最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题08 证明不等式问题

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专题08 证明不等式问题
【方法技巧与总结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【题型归纳目录】
题型一：直接法
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
题型三：分析法
题型四：凹凸反转、拆分函数
题型五：对数单身狗，指数找朋友
题型六：放缩法
题型七：虚设零点
题型八：同构法
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
题型十：分段分析法、主元法、估算法
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
题型十二：函数与数列不等式问题
题型十三：三角函数
【典例例题】
题型一：直接法
例1．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：，．
【解答】解：（1），
因，，
①当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
②当时，，函数在内单调递增；
③当时，，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
综上：当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
当时，函数在内单调递增；
当时，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；
（2）当时，由（1）得，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
函数在内的最小值为，
欲证不等式成立，即证，即证，
因，所以只需证，
令，则，
所以，函数在，内单调递减，（1），
又因，即．所以，
即当时，成立，
综上，当时，，．
例2．设函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当且时，证明：．【解答】解：（1）函数，定义域为，
，
①当时，，则在上单调递减；
②当时，令，解得，
当时，，
当，时，，
所以的单调递增区间为，，递减区间为．
综上所述，当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，递减区间为．
（2）证明：当时，令，
则，
因为，则，
所以在上单调递减，
故（1），
则，
故．
例3．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当，，时，证明：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，
当时，由解得，由解得，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
（2）证明：令，则，（1），
再令，则，
当时，，
，即，
在，上单调递增，
（1）（1），
（1），
在，上单调递增，
（1），
综上可知，．
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
例4．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证：当时，．
【解答】（Ⅰ）解：，，
依题意（1）（1），；
（Ⅱ）证明：由，得，
令，则，
时，，递减；
时，，递增．
时，（1），即，
综上所述，时，．
例5．已知．（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）求证：当时，．
【解答】解：（1）不等式恒成立，
即恒成立，
令，则，
当时，对任意，，有，得在，上单调递增，
，即满足题意；
当时，若，则，
在上单调递减，，
与矛盾，不合题意．
综上所述，；
证明：（2）令，
，
在上单调递增，且（1），（2），
存在唯一的，使得，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
由，得，，
，
，上式“”不成立，
，
即．
例6．已知函数．
（1）当时，求在点，处的切线方程；
（2）当时，若的极大值点为，求证：．【解答】解：（1）当时，，
因为，
所以，
因为，
所以在点，处的切线方程为．
证明：（2）的定义域为，，
令，△，
①当△，即时，，故，
所以在上单调递增．此时无极大值．
②当△，即当时，的对称轴，
因为，，
所以函数在区间有两个零点，，不妨设，其中，．
所以当时，，，
所以在上单调递增；
当时，，，
所以在，上单调递减；
当时，，，
所以在，上单调递增．
此时函数有唯一的极大值点为，且，
又因为，
所以，
所以，
记，则，
所以单调递增，，
即．
例7．已知函数．
（1）判断的单调性，并说明理由；
（2）若数列满足，，求证：对任意，．
【解答】（1）解：，
令，，
在上递增，，，
在上单调递增．
（2）证明：由，
要证，只需证，
即证：，，
，，
先证左边：，
令证，即证，
令，，在上递增，，得证．
再证右边：，即证，，
令，，
在上递减，，也得证．
综上：对，，．
题型三：分析法
例8．已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【解答】证明：（Ⅰ），恒成立，
在上单调递增，
，（2），又，
函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在单调递增，
，
，，
另一方面，，，
当时，成立，
只需证明当时，，
，，，
当时，，当时，，
，（1），，（1），
，在单调递减，
，，
综上，，
．
要证明，只需证，
由得只需证，
，只需证，只需证，即证，
，，
，
．
