广东省中山市西湾外国语学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含解析）

这是一份广东省中山市西湾外国语学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（本卷共25小题，试卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．x≥2C．x≤2D．x≠2
2．三角形边长分别为下列各数，其中能围成直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．如图，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=5cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点，添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．B．C．D．
6．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
7．在ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A．AB=BCB．AC=BDC．AC⊥BDD．AB⊥BD
8．在平行四边形中，对角线与相交于点，以点为坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．平行四边形两邻边长分别为和，它们的夹角（锐角）为，则平行四边形中较短的对角线的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．已知点，与轴上的点距离为，则点坐标为 ．
12．实数在数轴上的位置如图所示，化简= ．
13．菱形有一个内角是，边长为，则它的面积是 ．
14．若的周长为48，且，则 ．
15．若，则 ．
16．如图，一根橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，其中A点坐标（0,0）,B点坐标（8,0），然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm.
17．在△ABC中，AB＝12，AC＝5，BC＝13，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则PM的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，满分62分）
18．计算：
19．已知：如图，四边形中，，求四边形的面积．
20．已知：如图，M是矩形外一点，连接、、、，且．
求证：．

21．已知，，计算：
（1）
（2）
22．ABC 的三边长分别是 a，b，c，且 a=-1，b=2n，c=+1．
(1)判断三角形的形状，并说明理由．
(2)若以边 b 为直径的半圆的面积为2π，求ABC的面积．
23．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
24．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；．根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)运用分母有理化，化简：；
(2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由；
(3)计算：的值．
25．如图，四边形ABCD中，,E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相较于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解．
【解答】解：由题意得：
，
解得，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2．B
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：、，即以，，为边不能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
、，即以，，为边能组成直角三角形，故该选项符合题意；
、，即以，，为边不能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
、，即以，，为边不能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：．
【点拨】
此题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．
3．C
【分析】根据在□ABCD中，AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠AEB，即AB=BE，即可求出EC的长度.
【解答】∵在□ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AD=8cm，AB=5cm，
∴BE=5cm，BC=8cm，
∴CE=8-5=3cm，
故选C.
【点拨】本题是对平行四边形知识的考查，熟练掌握平行四边形性质及角平分线知识是解决本题的关键.
4．D
【分析】根据算术平方根，平方差公式，二次根式的运算逐一判断即可．
【解答】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了算术平方根，平方差公式，二次根式的运算，熟练掌握相关知识是解题关键．
5．C
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项推理证明即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵，
∴ED=CB，
∴四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
根据，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C符合题意；
D、∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论．
【解答】解：∵O是AC、BD的中点，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
故选：A．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7．B
【解答】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形的判定可知：
添加条件AC=BD，即可推出ABCD是矩形.
故选：B.
8．D
【分析】根据平行四边形是中心对称图形的特点可知，点关于原点对称，即可获得答案．
【解答】解：∵的对角线与相交于坐标原点，
∴点关于原点对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、坐标与图形以及中心对称的性质，解题关键是根据平行四边形的性质得到点关于原点对称．
9．A
【分析】作AE⊥BC于E点，由30°角的性质求出BE，由勾股定理求出AE，然后在Rt△ACE中根据勾股定理即可求出AC的值.
【解答】解：作AE⊥BC于E点．
∵∠ABC=60°，AB=2，
∴BE=1，
∴AE==.
∵BC=3，
∴CE=2，
∴AC=.
故选A.
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.
10．C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB＜OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，
∴AB＜OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
∴OE=BC，故④正确．
故选C．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
11．或
【分析】本题考查勾股定理，坐标与图形的性质，根据题意在平面直角坐标系中找到点，，然后根据勾股定理来确定点的坐标．解题的关键是根据题意画出图形并应用勾股定理求解．
【解答】解：如图所示：符合条件的点有两个．
∵点，
∴，
∵与轴上的点距离为，
∴，
∴在中，，
当点在轴上方时，它的坐标为，
当点在轴下方时，它的坐标为，
综上所述，点的坐标是或．
故答案为：或．

