最新高考数学解题方法模板50讲 专题29 简单几何体表面积和体积的综合问题

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板
50
讲
专题29 简单几何体表面积和体积的综合问题
【高考地位】
在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题. 在高考中主要的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题. 因此，牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.
类型一 简单几何体的表面积、体积等问题
例1.用半径为2，弧长为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（ ）
A．B．C．D．
【来源】广西柳州市2021届高三摸底考试数学（文）试题
【答案】B
【分析】
利用扇形的弧长求出圆锥底面的半径，继而求解圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即得解
【详解】
令圆锥底面半径为，则，因此
圆锥的高为：
圆锥的体积
故选：B
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面展开图的面积及圆锥的体积，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题
【变式演练1】已知圆柱的底面半径为2，侧面展开图为面积为的矩形，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【来源】广东省深圳市光明区2022届高三上学期8月第一调研数学试题
【答案】A
【分析】
根据已知条件求得圆柱的高，由此求得圆柱的体积.
【详解】
设圆柱的高为，则，
所以圆柱的体积为.
故选：A
【变式演练2】如图，已知，分别是正方体的棱，的中点，平面将正方体分成两部分，则此两部分的体积之比为（ ）
A．（或）B．（或）
C．（或）D．（或）
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（八）数学（文）试题【变式演练2】
【答案】B
【分析】
设正方体的棱长为，连接AF，AC，则 ，从而即可求出两部分的体积之比.
【详解】
如图，设正方体的棱长为，连接AF，AC，则 ，
∴所求两部分的体积之比为，【变式演练2】
故选：B.
【变式演练3】如图，已知平面，､是上的两个点，､在平面内，且，，，，，在平面上有一个动点，使得，则体积的最大值是（ ）

A．B．16C．48D．144
【来源】专题4.4 立体几何中最值问题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题
【答案】C
【分析】
由题设条件知两个直角三角形与是相似的直角三角形，可得出，作，垂足为，令，将四棱锥的体积用表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．
【详解】
∵面，，∴.
∵，，∴和均为直角三角形.
∵，∴.∵，，∴.
过作，垂足为.则.
令，.
则，
即，∴，
∴.
底面四边形为直角梯形面积为.
∴.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：由题设条件得出三角形的性质：两邻边的值有2倍的关系，第三边长度为6，引入一个变量，从而利用函数的最值来研究体积的最值，是将几何问题转化为代数问题求解的思想．
类型二 以数学文化为载体的空间几何体的表面积、体积问题
例2．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（ ）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）．
A．B．C．D．
【来源】福建省南安第一中学2021届高三二模数学试题
【答案】B
【分析】
先根据题意判断球形容器表面积最小时，直径等于一组正四棱柱的体对角线长，得到球半径，即求得最小表面积.
【详解】
若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱的体对角线长，即，所以，球形容器的表面积．
故选：B．
例3.生活中有很多球缺状的建筑．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测数学试题
【答案】C
【分析】
设小球缺的高为，大球缺的高为，则，由球冠面积比可得，与的关系，再把球缺体积用含有的代数式表示，则答案可求．
【详解】
设小球缺的高为，大球缺的高为，则，
由题意可得，，则，
，即，，
小球缺的体积；
大球缺的体积．
小球缺与大球缺的体积比为．
故选：C．
【变式演练4】《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的（ ）
A．B．
C．D．
【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（一）
【答案】C
【分析】
由题意结合柱体的体积公式可知高没变，底面积变为一半，而底面是等腰直角三角形，从而可求出边长间的关系，进而可求得答案
【详解】
水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半，
因为底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的，
所以水面高度占AB的，
故选：C.
【变式演练5】如图所示为学生常用的等腰直角三角形三角板，图中，，均为等腰直角三角形，直角边长度分别为和，两斜边距离为1.现将该三角板绕斜边进行旋转，则图中阴影部分形成的几何体体积是（ ）（单位）
A．B．C．D．
【来源】浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021-2022学年高三上学期返校考试数学试题
【答案】C
【分析】
由等腰三角形性质和旋转可知：阴影部分形成的体积为大的三棱锥体积减去挖空部分.
