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最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题22 立体几何中的轨迹问题
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这是一份最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题22 立体几何中的轨迹问题，文件包含专题22立体几何中的轨迹问题教师版docx、专题22立体几何中的轨迹问题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题22 立体几何中的轨迹问题
【题型归纳目录】
题型一：由动点保持平行求轨迹
题型二：由动点保持垂直求轨迹
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
题型五：投影求轨迹
题型六：翻折与动点求轨迹
【典例例题】
题型一：由动点保持平行求轨迹
例1．（多选题）（2022·广东梅州·高一期末）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B
D．存在点P满足
例2．（多选题）（2022·重庆南开中学模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B．与CD所成角的范围为
C．的最小值为
D．二面角的正切值为
例3．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为
例4．（多选题）（2022·江苏扬州·高一期末）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
例5．（2022·湖南师大附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________．
例6．（2022·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在正四棱锥中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持平面．则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．2B．C．D．
例8．（2022·河南安阳·高二期末（理））如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，下面说法中正确的是______（将所有正确的序号都填上）
①存在一点，使得；②存在一点，使得；
③点的轨迹是一条直线；④三棱锥的体积是定值．
【方法技巧与总结】（1）线面平行转化为面面平行得轨迹
（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹
题型二：由动点保持垂直求轨迹
例9．（2022·湖北·高一期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
例10．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________．
例11．（2022·四川雅安·高一期末）点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．
例12．（多选题）（2022·湖北孝感·高二期末）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥-的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3
例13．（多选题）（2022·全国·高二专题练习）已知棱长为4的正方体中，，点P在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹所围成图形的面积为5B．点P的轨迹过棱上靠近的四等分点
C．点P的轨迹上有且仅有两个点到点C的距离为6D．直线与直线MP所成角的余弦值的最大值为
例14．（2022·全国·高一专题练习）在正方体中，点P在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是（ ）
A．线段
B．线段
C．中点与中点连成的线段
D．中点与中点连成的线段
例15．（2022·河南许昌·三模（文））如图，在体积为3的三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，若点M是侧面CBP内一动点，且满足，则点M的轨迹长度的最大值为（ ）
A．3B．6C．D．
例16．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2022·浙江·高二阶段练习）已知正四棱锥，底面边长为，，交于点，平面，，为的中点，动点在该棱锥的侧面上运动，并且，则点轨迹长度为（ ）
A．1B．C．D．2
例18．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知四面体，，二面角为，为棱中点，为四面体表面上一动点，且总满足，则点轨迹的长度为________．
【方法技巧与总结】
（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹
（2）利用空间坐标运算求轨迹（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
例19．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．
例20．（多选题）（2022·山东·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，M，使得平面与平面平行
B．存在点P，M，使得二面角大小为
C．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
D．当M为中点时，四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
例21．（多选题）（2022·福建·莆田二中模拟预测）在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（ ）
A．点P的轨迹的长度为B．点Q的轨迹的长度为
C．PQ长度的最小值为D．PR长度的最小值为
例22．（2022·江西·模拟预测（理））已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
例23．（多选题）（2022·辽宁·高一期末）如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，M，使得平面与平面PBD平行
B．当点P为中点时，过点的平面截该正方体所得的截面是梯形
C．过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
例24．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
例25．（2022·四川达州·高二期末（理））正方体的棱长为1，点P在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是（ ）
A．若点P在线段上运动，则AP与所成角的范围为
B．若点P在矩形内部及边界上运动，则AP与平面所成角的取值范围是
C．若点P在内部及边界上运动，则AP的最小值为
D．若点P满足，则点P轨迹的面积为
例26．（2022·江西省乐平中学高一期末）已知正方体的棱长为，过顶点的平面为，点是平面内的动点，，则点的轨迹长度等于（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹
（2）利用空间坐标计算求轨迹
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
例27．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
例28．（多选题）（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）（多选）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若点满足，则点的轨迹为线段
例29．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD—中，E为侧面的中心，F是棱的中点，若点P为线段上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．·的最小值为
B．若，则平面PAC截正方体所得截面的面积为
C．若与AB所成的角为，则N点的轨迹为双曲线的一部分
D．若正方体绕旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是
例30．（2022·福建省福州第一中学三模）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________．
例31．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知正方体的棱长为1，空间一动点满足，且，则______，点的轨迹围成的封闭图形的面积为______．
例32．（多选题）（2022·福建龙岩·高二期末）若正方体的棱长为1，且，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．若，点P的轨迹为一段圆弧
例33．（多选题）（2022·江苏盐城·高二期末）在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（ ）