例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：．（参考数值：
【解答】证明：（Ⅰ），
在上恒成立，所以在上单调递增，
，（a），
所以存在，使得，
故，，在上单调递减；
，，在，上单调递增，
又，所以，当时，，
故由零点存在定理，在，上有唯一零点，在上没有零点，
所以函数在上有唯一零点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：在，上单调递增，且，，
故要证：，只要证（a），
即证：在时恒成立，
设（a），故（a），（a），
由（a），所以（a）在递减，在递增，
（1），，，
所以存在，使得，
所以（a）在递减，，递增，所以（a），
因为（1），故只需证明，
由，所以，，由二次函数的单调性，得．
综上，得证．
例10．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．
【解答】（Ⅰ）解：函数，则，
①当时，恒成立，
则在上单调递增，
所以，故函数无零点，不符合题意；
②当时，由，得，
若，即，此时在上单调递增，不符合题意；
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
又，故，使得，
而当时，时，
故，使得，
根据零点存在定理，，，使得，符合题意；
综上所述，实数的取值范围是；
（Ⅱ）证明：，
所以，即，
由（Ⅰ）知且在上单调递减，在上单调递增，
故只要证明：，
即，，
设，
则，
故在上单调递增，即（1），
所以成立；
综上所述，成立．
题型四：凹凸反转、拆分函数例11．已知函数且（1）．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：．
【解答】解：（1）依题意，，又，解得，
，
令，解得，令，解得，
的单调递增区间为，单调递增区间为；
（2）证明：要证成立，只需证成立，
令，则，
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又由（1）可得在上，
，故不等式得证．
例12．已知函数，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
【解答】（1）解：令，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（1），
因为恒成立，即恒成立，
则，解得，故实数的取值范围为，；
（2）证明：由（1）可知，恒成立，即，
所以要证，
只需证明成立即可，
令，
则，
令，
则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又，（1），
因为，则，
所以存在，使得，
故当时，，则单调递增，
当，时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又（1），
所以，
因此，当时，．
例13．已知函数．
（Ⅰ）当时，判断函数的单调性；
（Ⅱ）证明：当时，不等式恒成立．
【解答】（Ⅰ）解：的定义域是，
，
时，，，
故，在，递增；
（Ⅱ）证明：当时，，而，，即在，成立；
当时，在递增，
，
时，恒成立，
，
在，恒成立；
当时，，
，，
故，，使得，
在递增，
是的唯一极小值点，也是最小值点，
从而，，，
，，
在，递减，
，
在，恒成立；
综上，当时，不等式恒成立．
题型五：对数单身狗，指数找朋友
例14．已知函数．
（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）当时，求证．【解答】解：（Ⅰ），；
时，；，时，；
（1）是函数的极小值，即的最小值；又，（2）；
的最大值是；
函数在上的最小值是0，最大值是；
（Ⅱ），要证明原不等式成立，只要证明；
设，则；
函数在上是增函数，（1）；
；
原不等式成立．
例15．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）当且时．求证：．
【解答】解：（1）函数的导数为，
曲线在点，（1）处的切线方程为，
可得（1），（1），
解得；
（2）证明：当时，，
即为，
即，
当时，，
即为，设，，
可得在递增，
当时，（1），即有；
当时，（1），即有．
综上可得，当且时，都成立．
例16．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数图象过点，求证：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，又，
当时，，在上单调递增；
当时，由得，
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减；
（2）证明：函数图象过点，可得，此时，
要证，令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
由，即，故存在使得，此时，故，
当时，，当，时，，
函数在上单减，在，上单增，
故当时，有最小值，
成立，即得证．
例17．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得．
若，，单调递增；
若，，单调递减
综合上述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：函数图象过点，
，解得．
．即．．
令．．．
令，，
函数在上单调递增，
存在，使得，可得，．
．
成立．
题型六：放缩法
例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：对任意的，当时，．
【解答】（1）解：由，得．
①当时，，函数在上单调递增；
②当时，由，解得，由，解得，故在，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：．
令，则．
当时，．
令，则当时，．
当时，单调递增，．
当时，；当时，；当时，．
（1）．
即，故．
例19．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
