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最新高考数学解题方法模板50讲 专题49 二项式定理常见的解题策略
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模
板
50
讲
专题49 二项式定理常见的解题策略
【高考地位】
二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.
类型一 求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
例1. 展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A．6 B．-6 C．24 D．-24
【变式演练1】二项式展开式中，项的系数为 ．
【变式演练2】的展开式中项的系数为20，则实数．
【变式演练3】【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．64D．-128
类型二 二项式系数的性质与各项系数和
例2 【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试】若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．
类型三 二项式定理的应用
例3 .设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1 C．11 D．12
【变式演练5】S＝Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)除以9的余数为________．
【高考再现】
1．（2021·天津高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
2．（2021·北京高考真题）展开式中常数项为__________．
3．（2021·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.
4.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
5.【2020年高考北京卷3】在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】的展开式中常数项是 （用数字作答）．
7．【2020年高考浙江卷12】设，则 ； ．
8.【2020年高考天津卷11】在的展开式中，的系数是_________．
【反馈练习】
1．【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】的展开式中的系数是（ ）
A．60B．80C．84D．120
2．【江西省吉安市2021届高三大联考】展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2B．4C．D．
3．【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测】式子的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．【湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测】若（a，b为有理数），则a=（ ）
A．-25B．25C．40D．41
5．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
6．【江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考】数列中，，（），则________
7．【上海市奉贤区2021届高三上学期一模】在展开式中，常数项为__________.（用数值表示）
8．【江苏省南通中学2020-2021学年高三上学期12月考前热身】已知，则________；________；________； ________.
9．【四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测】的展开式中的常数项是______.(用数字作答)
10．【上海市杨浦区2021届高三上学期一模（期末）】已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为__________（结果用数值表示）.
11．【上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）】在的二项展开式中，常数项等于____.
12．（2021·福建高三月考）已知，若，则______或______．
13．（2021·广东高三月考）的展开式中含的项的系数为________．
14．（2021·上海闵行区·闵行中学高三开学考试）已知二项式的展开式中，中间项的系数为160，则展开式的各项系数和为______．
15．（2021·广东广州市·）若，则的值为___________.万能模板
内 容
使用场景
求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数．
解题模板
第一步 首先求出二项展开式的通项；
第二步 根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
二项式系数的性质与各项系数和．
解题模板
第一步 观察题意特征，合理地使用赋值法；
第二步 区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
使用二项式定理处理整除问题
解题模板
第一步 通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；
第二步 再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；
第三步 得出结论.
模
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专题49 二项式定理常见的解题策略
【高考地位】
二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.
类型一 求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
例1. 展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A．6 B．-6 C．24 D．-24
【变式演练1】二项式展开式中，项的系数为 ．
【变式演练2】的展开式中项的系数为20，则实数．
【变式演练3】【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．64D．-128
类型二 二项式系数的性质与各项系数和
例2 【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试】若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．
类型三 二项式定理的应用
例3 .设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )
A．0 B．1 C．11 D．12
【变式演练5】S＝Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)除以9的余数为________．
【高考再现】
1．（2021·天津高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
2．（2021·北京高考真题）展开式中常数项为__________．
3．（2021·浙江高考真题）已知多项式，则___________，___________.
4.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
5.【2020年高考北京卷3】在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】的展开式中常数项是 （用数字作答）．
7．【2020年高考浙江卷12】设，则 ； ．
8.【2020年高考天津卷11】在的展开式中，的系数是_________．
【反馈练习】
1．【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】的展开式中的系数是（ ）
A．60B．80C．84D．120
2．【江西省吉安市2021届高三大联考】展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2B．4C．D．
3．【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测】式子的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
4．【湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测】若（a，b为有理数），则a=（ ）
A．-25B．25C．40D．41
5．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
6．【江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考】数列中，，（），则________
7．【上海市奉贤区2021届高三上学期一模】在展开式中，常数项为__________.（用数值表示）
8．【江苏省南通中学2020-2021学年高三上学期12月考前热身】已知，则________；________；________； ________.
9．【四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测】的展开式中的常数项是______.(用数字作答)
10．【上海市杨浦区2021届高三上学期一模（期末）】已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则展开式中的常数项为__________（结果用数值表示）.
11．【上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）】在的二项展开式中，常数项等于____.
12．（2021·福建高三月考）已知，若，则______或______．
13．（2021·广东高三月考）的展开式中含的项的系数为________．
14．（2021·上海闵行区·闵行中学高三开学考试）已知二项式的展开式中，中间项的系数为160，则展开式的各项系数和为______．
15．（2021·广东广州市·）若，则的值为___________.万能模板
内 容
使用场景
求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数．
解题模板
第一步 首先求出二项展开式的通项；
第二步 根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
二项式系数的性质与各项系数和．
解题模板
第一步 观察题意特征，合理地使用赋值法；
第二步 区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；
第三步 得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
使用二项式定理处理整除问题
解题模板
第一步 通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；
第二步 再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；
第三步 得出结论.
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