【分析】(1)设等差数列的公差为d,运用等差数列的求和公式,解方程可得d,进而得到所求通项公式;
(2)设等比数列的公比为q,由等比数列的通项公式可得q,再由等比数列的求和公式,解不等式可得n的最小值.
解:(1)数列{an}为公差为d的等差数列,S10=70,a1=1,
可得10+×10×9d=70,解得d=,
则an=1+(n﹣1)=n﹣;
(2)数列{an}为公比为q的等比数列,a4=,a1=1,
可得q3=,即q=,
则an=()n﹣1,Sn==2﹣()n﹣1,
Sn>100an,即为2﹣()n﹣1>100•()n﹣1,
即2n>101,可得n≥7,即n的最小值为7.
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
19.已知抛物线Γ1:y2=4x,Γ2:y2=2x,直线l交抛物线Γ1于点A、D,交抛物线Γ2于点B、C,其中点A、B位于第一象限.
(1)若点A到抛物线Γ1焦点的距离为2,求点A的坐标;
(2)若点A的坐标为(4,4),且线段AC的中点在x轴上,求原点O到直线l的距离.
【分析】(1)求得抛物线Γ1:y2=4x的焦点和准线方程,由抛物线的定义可得所求坐标;
(2)由中点坐标公式可得C的纵坐标,进而得到C的坐标,可得直线l的方程,运用点到直线的距离公式,可得所求距离.
解:(1)抛物线Γ1:y2=4x的焦点为(1,0),准线方程为x=﹣1,
若点A到抛物线Γ1焦点的距离为2,可得xA+1=2,解得xA=1,yA=2,即A(1,2);
(2)若点A的坐标为(4,4),且线段AC的中点在x轴上,
则yC=﹣4,代入抛物线Γ2:y2=2x,可得xC=8,即C(8,﹣4),
直线l的斜率为k==﹣2,
直线l的方程为y﹣4=﹣2(x﹣4),即为2x+y﹣12=0,
可得原点O到直线l的距离为d==.
【点评】本题考查抛物线的方程和性质,以及直线和抛物线的位置关系,考查方程思想和运算能力,属于中档题.
20.(18分)已知E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC、CD的中点,求:
(1)A1D与EF所成角的大小;
(2)二面角C﹣D1B1﹣C1的大小;
(3)点M在棱CD上,若A1M与平面B1C1CB所成角的正弦值为,请判断点M的位置,并说明理由.
【分析】(1)将,向量分别表示出来即可;(2)分别找到两个平面的法向量即可;(3)找到平面B1C1CB的法向量和代入公式计算即可.
解:设正方体棱长为1,以分别为x,y,z轴正方向,
建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz.D(0,0,0),A1(1,0,1),E(,1,0),F(0,,0),
D1(0,0,1),C(0,1,0),B1(1,1,1),
(1),,
设A1D 与EF所成角为θ,csθ==,
所以A1D与EF所成角的大小是60°;
(2)平面B1D1C1的一个法向量为=(0,0,1),
设平面CB1D1的一个法向量为,
,,由,
则有,得,令z=1,则,
设的夹角为α,,
由图可知二面角C﹣D1B1﹣C1为锐二面角,
所以二面角C﹣D1B1﹣C1大小为;
(3)设M(0,y,0),y∈[0,1],则,
平面B1C1CB的一个法向量为,
设A1M与平面B1C1CB所成角为β,
,,
所以当时,A1M与平面B1C1CB所成角的正弦值为.
【点评】本题考查利用空间向量求线面所成的角,二面角,异面直线所成的角,属于中档题.
21.(18分)椭圆C的方程为x2+3y2=4,A、B为椭圆的左右顶点,F1、F2为左右焦点,P为椭圆上的动点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若△PF1F2为直角三角形,求△PF1F2的面积;
(3)若Q、R为椭圆上异于P的点,直线PQ、PR均与圆x2+y2=r2(0<r<1)相切,记直线PQ、PR的斜率分别为k1、k2,是否存在位于第一象限的点P,使得k1k2=1?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【分析】(1)由已知易求椭圆的离心率;
(2)分∠F1PF2=,∠PF1F2=两种情况可求△PF1F2的面积;
(3)设P(x0,y0),则直线PQ的方程为y﹣y0=k1(x﹣x0),可得(﹣r2)﹣2x0y0k1+﹣r2=0,进而可得k1k2==1,可求P的坐标.
解:(1)由椭圆C的方程为x2+3y2=4,得标准方程为+=1,
∴a=2.c==,离心率e==.
(2)设|PF1|=m,|PF2|=n,
当∠F1PF2=时,=m2+n2,∴=(m+n)2﹣2mn,∴mn=,
此时;S=mn=×=,
由对称性,不妨设∠PF1F2=时,且P在第一象限,则P(,),
此时;S=××=,
综上,△PF1F2的面积为或.
(3)设P(x0,y0),则直线PQ的方程为y﹣y0=k1(x﹣x0),
由已知=r.∴(﹣r2)﹣2x0y0k1+﹣r2=0,
同理:(﹣r2)﹣2x0y0k2+﹣r2=0,
因而k1,k2,是方程(﹣r2)k2﹣2x0y0k+﹣r2=0 的两根,所以k1k2==1,
得=,由P在第一象限得P(1,1),
∴存在位于第一象限的点P,使得k1k2=1,点P的坐标为P(1,1).
【点评】本题考查椭圆的几何性质,考查三角形的面积,考查直线与椭圆的位置关系,属中档题.
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