【导数大题】题型刷题突破 第39讲 指对函数问题之指数化与对数化

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第39讲 指对函数问题之指数化与对数化
1．已知关于的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围
【解答】解：由不等式对于任意恒成立，
可得，
令，，
则由题意可得，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
故，即恒成立，当时取等号，
又，当时取等号，
即，
令，则，
易得函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，且（1），
由（e），即与的图像有交点，
所以等号成立，
所以．
故答案为：．
2．设函数．
（1）证明：，都有；
（2）若函数有且只有一个零点，求的极值．
【解答】（1）证明：令，，则，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为（4），
所以，
所以，都有．
（2）解：由，得，则，所以，
所以的零点个数等价于方程解的个数，
令，则，且（a），
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为（1），且由（1）知，
则当，，
所以时，（a）有且只有一个解，
所以若函数有且只有一个零点，则，此时，
所以，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
（1）（e），
所以当时，，当时，，当时，，
所以当时，，则，则，
同理可得，当时，，当时，，
所以和分别是函数的极大值点和极小值点，
所以时，的极大值为，极小值为0．
3．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：为自然对数的底数）．【解答】解：（1）因为，所以 ，
因为 是函数的一个极值点，故（1），即，当 时，当经验得是函数的一个极值点，所以．
（2）因为在， 上恒成立，所以．
当时， 在，上恒成立，即在，上为增函数
所以 成立，即 为所求．
当时，令，则，令，则，
即在上为减函数，在 上为增函数．当时，，这与 矛盾．综上所述，的取值范围是，．
（3）要证，只需证．两边取自然对数得，，
上式等价于，只需要证明，只需要证明
，由时，在 单调递增．
又，，
，从而原命题成立．
4．已知函数，其中，．
（1）讨论函数在区间，上的单调性；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
当，时，，所以在，单调递增，
当，
由，得，所以在，单调递减，
当时，当时，，
当时，，所以在单调递减，在单调递增．
（2）不等式，
即，
为此先证明：，
由
由（1）知，当，在单调递增，，
即，
令，则有，故．
由（1）知，当，在单调递减，，
即，
令，则有，故．
综上，对，恒成立，
所以．
5．已知函数．
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：是自然对数的底数）．
【解答】解：（1），，
，（1），即；
（2）在，上恒成立，，
当时，在，上恒成立，即在，上为增函数，
成立，即，
当时，令，则，令，则，
即在，上为减函数，在上为增函数，，又，则矛盾．
综上，的取值范围为，．
（3）要证，只需证
两边取自然对数得，，即证，
即证，即证，
由（2）知时，在，单调递增．
又，，
所以，
所以成立．
6．已知函数．（注
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：．
【解答】解：（1）函数．
函数．
是函数的一个极值点，
（1）
；（2分）
（2）在，上恒成立，
，（3分）
当时，在，上恒成立，即在，上为增函数，（4分）
成立，
（5分）
当时，令，则，令，则，（6分）
即在，上为减函数，在上为增函数，，
又，则矛盾．
综上，的取值范围为，（8分）
证明：（3）要证：，只需证．
两边取自然对数得，，（9分）
即，
即，
即，（11分）
由（2）知时，在，单调递增．
又，，
（13分）
成立（14分）
7．设函数，其中为实数．
（1）当时，求在区间，上的最小值；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
，
当时，又，上，，
那么在，上单调递增，，
即，
所以在，上单调递增，，
故得当时，在区间，上的最小值为0；
（2）根据（1）可知：当时，恒大于0，此时，取，
得对任意正整数都有，即，
所以，
可得恒成立，
令得：．
8．已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：为自然对数的底数）．
【解答】解：（1），
，
是函数的一个极值点，
（1）即；
（2）在，上恒成立，，
当时，在，上恒成立，
即在，上为增函数，
成立，即，
当时，令，则，
令，则，