【详解】
阴影部分形成的体积为大的三棱锥体积减去挖空部分，
，
.
故选：C
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.
【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
2．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【答案】B
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【解析】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨.
故选：B.
3．【2020年高考全国Ⅰ卷文理3】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【解析】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去），故选C．
【专家解读】本题的特点是注重正棱锥中截面直角三角形的应用，本题考查了正四棱锥的概念及面积的计算，考查正四棱锥中截面的性质，考查数学运算、直观想象等学科素养．正确进应用截面性质是解题的关键．
4．【2020年高考全国Ⅱ卷理数7】右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路导引】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得点在侧视图中对应的点．
【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，
图中标出了根据三视图点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为，故选：A．
【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了根据三视图判断点的位置，考查直观想象学科素养．解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法．
5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数9理数8】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积．
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，
根据立体图形可得：，根据勾股定理可得：，是边长为的等边三角形，根据三角形面积公式可得：
，该几何体的表面积是：，故选C．
【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法．
6．【2020年高考浙江卷5】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】A
【思路导引】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积．
【解析】如图，几何体是上下结构，下面是三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边为2，高为1，三棱柱的高是2，上面是三棱锥，平面平面，且，三棱锥的高是1，∴几何体的体积．
故选A．
【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了根据三视图计算几何体的体积，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法．
7．【2020年高考北京卷4】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意正三棱柱的高为2，底面的边长为2，该三棱柱的表面积为，故选D．
【专家解读】本题的特点是注重空间想象能力的考查，本题考查了根据三视图计算几何体的体积，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法．
【反馈练习】
1．古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理：“如果同一个平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形的面积乘以重心前旋转所得周长”.如图，半圆的直径cm，点是该半圆弧的中点，半圆弧与直径所围成的半圆面（不含边界）的重心位于对称轴上.则运用帕普斯的上述定理可以求出（ ）
A．cmB．cm
C．cmD．cm
【来源】贵州省贵阳市五校（贵州省实验中学、贵阳二中、贵阳八中、贵阳九中、贵阳民中）2022届高三联合考试（一）数学（理）试题
【答案】C
【分析】
取直线为旋转轴，设，解方程即得解.
【详解】
取直线为旋转轴，设，
由帕普斯得定理知，又,
所以，即，
故选：C．
2．大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中，“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”实际是知道了球的体积，利用球的体积，求其直径的一个近似值的公式：，而我们知道，若球的半径，则球的体积，则在上述公式中，相当于的取值为（ ）
A．3B．C．D．
【来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月文科数学调研试题
【答案】C
【分析】
由得，比较可得答案.
【详解】
由得，
比较，相当于的取值为．
故选：C.
3．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）
A．B．C．D．
【来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研数学试题
【答案】B
【分析】
设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由已知周长求得和，代入圆台的侧面积公式，即可求解.
【详解】
设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
可得，可得，
又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为.
故选：B.
4．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．这个原理能够帮助人们计算3D打印时的材料耗费问题.3D打印属于快速成形技术的一种，是将粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层喷涂，逐渐堆叠累积的方式来构造物体的技术，可以用来制造结构复杂的物件．根据祖暅原理，对于3D打印制造的零件，如果能找到另一个与其高相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算该几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D打印技术制造一个零件，其在高为h的水平截面的面积为，则该零件的体积为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01（新高考专用）
【答案】C
【分析】
易知该零件的体积为以2为半径的半球的体积，根据祖暅原理，即可得到该零件的体积
【详解】
解：由祖暅原理可知，该零件在高为h的水平截面的面积为，恰好与一个半径为2的半球在高为h处的水平截面面积一致，
所以该零件的体积为半球的体积，
故选：C
5．已知圆锥的顶点为，母线，，两两垂直且长为3，则该圆锥的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【来源】福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）数学试题
【答案】C
【分析】
由三条母线两两垂直且相等得底面圆的内接正三角形边长，由正弦定理得底面圆半径，再求得高后可得体积．
【详解】
由题意可得为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长为，
由正弦定理，，圆锥的高，
由圆锥的体积公式得，
故选：C．
6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年天津高考数学试题
【答案】B
【分析】
作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】
如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，
设圆锥和圆锥的高之比为，即，
设球的半径为，则，可得，所以，，
所以，，，
，则，所以，，
又因为，所以，，
所以，，，
因此，这两个圆锥的体积之和为.
