2024年陕西省渭南市澄城县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年陕西省渭南市澄城县中考一模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年陕西省渭南市澄城县中考一模数学试题原卷版docx、2024年陕西省渭南市澄城县中考一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念即可作出判断，中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．正确把握中心对称图形的概念是解题关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不合题意；
B、不是中心对称图形，不合题意；
C、不是中心对称图形，不合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图是
故选A．
4. 关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程中求出m的值即可.
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0，
∴，
∴，
故选：C．
5. 如图，反比例函数（，且k为常数）的图象与直线（，且a为常数）交于、B两点，则点B的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据反比例函数的对称性可知点A和点B关于原点对称，据此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数（，且k为常数）图象与直线（，且a为常数）交于、B两点，
∴由反比例函数的对称性可知，点B的坐标为，
故选：D．
6. 如图，是等腰直角三角形，，点D在的延长线上，，连接，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，先根据等腰直角三角形的性质得到，再解直角三角形得到，则，进而得到，再根据正切的定义可得．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7. 如图，是的一条弦，点C是的中点，连接，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，平行线的性质，连接，先由圆周角定理得到，再由等边对等角得到，进一步由平行线的性质得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．

8. 已知二次函数(m是常数)的图象与x轴没有公共点，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的图象与性质，掌握抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．根据图象与轴有交点，得出判别式，解得；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向下，且当时，y随x的增大而增大，得出，从而得出答案．
【详解】解：∵二次函数(m为常数)的图象与轴有交点，
∴，
解得：，
∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，且当时，y随x的增大而增大，
∴，
∴实数m的取值范围是．
故选：C．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 阳光下广告牌的影子属于_______投影（填“中心”或“平行”）．
【答案】平行
【解析】
【分析】根据平行投影中心投影的定义判断即可．
【详解】解：阳光下广告牌的影子属于平行投影．
故答案为：平行．
【点睛】本题考查平行投影，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握平行投影，中心投影的定义，属于中考常考题型．
10. 如图，点O是正五边形的中心，连接，于点F，则的度数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆的位置关系，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线以及记熟正多边形的有关性质是解题关键．
【详解】解：连接，
∵点O是正五边形的中心，
∴，
，
故答案为：．
11. 如图，点是线段的黄金分割点（即），若以为一边的正方形的面积为，以为长，为宽的矩形的面积，则___________．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
【详解】详解：∵C是线段的黄金分割点，且，
∴，
又∵表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，
∴，，
∴．
故答案为：．
12. 如图，反比例函数经过A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，过点B作轴于点E，连结AD，已知、、．则＝_______．
【答案】．
【解析】
【分析】过点A作轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，根据，可得k的值，即可得到矩形ACOH和矩形ACDF的面积，进而可求出．
【详解】解：过点A作轴于点H，交BD于点F，则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，如图：
∵，反比例函数经过B点
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为．
【点睛】此题主要考查的知识有：反比例函数系数k的几何意义和性质，通过矩形的面积求出k的值是解本题的关键．
13. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转得到，取的中点E，的中点F，连接，则在旋转过程中，线段的最小值为___________．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由勾股定理可知，根据题意可得，，由三边关系可知，，当、、三点在同一直线上时取等号，即可求解，解题的关键是掌握旋转前后，对应边线段及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
由旋转可知，，，
∵点为中点，点为的中点，
∴，，
在中，由三边关系可知，，当、、三点在同一直线上时取等号，
∴，
∴线段的最小值为2．
故答案为：2．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解方程：x（x+2）＝5（x+2）．
【答案】x1＝﹣2，x2＝5
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：x（x+2）＝5（x+2），
x（x+2）﹣5（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣5）＝0，
∴x+2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
15. 如图，在中，点D、E分别在边上，连接，若，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例得，即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
16. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻R为时，求电流I的大小．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，进而求出当时，I的值即可得到答案．
【详解】解：设电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为，
把代入中得：，
∴，
∴电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为，
∴当时，，
∴电流I的大小为．
17. 如图，在中，，请你利用尺规作图，在求作一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查作图﹣相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
理由：由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
18. 如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．