A．直线MP与直线所成角的最大值为90°B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分
C．不存在点P，使得∥平面
D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为
例34．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，二面角的大小为，点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为，点M到平面ABC的距离为，若，则（ ）
A．B．点M到直线AB的距离等于
C．点M的轨迹为一段圆弧D．点M的轨迹长度为
例35．（多选题）（2022·湖北·宜昌市一中高一阶段练习）如图，点是棱长为1的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在无数个点满足
B．当点在棱上运动时，的最小值为
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D．满足的点的轨迹长度是
例36．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
例37．（2022·广东茂名·模拟预测）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（ ）
A．B．1C．D．2
【方法技巧与总结】
（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面．
（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面
（3）利用空间坐标系计算求轨迹
题型五：投影求轨迹
例38．（2022·山东日照·三模）如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于_________．
例39．（2022·云南师大附中高二期中）1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2022·河南·一模（理））椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例41．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______．
例42．（2022·江西南昌·二模（理））通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点（如图所示），如图是底面边长为2､高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是___________．
例43．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．
【方法技巧与总结】
（1）球的非正投影，可能是椭圆面
（2）多面体的投影，多为多边形．题型六：翻折与动点求轨迹
例44．（2022·江西萍乡·三模（理））如图，在正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）
①点的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得；
③棱的中点为，则的长为定值；
例45．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，则此过程中，点A的运动轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
例46．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（ ）
A．四棱锥体积的最大值为
B．PD的中点F的轨迹长度为
C．EP，CD与平面PAD所成的角相等
D．三棱锥外接球的表面积有最小值
例47．（多选题）（2022·山西大同·高一期末）已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）A．四面体的外接球的表面积为
B．四面体体积取最大值时，与平面ABC所成角为45°
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
【方法技巧与总结】
（1）翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
（2）翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
（3）可以利用空间坐标运算求轨迹
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题22 立体几何中的轨迹问题
【题型归纳目录】
题型一：由动点保持平行求轨迹
题型二：由动点保持垂直求轨迹
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
题型五：投影求轨迹
题型六：翻折与动点求轨迹
【典例例题】
题型一：由动点保持平行求轨迹
例1．（多选题）（2022·广东梅州·高一期末）如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（ ）
A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为
B．满足的点P的轨迹长度为
C．存在点P，使得平面AMP经过点B
D．存在点P满足
例2．（多选题）（2022·重庆南开中学模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B．与CD所成角的范围为
C．的最小值为
D．二面角的正切值为
例3．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．与所成角的余弦值为D．动点P的轨迹长为
例4．（多选题）（2022·江苏扬州·高一期末）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
例5．（2022·湖南师大附中三模）已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________．
例6．（2022·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在正四棱锥中，是的中点，点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持平面．则动点的轨迹与组成的相关图形最有可能是图中的（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．2B．C．D．
例8．（2022·河南安阳·高二期末（理））如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，下面说法中正确的是______（将所有正确的序号都填上）
①存在一点，使得；②存在一点，使得；
③点的轨迹是一条直线；④三棱锥的体积是定值．
【方法技巧与总结】（1）线面平行转化为面面平行得轨迹
（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹
题型二：由动点保持垂直求轨迹
例9．（2022·湖北·高一期末）直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
例10．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________．
例11．（2022·四川雅安·高一期末）点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．
例12．（多选题）（2022·湖北孝感·高二期末）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥-的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3
例13．（多选题）（2022·全国·高二专题练习）已知棱长为4的正方体中，，点P在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹所围成图形的面积为5B．点P的轨迹过棱上靠近的四等分点
C．点P的轨迹上有且仅有两个点到点C的距离为6D．直线与直线MP所成角的余弦值的最大值为
例14．（2022·全国·高一专题练习）在正方体中，点P在侧面及其边界上运动，并且总保持，则动点P的轨迹是（ ）
A．线段
B．线段
C．中点与中点连成的线段
D．中点与中点连成的线段
例15．（2022·河南许昌·三模（文））如图，在体积为3的三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，，若点M是侧面CBP内一动点，且满足，则点M的轨迹长度的最大值为（ ）
A．3B．6C．D．
例16．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2022·浙江·高二阶段练习）已知正四棱锥，底面边长为，，交于点，平面，，为的中点，动点在该棱锥的侧面上运动，并且，则点轨迹长度为（ ）
A．1B．C．D．2
例18．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（理））已知四面体，，二面角为，为棱中点，为四面体表面上一动点，且总满足，则点轨迹的长度为________．
【方法技巧与总结】
（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹
（2）利用空间坐标运算求轨迹（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