故选：B.
7．卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，由美籍华人建筑师贝聿铭设计，已成为巴黎的城市地标.金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【来源】“陕西名校”2021届高三5月检测数学（理）试题
【答案】A
【分析】
首先求出外接球的半径，取的中点，连接、，过作，即可得到面，从而得到为点到面的距离，再根据相似三角求出即可；
【详解】
解：设为在面内的投影，则，，设为外接球的球心，则，，，所以，解得，取的中点，连接、，过作，依题意可得，，，面，所以面，又面，所以面面，又面面，面，所以面，即为点到面的距离，
因为
则，即，所以
故选：A
17．（多选）“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为的半球的体积，则（ ）（参考数据：）

A．这两碗馅料最多可包三角粽35个
B．这两碗馅料最多可包三角粽36个
C．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个
D．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个
【来源】广东省2022届高三上学期金太阳大联考开学数学试题
【答案】AC
【分析】
分别求出一个正四面体状的三角粽的体积，一个圆柱状竹筒粽得体积及两碗馅料得体积，即可得出答案.
【详解】
解：两碗馅料得体积为：，
如图，在正四面体中，CM为AB边上得中线，O为三角形ABC的中心，则OD即为正四面体的高，
，，，
所以正四面体的体积为，
即一个正四面体状的三角粽的体积为，
因为，
所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A正确，B错误；
一个圆柱状竹筒粽得体积为，
因为，
所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误.
故选：AC.
18．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动，如图所示．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D满足，，则点A到平面的距离为______，该“鞠”的表面积为___________．
【来源】广东省2021届高三下学期4月联考数学试题
【答案】
【分析】
设球心为O，设的中心为，取的中点F，连接，根据线面垂直的判定可证得平面，从而求解三角形可求得，在平面中过点A作的垂线，与的延长线交于点E，由平面，得，故平面，过点O作于点G，解三角形可求得点A到平面的距离．设球的半径为R，，根据勾股定理建立方程可求得球半径，由此可得答案.
【详解】
由已知得均为等边三角形．如图所示，
设球心为O，设的中心为，取的中点F，连接，则，得平面，
则，而，所以．
在平面中过点A作的垂线，与的延长线交于点E，由平面，得，故平面，
过点O作于点G，则四边形是矩形．则，，
，即点A到平面的距离为，．
设球的半径为R，，则由，得，，
解得，故三棱锥外接球的表面积．
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
19．阿基米德是古希腊的一位著名的数学家，有一种空间几何体便以他的名字命名为“阿基米德立体”.“阿基米德立体”是一种高度对称的“半正多面体”(如图)，并且都是可以从正多面体经过截角､截半､截边等操作构造而成，它的所有顶点都是正多面体各棱的中点，且它的三个视图全都一样.现将一个棱长为10的正方体木块加工成一个“阿基米德立体”工艺品，则所得的“阿基米德立体”工艺品共有___________个面，其表面积为___________.
【来源】全国Ⅲ卷2021届高三数学（文）模拟试题（三）
【答案】14
【分析】
根据正方体结构特征可知：“阿基米德立体”工艺品共有8+6=14个面；
其中包括8个全等的等边三角形和6个全等的正方形，根据棱长可计算表面积.
