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重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附答案）
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这是一份重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附答案），共10页。
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．在边长为1的菱形中，，若点，满足，，其中且，则的最大值为（ ）
A．B．3C．D．
6．在△ABC中，，点D在上，，，则（ ）
A．8B．10C．12D．16.
7．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13B．C．5D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ）
A．若，则B．若在直线上，则
C．若为纯虚数，则D．若在第四象限，则
10．已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数B．对应的点位于第二象限
C．D．
11．已知△ABC中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．△ABC的面积为
C．
D．在△ABE的外接圆上，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，则与同向的单位向量为 .
13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则 ．
14．在△ABC中，角的对边分别为，已知，，，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在锐角△ABC中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
16．（15分）在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.
(1)，计算与；
(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.
17．（15分）设△ABC的外接圆半径是均为锐角，且.
(1)证明：△ABC不是锐角三角形；
(2)证明：在△ABC的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有.
18．（17分）记△ABC的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，点分别在等边△DEF的边上（不含端点）.若面积的最大值为，求.
19．（17分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.
(1)设复数，，求、的三角形式；
(2)设复数，，其中，求；
(3)在△ABC中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
重庆市2023-2024学年（下）3月月度质量检测
高一数学答案及评分标准
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D2．C3．D4．D
5．C6．C7．B8．A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．CD10．AD11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．1
14．/
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）由题意，根据正弦定理可得，
则，展开可得，
.
（2）由正弦定理，
则
，其中，
∵△ABC是锐角三角形，，.
，，
显然，当时，，
.
16．（1）根据可得，；
且，所以.
（2）因为，
所以，可得；
因为，所以，
因此，
所以，当且仅当时取等号，此时向量满足.
17．（1）证明：记在△ABC中，所对的边分别长度为.
根据正弦定理，有，所以.
根据，有，得到，
因为都是锐角，根据的(复合函数)单调性得到，
所以，所以，所以△ABC不是锐角三角形；
（2）因为，所以，
所以，所以，得到，
设△ABC外接圆圆心为，则有，
得到对平面上所有成立，必须有，
根据是直角和平面几何知识,得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一.
18．（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
即，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以，
在中，有
，
，，；
（2）由（1）可知，由于面积的最大值为，
则，得，所以的最大值为，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
在△ACD中，由正弦定理得所以，得，
在△ABE中，由正弦定理得，
所以，得，
所以
，
其中，所以当时，取得最大值，
所以，
所以，所以，
即，所以，
解得或（舍去）.
19．（1）
,
；
（2）设，的模为，的模为，，
对于有，，
对于有，，
所以，
所以，
，
所以无意义，即的角的终边在轴上，
又，
所以，即
（3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则，
所以，
即，
即
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．在边长为1的菱形中，，若点，满足，，其中且，则的最大值为（ ）
A．B．3C．D．
6．在△ABC中，，点D在上，，，则（ ）
A．8B．10C．12D．16.
7．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（ ）
A．13B．C．5D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ）
A．若，则B．若在直线上，则
C．若为纯虚数，则D．若在第四象限，则
10．已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数B．对应的点位于第二象限
C．D．
11．已知△ABC中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．△ABC的面积为
C．
D．在△ABE的外接圆上，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，则与同向的单位向量为 .
13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则 ．
14．在△ABC中，角的对边分别为，已知，，，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在锐角△ABC中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
16．（15分）在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.
(1)，计算与；
(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.
17．（15分）设△ABC的外接圆半径是均为锐角，且.
(1)证明：△ABC不是锐角三角形；
(2)证明：在△ABC的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有.
18．（17分）记△ABC的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，点分别在等边△DEF的边上（不含端点）.若面积的最大值为，求.
19．（17分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.
(1)设复数，，求、的三角形式；
(2)设复数，，其中，求；
(3)在△ABC中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①；
②，，.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
重庆市2023-2024学年（下）3月月度质量检测
高一数学答案及评分标准
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D2．C3．D4．D
5．C6．C7．B8．A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．CD10．AD11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．1
14．/
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）由题意，根据正弦定理可得，
则，展开可得，
.
（2）由正弦定理，
则
，其中，
∵△ABC是锐角三角形，，.
，，
显然，当时，，
.
16．（1）根据可得，；
且，所以.
（2）因为，
所以，可得；
因为，所以，
因此，
所以，当且仅当时取等号，此时向量满足.
17．（1）证明：记在△ABC中，所对的边分别长度为.
根据正弦定理，有，所以.
根据，有，得到，
因为都是锐角，根据的(复合函数)单调性得到，
所以，所以，所以△ABC不是锐角三角形；
（2）因为，所以，
所以，所以，得到，
设△ABC外接圆圆心为，则有，
得到对平面上所有成立，必须有，
根据是直角和平面几何知识,得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一.
18．（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
即，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以，
在中，有
，
，，；
（2）由（1）可知，由于面积的最大值为，
则，得，所以的最大值为，
因为，所以，
因为，所以，
设，则，
在△ACD中，由正弦定理得所以，得，
在△ABE中，由正弦定理得，
所以，得，
所以
，
其中，所以当时，取得最大值，
所以，
所以，所以，
即，所以，
解得或（舍去）.
19．（1）
,
；
（2）设，的模为，的模为，，
对于有，，
对于有，，
所以，
所以，
，
所以无意义，即的角的终边在轴上，
又，
所以，即
（3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线，过作的平行线，交于点，则，
所以，
即，
即
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得，
所以，，
同理，，
，，
所以，，，.
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