【答案】（答案不唯一），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可.
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，即，
又∵，
∴．
19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图．
（1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）；
（2）以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转：
（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可；
（2）根据旋转方式找到A、B、C对应点、、的位置，然后描出、、，最后顺次连接、、即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
20. 每年的3月5日是学雷锋纪念日，为了弘扬雷锋精神，某校组织“三月春风暖人心，雷锋精神永传承”活动，此次活动共有4名志愿者进行活动宣传，其中七年级有两名女生志愿者，八年级和九年级各有一名男生志愿者．
（1）若从这4名志愿者中随机选取一名志愿者谈谈自己的感受，则抽到___________年级学生的可能性最大；
A．七 B．八 C．九
（2）现在要从这4名志愿者中随机抽取两名学生谈谈自己的感受，请你用列表或画树状图的方法求抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）A （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）分别计算出抽取到三个年级的概率即可得到答案；
（2）画出树状图得出所有等可能的情况数，找出这2名同学恰好是一男一女的情况数，即可求出所求概率．
【小问1详解】
解：∵一共有4名志愿者，每名志愿者被选取概率相同，
∴抽到七年级学生的概率为，抽到八年级学生的概率为，抽到九年级学生的概率为，
∵，
∴抽到七年级学生的可能性最大，
故答案为：A；
【小问2详解】
解：用A、B表示七年级的两名女生，用C、D分别表示八年级的男生和九年级的男生，画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数有8种，
∴抽到的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．
21. 如图，一广场上灯柱的高为，是该广场上的一座建筑，小强站在F处发现自己的眼睛E、灯柱的顶端C和建筑的顶端A恰好在一条直线上，已知小强的眼睛到地面的高度，小强到灯柱的距离，灯柱到该建筑底端的距离，且F，D、B在同一水平线上，，，，请你帮助小强求出该广场上的建筑的高度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，过点E作分别交于H、G，则四边形，四边形都是矩形，据此求出的长度，再证明，得到，代值计算出的长度即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作分别交于H、G，则四边形，四边形都是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴该广场上的建筑的高度为．
22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数交于点，两点，直线与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的关系式和点B的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）先根据可求出反比例函数解析式，从而可得点的坐标；
（2）根据点的坐标，利用待定系数法即可得一次函数的解析式，再求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得．
【小问1详解】
解：将点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
∴；
【小问2详解】
将点，代入得：，
解得，
则一次函数的解析式为，
当时，，解得，
，则，
则的面积为．
23. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，倾斜屋顶上的E处到水平线的距离为米，C、D、E在同一直线上，且．求安装热水器的铁架水平横管的长度（参考数据：，，，，，，结果精确到米）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于G，则四边形是矩形，可得，解得到，解得得到，则．
【详解】解：如图所示，过点B作于G，则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴安装热水器的铁架水平横管的长度约为．
24. 如图，四边形是的内接四边形，，，连接、，过点C的切线与的延长线交于点E．

（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质定理，角平分线的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）连接，，先由切线的性质及圆周角定理证明，再证明，，，即可证明，进而可得，再借助，可证，即可证明平分；
（2）过点作，易知，再根据勾股定理及等面积法求出即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，，

∵与相切，
∴，则，
由圆周角定理可知：，
∵，则，
∴，则，
∴
∴，
∵，
∴，则，
又∵是的直径，
∴，
由圆周角定理可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：过点作，
∵，平分
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴．
25. 王老师在一次数学实践课上请同学们设计公园装饰景观灯，提供了两个素材．
素材1：某公园计划修建一个如图所示的景观灯，灯柱高为，抛物线形灯杆的最高点距离地面，且到灯柱的水平距离为，灯泡到地面的距离为．（灯泡大小忽略不计）
素材2：为使景观灯更加美观牢固，灯柱两边对称安装此抛物线形灯杆，灯泡C、D关于对称（C、D分别在这两个抛物线上），并在两个灯泡之间修建一个支架．
小张同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他完成以下两个任务：
（1）求该抛物线在第一象限的函数表达式：（不要求写自变量x的取值范围）
（2）小张同学设计的支架长为，请你结合已学知识，判断他设计的景观灯支架的长度是否符合要求，并说明理由．
【答案】（1）
（2）他设计的景观灯支架的长度符合要求，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）由题意得，该抛物线顶点坐标为，再把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可；
（2）在求出当时，x的值，即可求出点D的坐标，进而求出点C的坐标即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意得，该抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴该抛物线在第一象限的函数表达式为；
【小问2详解】
解：他设计的景观灯支架的长度符合要求，理由如下：
在中，当时，
解得或（舍去），
∴，
∵灯泡C、D关于对称
∴，
∴，
∴他设计的景观灯支架的长度符合要求．
26. 【问题背景】
如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接．
【初步探究】
（1）求证：；
（2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比；
【拓展提升】
（3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存，4或10
【解析】
【分析】（1）在和中，易得，，故可得；
（2）易得正方形的面积，根据，可得，再求出，，即可求解.
（3）分两种情况讨论：和，根据两种情况列出关系式进而求解．
【详解】（1）证明：在正方形中，，
∴．
∵，
∴
（2）解：∵正方形的边长为8，
∴正方形的面积
，
∴
∵，点E 是 的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的相似比为．
（3）解：存在实数x，使得以点 P、F、E为顶点的三角形与相似．
理由如下：如图2，连接，

若，则，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴四边形为矩形，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴，即．
如图3，连接．

若，则，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴点F为的中点
∴，
∴．
∵，即 ，
∴，
∴，即．
综上所述，满足条件的x的值为4或10．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．