【详解】
解：∵正方体有8个顶点､6个面，
∴所得的“阿基米德立体”工艺品共有8个全等的三角形面和6个正方形面组成，
共计14个面；
表面积为：cm2.
故答案为：14；.
【点睛】
本题考查空间几何体的表面积算法，考查数学运算能力和空间想象能力.
20．如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．
【来源】湖南省天壹名校联盟2021-2022学年高三上学期入学摸底考试数学试题
【答案】8
【分析】
根据所给条件求得各边长，再分割，即可得解.
【详解】
由平面ABC∥平面FEDG且同时和平面相交，可得∥，
由BG⊥平面ABC可得BG⊥平面FEDG，
所以AF⊥平面FEDG,
由∠FGD＝90°则，所以，
所以，由BG＝2得，
所以，由，则，
所以
.
故答案为：8.
21．我国古代的帝王曾经热衷于玩一种名叫“六博”的游戏.玩游戏时需要使用一种类似于现代的骰子的名叫“茕”的物品.考古发现最早的“茕”为一个十四面体，可由一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去三棱锥（共八个）得到.若“茕”的棱长为，则这枚“茕”的体积为______.
【来源】浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高三上学期暑期阶段性测试试题
【答案】
【分析】
先求出正方体的边长，由正方体的体积减去八个三棱锥的体积得解．
【详解】
如图所示，由题得所以正方体的边长为，
该几何体“茕”是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
该几何体“茕”的体积为：．
故答案为：．
22．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有阳马侧棱长为4，且水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
【来源】重庆市缙云教育联盟2022届高三上学期8月月度质量检测数学试题
【答案】
【分析】
先利用斜二测的定义确定底面边长，再利用直观图确定外接球半径，求得球的体积即可.
【详解】
如图所示：，由斜二测性质可知，，
过矩形中心O作直线垂直底面，交PC于Q，则Q是PC的中点，故Q到顶点A、B、C、D、P的距离均相等，即为外接球球心，而，则，所以球半径，所以球的体积为.
故答案为：.
23．词语“鳖膈”等出现自我国数学名著《九章算术·商功》，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖膳”，如图，三棱锥是一个鳖，其中，三棱锥的接球的表面积为12，，则三棱锥的体积的最大值为__________．
【来源】全国I卷2021届高三二轮联考（三）数学（文）试题
【答案】
【分析】
先求出三棱锥的外接球的半径为再证明为三棱锥的外接球的直径，由题意得到，利用基本不等式得到，即可求出三棱锥的体积的最大值.
【详解】
由题意，三棱锥的外接球的表面积为，即，则三棱锥的外接球的半径为
因为,所以面BCD，所以 BD.
同理可证：.
所以为三棱锥的外接球的直径.所以，
，当且仅当时等号成立，
所以三棱锥的体积的最大值为
故答案为：
24．我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子)，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线､直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.过()作的水平截面，所得截面面积(用表示)，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为___________.
【来源】江苏省无锡市锡山区天一中学2021届高三高考数学全真模拟试题（一）
【答案】
【分析】
根据祖暅原理计算可得体积.
【详解】
.过点的直线与抛物线的交点为，.
∵直线为曲线在点处的切线，则切线的斜率为，
切线方程为.
过点的直线与切线的交点为，
用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环，
截面面积为；
取底面直径与高均为1的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆，
圆的半径为，截面面积为，符合题意.
则体积等于圆锥的体积等于.
故答案为：.
万能模板
内 容
使用场景
空间几何体的表面积、体积问题
解题模板
第一步 确认几何体类型；
第二步 确认底面、高、母线等几何量；
第三步 根据简单的空间几何体的表面积和体积的计算公式即可求出所求的结果.
万能模板
内 容
使用场景
数学文化或几何应用
解题模板
第一步 阅读文字背景，理清题意所介绍内容；
第二步 通过联想与对比，确认所提及几何体的类型；
第三步 根据要求结合空间几何体的表面积和体积的计算公式进行推算.