【解答】解：（1），
当，即时，，函数在上单调递增
当，即时，
由解得，由解得，
函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）令
当时，欲证，即证．即证，即，
即证
先证：．
设则设，在上单调递减，在，上单调递增
，，则，
即，当且仅当，时取等号．
再证：．
设，则．
在上单调递增，则，即．
，所以．．当且仅当时取等号．
又与．两个不等式的等号不能同时取到，
成立，
即当时，成立．
例20．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）解关于的不等式
【解答】解：（1）函数．定义域为：．
，（1）．
令，，
函数在定义域上单调递增．
，．，函数单调递减．时，，函数单调递增．
（2）不等式，即．
，，舍去．
当时，不等式的左边右边，舍去．
，且．
①时，由，要证不等式．可以证明：．等价于证明：．
令．
，
函数在上单调递减，
（1）．
②当时，不等式．
令，．
，函数在上单调递增，
（1）．
由，
．
不等式成立．
综上可得：不等式的解集为：．
题型七：虚设零点
例21．设函数．
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）证明：当时，．
【解答】解：（1）函数的定义域，，
当，恒成立，没有零点，
当时，在上单调递增，
又因为时，，时，，
故只有1个零点；
（2）令，则，，由（1）知，当时，只有1个零点，设为，则，
，，
故，
当，，单调递减，当时，，单调递增，
故当时，函数取得最小值，
．
例22．设函数．
（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；
（Ⅱ）证明：当时，．
【解答】解：（Ⅰ）的定义域为，
．
当时，恒成立，故没有零点，
当时，为单调递增，单调递增，
在单调递增，
又（a），
假设存在满足时，且，（b），
故当时，导函数存在唯一的零点，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数在上的唯一零点为，
当时，，
当，时，，
故在单调递减，在，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
由于，
所以．故当时，．
例23．已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．
参考数据：，．
【解答】解：（1）解法，
函数在递增，
，得，
设，则，
令，解得：，
当时，，
当时，，
故函数在递减，在递增，
故时，取得最小值，
故，
故的范围是；
解法2：由，
设，则，
令，解得：，
当时，，
当时，，
故函数在递减，在递增，
故时，取得最小值，
函数在递增，故，
由于，则，解得：，
故的范围是；
（2）证明：若，则，得，
由（1）知函数在递减，在递增，
又，（1），，则存在，使得，即，
当时，，当，时，，
则函数在递减，在，递增，
则当时，函数取最小值，
故当时，，
由，得，
则
，
由于，
则
，
故时，．
题型八：同构法
例24．已知函数．
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）当时，证明：．
【解答】解：（1）因为函数，，
所以，，
由，得，
当，即时，，在区间上单调递减；
当，即时，由，得，由，得，所以在上单调递增，在，上单调递减．
综上可得，当时，在区间上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）当时，，
要证，
即证，
即证，
令，，
则，令，可得，令，可得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以，得证．
例25．已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
①当时，，此时在上单调递减，
②当时，由可得，由，可得，
在上单调递减，在，上单调递增，
③当时，由可得，由，可得，在上单调递增，在，上单调递减，
证明（2）设，则，
由（1）可得在上单调递增，
（1），
当时，，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
，
，
．
例26．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，，证明：当时，
【解答】（1）解：，
①时，恒成立，故在上单调递减，
②当时，若，，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
③当时，若，，，函数单调递减，当时，，函数单调递增
（2）证明：时，，
要证，
即证，
即证，令，上面不等式等价于，
要证明对于任意，都成立，即证单调递增，
又，
令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故，即恒成立，
故当时，，，
当时，，，
综上可得，又恒成立，故单调递增，得证．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例27．已知函数，．
（1）若恰为的极小值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求在区间上的零点个数；
（2）若，，
又由泰勒级数知：，．证明：．
【解答】解：（1）证明：（ⅰ）由题意得：，
因为为函数的极值点，所以，
令，则，在上单调递增，
因为，
所以在上有唯一的零点，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知：，，，
①当时，由，，，得：，所以在上单调递减，，
所以在区间上不存在零点；
②当时，设，则，
若，令，则，
所以在上单调递减，因为；
所以存在，满足，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
若，令，则，
所以在区间上单调递减，所以，