即在，上为减函数，在上为增函数，
，又，则矛盾．
综上，的取值范围为，．
（3）两边取自然对数得，，
，由（2）知时，在，单调递增，
又，，
，
故成立．
9．已知函数，是自然对数的底），
（1）若函数是上的增函数，求的取值范围．
（2）若对任意的，都有，求满足条件的最大整数的值．
【解答】解：（1）设，
因为是上的增函数，
所以，得到；所以的取值范围为
（2）由条件得到（1）猜测最大整数，
现在证明对任意恒成立，等价于，
，
设
故时，，当时，，
所以对任意的都有（2），
即对任意恒成立，
所以整数的最大值为2．
10．已知函数，．
（1）求的单调区间；
（2）证明：；
（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．求的最大值．
【解答】解：（1）函数的定义域是，
，（1分）当时，；当时，．
所以，的增区间为，减区间为（2分）
（2）证明：函数的定义域是，
．（3分）
设，则．
由（1）得，在上为增函数，在上为减函数．
所以在处取得极大值，而，所以，（4分）
函数在上为减函数．又，
于是当时，，当时，（5分）
所以，当时，，在上为增函数．
当时，，在上为减函数（6分）
所以在处取得极大值，而，所以（7分）
（3）不等式等价于不等式．（8分）
由知，．（9分）
设，
则．（10分）
由（Ⅰ）知，，即．
所以，，，于是在，上为减函数．
故函数在，上的最小值为．（11分）
所以的最大值为． （12分）
11．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域是，，①时，，在递增，
②时，令，解得：，令，解得：，
故在递增，在，递减；
（2）函数，
由，可得，，
设，，
，
当时，，递减；
当时，，递增，
可得处取得最大值1，如图所示：
当或，即或时，直线与有一个交点，
当即时，直线与有两个交点，
当即时，直线与没有交点，
综上可得，，函数零点的个数为0；
，函数零点的个数为2；
或时，函数零点的个数为1；
（3）任意的，恒成立，
即为恒成立，
设，
设，，
，设的根为，即有，递增；时，递减，
可得处取得最小值（a），
由（a），
可得恒成立，即有，
则，即的范围是，．
另解：任意的，恒成立，
即为恒成立，
由，取得等号），
时，，
即有，
可得，（当取得等号），
则．
12．已知函数．
（1）若对，恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，证明：．
【解答】解：（1）因为，
所以，，，
当时，，
则在，上单调递增，
所以，不合题意，
当时，由，得，
则在，上单调递增，所以存在，使得，不合题意，
当时，因为，
所以，在，上单调递减，
综上可知，实数的取值范围是，．
（2）证明：当时，，要证，
只需证，即证，
令，则，
令，
则，
所以在上单调递减，
由可知，只需证，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以对于任意，，即，
故原不等式成立．
13．已知函数，，，．（Ⅰ）设，求方程的根；
（Ⅱ）设，函数，已知时存在使得．若有且只有一个零点，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
令，即，，
即，，
解得：．
（Ⅱ）（1）当时，，
当且仅当即时取等号，
是的唯一的零点，符合题意．
（2）当时，，
显然是的一个零点，
当时存在使得，且，
在必存在另一零点，
此时，存在2个零点，不符合题意．
综上可得．
14．已知实数，设函数．
（Ⅰ）当，，，时，证明：；
（Ⅱ）若有两个极值点，，证明：．
【解答】证明：（Ⅰ），即为，亦即，
令，则，令，令对称轴，
则，时，，时，，，时，，
在上递增，在，上递减，且，
在，上递增，
故只需证（1），即证，即证，
令，则，
在上递减，而（1），
当时，，当时，，
即时，，当时，，即成立，
当，，时，成立；
（Ⅱ），
有两个极值点，，，，
令，则，
易知，当时，，当时，，
在上递减，在上递增，
，
故，即，
由，可得，
，则，
，则，
，由，得，下证，即证，即证，
，等价于证，
令，
则，故，
，即，
令，则
，
令，则，
在上递减，
，即．
15．（1）求函数在上的最大值；
（2）证明：不等式在上恒成立．
【解答】（1）解：，
令，解得：（记为，
则在递减，在，递增，
时，，，即，
在，上的最大值是0；
（2）证明：满足：，
关于直线对称，故只需证明：在，恒成立，
而，
而，只需证明，①在，恒成立，
而，
即只需证明：②，
而由（1）可得时，，即③，
要使②式成立，只需证明在，上恒成立，
即只需④，
由（1）得：，而，
从而④式成立，
综合③④可知②式成立，
故①式得证，从而原不等式得证．
16．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，则恒成立，
因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．0
0
0
单调递减
0
单调递增
大于0
单调递减
大于0
单调递减
小于0