12．
【分析】利用实数与数轴的关系判断的符号，再根据二次根式的性质化简即可得到答案．
【解答】解：由图可知：，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了二次根式的性质与化简，根据实数与数轴的关系判断的符号是解题关键．
13．
【分析】
先求菱形的高，再运用公式：底高计算．可画出草图分析．
【解答】
解：如图，，．
作于，则．
面积，
故答案为：．
【点拨】
本题考查的是菱形的面积求法．菱形的面积有两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积两条对角线的乘积．具体用哪种方法要看已知条件来选择．
14．8
【分析】根据平行四边形的性质可得，再由周长为48可得邻边之和为24，然后根据计算出即可．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的周长为48，
，
．
故答案为：8．

【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边相等．
15．1
【分析】根据非负数之和为零，确定的值，再将代入代数式求解即可
【解答】，
【点拨】本题考查了非负数之和为零，代数式求值，有理数的乘方运算，二次根式和绝对值的非负性，理解二次根式和绝对值的非负性是解题的关键．
16．2
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5（cm）；
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故答案是：2．
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．
【分析】根据题意可证△ABC是直角三角形，则可以证四边形AEPF是矩形，可得AP=EF，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得AP=EF=2PM，则AP值最小时，PM值最小，根据垂线段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值．
【解答】解：连接AP，
∵AB2+AC2＝169，BC2＝169
∴AB2+AC2＝BC2
∴∠BAC＝90°，且PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形
∴AP＝EF，∠EPF＝90°
又∵M是EF的中点
∴PM＝EF
∴当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小．
根据 垂线段最短，即当AP⊥BC时AP值最小
此时S△ABC＝AB×AC＝BC×AP
∴AP＝
∴EF＝
∴PM＝
故答案为
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EF=AP
18．2
【分析】利用平方差公式，根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．
【解答】原式=
=
=．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
19．．
【分析】
连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】
解：如图所示，连接．
∵
∴，
在中，，
∴是直角三角形，
∴，
，
．
故四边形ABCD的面积为．
【点拨】
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
20．见解答
【分析】
可证，从而可证（），即可求证．
【解答】
证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中
，
（），
．
【点拨】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握性质及判定方法是解题的关键．
21．（1）4；（2）6
【分析】（1）根据题意，把代数式进行整理，然后代入进行计算，即可得到答案；
（2）直接代入求值，即可得到答案．
【解答】解：（1）当，时，
原式
；
（2）当，时，
原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
22．(1)直角三角形，理由见解析
(2)6
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
（2）根据圆的面积公式可得π•（）2=2π，从而求出b的值，进而求出n，a的值，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】（1）解：△ABC是直角三角形， 理由：
∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1，
∴a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=（n2+1）2， c2=（n2+1）2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由题意得： π•（）2=2π，
∴b=4或b=-4（舍去），
∴2n=4，
∴n=2，
∴a=n2-1=3，
∴△ABC的面积=ab =×3×4 =6，
∴△ABC的面积为6．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）EF=．
【分析】（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证；
（2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF=DA，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF=90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，
∵CF=4，DF=5，
∴CD2+CF2=DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，
∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD，
∴CE=，
由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC=90°，BF=CE=，
∴BC=，
∴EF=．
【点拨】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
24．(1)2
(2)
(3)9
【分析】（1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案；
（2）根据分子有理化的要求把原式变形为 ，再计算出结果，再比较大小即可；
（3）依次把每一项分母有理化，再合并即可．
【解答】（1）解：

（2）



由

（3）

【点拨】本题考查的是分母有理化，分子有理数，理解题意，熟悉阅读部分的运算要求与运算法则，再解决问题即可．
25．（1）见解析；（2）6或
【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；
（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．
【解答】解：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴AF∥BC．
∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE．
∵E是边CD的中点，
∴CE=DE．
∴△BCE≌△FDE（AAS）．
∴BE=EF．
∴四边形BDFC是平行四边形．
（2）若△BCD是等腰三角形，
①若BD=BC=3 ．
在Rt△ABD中，AB=．
∴四边形BDFC的面积为S=×3=6；
②若BC=DC=3，
过点C作CG⊥AF于G，则四边形AGCB是矩形，
所以，AG=BC=3，
所以，DG=AG-AD=3-1=2，
在Rt△CDG中，由勾股定理得， ，
∴四边形BDFC的面积为S=．
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是6或．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．