又因为，
所以，在上单调递减；
若，则，在上单调递减；
由得，在上单调递增，在单调递减，
因为，，
所以存在使得，
所以当时，，在上单调递增，，
当时，，在上单调递减，
因为，，所以在区间上有且只有一个零点；
综上，在区间上的零点个数为2个；
（2）因为①
对，
两边求导得：，
，所以②
比较①②式中的系数，得：
所以．
例28．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
【解答】解：（1），，△，
①时，恒成立，
故函数在递增，无递减区间，
②时，或，
故函数在，，递增，在，递减，
综上，时，函数在递增，无递减区间，
时，函数在，，递增，在，递减，
（2），对，恒成立，
即，时，恒成立，
令，，则，
令，
则，在递减且（1），
时，，，递增，
当，，，递减，
（1），
综上，的范围是，．（3）证明：当时，，
，不妨设，
下先证：存在，，使得，
构造函数，
显然，且，
则由导数的几何意义可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又为增函数，
，即，
设，则，，
①，
②，
由①②得，，
即．
例29．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，，．
（1）证明：当时，；
（2）设，若区间，满足当定义域为，时，值域也为，，则称为的“和谐区间”，
（ⅰ）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ⅱ）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：由已知当时，，得，
所以当时，．
（2）时，假设存在，则由知，注意到，
故，所以在，单调递增，
于是，即，是方程的两个不等实根，
易知不是方程的根，
由已知，当时，，
令，则有时，，即，
故方程只有一个实根0，故不存在和谐区间．
时，假设存在，则由知，
若，，则由，，，知，与值域是，，矛盾，
故不存在和谐区间，
同理，，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，
此时的定义域为，，值域为，，符合题意．
若，当时，同理可得，，舍去，
当时，在，上单调递减，
所以，于是，
若即，则，故，，
与矛盾；若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的和谐区间，．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
例30．设且，函数．
（1）若在区间有唯一极值点，证明：，；
（2）若在区间没有零点，求的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性求出函数的极值点，从而证明结论成立即可；
（2）通过讨论的范围，结论零点存在性定理判断函数的零点个数，从而确定的范围．
【解答】解：（1）证明：，
若，则在区间至少有，两个变号零点，故，
令，得，，其中，，仅当时，，
且在的左右两侧，导函数的值由正变负，
故时，在区间有唯一极值点，
此时，将代入得：
，
①当，即时，，
由不等式：时，知：
，
②当，即当时，，
，由不等式知：，
由①②知，．
（2）①当时，，，
故，
由零点存在性定理知：在区间，上至少有1个零点，
②当时，，，，
，，，
由零点存在性定理知，在区间至少有1个零点，
③当时，，
令，则，
在区间上，，，递增，
在区间上，，即递减，即递减，，
故在上递增，在，上递减，
又，，即在上，，
故在区间上没有零点，满足题意，
综上，若在区间上没有零点，
则正数的取值范围是，．
例31．已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．
【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．
（2）对任意的，，转化为证明对任意的，，，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．
【解答】解：（1）当时，，
则，，
故
则在上单调递减．
（2）当时，，
要证明对任意的，，．
则只需要证明对任意的，，．
设（a），
看作以为变量的一次函数，
要使，
则，即，
恒成立，①恒成立，
对于②，令，
则，
设时，，即．
，，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
则当时，函数取得最大值
，
故④式成立，
综上对任意的，，．
例32．已知函数=.
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，,求的最大值；
（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
【详解】
（1）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数；（2）因为=，
所以=.
当时,,等号仅当时成立，所以在R上单调递增，而，所以对任意，；
当时，若满足，即时，，而，
因此当时，，
综上，的最大值为2.
（3）由（2）知，，
当时，，；
当时，，，
，所以的近似值为.
例33．已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若取，试估计的范围．（精确到0.01）
试题解析：
（1）;
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时，恒成立，所以时，
，单调递增，恒成立．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时，，解得
且
（i）当，则，故时，，
单调递增，恒成立．
（ii）当，则，当时，，单调递减；
恒成立．这与恒成立矛盾．
综上所述，的取值范围是．（2）由（1）得恒成立，取，
得.
又由（１）可知时，在时恒成立，
令，解得，取，
即有在上恒成立，
取，得∴
（精确到）,取.