例19．（2022·四川成都·高二期中（理））如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．
例20．（多选题）（2022·山东·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，M，使得平面与平面平行
B．存在点P，M，使得二面角大小为
C．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
D．当M为中点时，四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
例21．（多选题）（2022·福建·莆田二中模拟预测）在棱长为1的正方体中，点M是的中点，点P，Q，R在底面四边形ABCD内（包括边界），平面，，点R到平面的距离等于它到点D的距离，则（ ）
A．点P的轨迹的长度为B．点Q的轨迹的长度为
C．PQ长度的最小值为D．PR长度的最小值为
例22．（2022·江西·模拟预测（理））已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
例23．（多选题）（2022·辽宁·高一期末）如图，正方体棱长为2，点M是其侧面上的动点（含边界），点P是线段上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．存在点P，M，使得平面与平面PBD平行
B．当点P为中点时，过点的平面截该正方体所得的截面是梯形
C．过点A，P，M的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为
例24．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
例25．（2022·四川达州·高二期末（理））正方体的棱长为1，点P在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是（ ）
A．若点P在线段上运动，则AP与所成角的范围为
B．若点P在矩形内部及边界上运动，则AP与平面所成角的取值范围是
C．若点P在内部及边界上运动，则AP的最小值为
D．若点P满足，则点P轨迹的面积为
例26．（2022·江西省乐平中学高一期末）已知正方体的棱长为，过顶点的平面为，点是平面内的动点，，则点的轨迹长度等于（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹
（2）利用空间坐标计算求轨迹
题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
例27．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
例28．（多选题）（2022·云南·昭通市第一中学高一阶段练习）（多选）如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
C．三棱锥的体积最大值为
D．若点满足，则点的轨迹为线段
例29．（多选题）（2022·福建·厦门外国语学校高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD—中，E为侧面的中心，F是棱的中点，若点P为线段上的动点，N为ABCD所在平面内的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．·的最小值为
B．若，则平面PAC截正方体所得截面的面积为
C．若与AB所成的角为，则N点的轨迹为双曲线的一部分
D．若正方体绕旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是
例30．（2022·福建省福州第一中学三模）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________．
例31．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知正方体的棱长为1，空间一动点满足，且，则______，点的轨迹围成的封闭图形的面积为______．
例32．（多选题）（2022·福建龙岩·高二期末）若正方体的棱长为1，且，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的最小值为
D．若，点P的轨迹为一段圆弧
例33．（多选题）（2022·江苏盐城·高二期末）在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（ ）
A．直线MP与直线所成角的最大值为90°B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分
C．不存在点P，使得∥平面
D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为
例34．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，二面角的大小为，点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为，点M到平面ABC的距离为，若，则（ ）
A．B．点M到直线AB的距离等于
C．点M的轨迹为一段圆弧D．点M的轨迹长度为
例35．（多选题）（2022·湖北·宜昌市一中高一阶段练习）如图，点是棱长为1的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在无数个点满足
B．当点在棱上运动时，的最小值为
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D．满足的点的轨迹长度是
例36．（多选题）（2022·山东聊城·三模）在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
例37．（2022·广东茂名·模拟预测）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（ ）
A．B．1C．D．2
【方法技巧与总结】
（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面．
（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面
（3）利用空间坐标系计算求轨迹
题型五：投影求轨迹
例38．（2022·山东日照·三模）如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于_________．
例39．（2022·云南师大附中高二期中）1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例40．（2022·河南·一模（理））椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例41．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______．
例42．（2022·江西南昌·二模（理））通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点（如图所示），如图是底面边长为2､高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于的中点处时，则在平面上的投影形成的椭圆的离心率是___________．
例43．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．
【方法技巧与总结】
（1）球的非正投影，可能是椭圆面
（2）多面体的投影，多为多边形．题型六：翻折与动点求轨迹
例44．（2022·江西萍乡·三模（理））如图，在正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连接，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）
①点的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得；
③棱的中点为，则的长为定值；
例45．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，则此过程中，点A的运动轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
例46．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在长方形ABCD中，，，E为BC的中点，将△沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是（ ）
A．四棱锥体积的最大值为
B．PD的中点F的轨迹长度为
C．EP，CD与平面PAD所成的角相等
D．三棱锥外接球的表面积有最小值
例47．（多选题）（2022·山西大同·高一期末）已知正方形ABCD的边长为2，将沿AC翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ）A．四面体的外接球的表面积为
B．四面体体积取最大值时，与平面ABC所成角为45°
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
【方法技巧与总结】
（1）翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
（2）翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
（3）可以利用空间坐标运算求轨迹
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