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
例34．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，，求证：．
【解答】解：（1）由，得，
函数的零点，，，．
曲线在处的切线方程为，，（1），
曲线在处的切线方程为；
（2）证明：，
当时，；当时，．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
由（1）知，当或时，；当时，．
下面证明：当时，．
当时，．易知，在，上单调递增，
而，
对恒成立，
当时，．
由得．记．
不妨设，则，
．
要证，只要证，即证．
又，
只要证，即．
，即证．
令，．
当时，，为单调递减函数；
当时，，为单调递增函数．
，
，
．
例35．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，，求证：．
【解答】解：（1）由，得，或，所以的零点为1，；
因为，所以（1），（e）．
因为（1）（e），所以曲线线在处的切线方程为，在处的切线方程为分
（2）证明：因为，所以，所以单调递减．令，，
下面证，即，
记，则，，
所以单调递增，且（1），故在单调递减，在单调递增．
所以（1），即，
同法可证，即．
不妨设，
因为，且为增函数，所以，
由，得，
同理，，，
所以，
所以，，
所以，分
例36．已知函数为自然对数的底数）．
（1）求曲线在点，处的切线方程：
（2）若方程有两个不等的实数根，，求证：．
【解答】解：（1），，，
所以曲线在，处的切线方程为．
（2）证明：令，得，
因为有两个不等的实数根，，
所以，
不妨设，
令，
令，
所以对任意，，
所以，即，
所以，
所以，所以．
题型十二：函数与数列不等式问题
例37．已知函数，其中为实常数．
（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）证明：当时，；
（3）求证：．
【解答】解：（1）由题意
则
即在，上单调递增，
，
，；
（2）即证，，，
设，
在，上单调递减，
，
，，；
（3）利用，，，
令，得：
，
，
，
，
累加得：，当时，；
例38．证明：．
【解答】证明：
．
．
令，
当，，
，在，上递增，，
．
综上：．
例39．已知，为自然对数的底数）．
（1）求证：恒成立；
（2）设是正整数，对任意正整数，，求的最小值．
【解答】解：（1）令，，，
则，当，；时，，所以在单调递增，在单调递减，
所以，即恒成立；
所以；
（2）由（1）令，可知，由不等式性质得
．所以的最小值为2．
题型十三：三角函数
例40．已知函数.
(1)设且，求函数的最小值；
(2)当，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）通过求导来判断函数的单调性进而求出最值；
（2）构造新函数，转化为证明新函数的最小值大于等于0即可.
(1)
，又，
又，，
当时，，，
当时，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减
的最小值为；
(2)
不等式等价于，
令，
令，，
又，，，所以函数在上单调递增，又，，，
所以函数在区间上单调递增，又，
，所以原不等式成立.
例41．已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）若，求实数的值；
（2）证明：．
【答案】（1）1；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1），令，，则等价于，对任意恒成立，令，可知当时不恒成立；当时，利用导数求其最大值，由最大值等于0求得值；
（2）由（1）知，当时，，即，可得，把问题转化为证明，即证：，构造函数，再由导数证明即可．
【详解】
（1）解：，令，．
则等价于，对任意恒成立，令，
当时，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，，与恒成立矛盾，不合题意；
当时，，在上递减，在上递增，
的最小值为．
令，则，知在上递增，在上递减，
，要使，当且仅当．
综上，实数的值为1；
（2）证明：由（1）知，当时，，即，
，
下面证明，即证：．
令，．当时，显然单调递增，，
在，上单调递减，，
当时，显然，即．
故对一切，都有，即．
故原不等式成立．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查化归与转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
例42．已知.
（1）当有两个零点时，求a的取值范围；
（2）当，时，设，求证：.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）化简，根据题意得有一个非零实根，设，利用导数求得函数的单调性和极值，结合函数的值的变化趋势，即可求解；
（2）化简，根据题意转化为，令，得到新函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数
因为有两个零点，又因为时，解得，
所以当有一个非零实根，
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，时，；时，，
所以或，即实数a的取值范围是.（2）由题意，可得，
要证，即证，
令，令，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，即.
【点睛】
利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
【过关测试】
1．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）已知函数，且．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有三个极值点，且，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，把代入导函数中，得到切线斜率，再利用点斜式方程即可求出答案.
（2）对函数进行求导，原函数有三个极值点，即导函数有三个零点，其中，方程有两个根，即有两个交点，
令， 对进行求导，则在上单调递增，在上单调递减，与的图象有两个交点，则，即，要证，即证，由对数平均数表达式可得
，即可得证.(1)
对函数进行求导，
，，切点为
故切线为.
(2)


由题意知，有三个实数跟，则，
方程有两个根，即有两个交点
令，
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在上单调递减；
作出，的图象如图
由图可知，，与的图象有两个交点，
横坐标分别为，且
要证
即证
即证
，则
则
即，由对数平均数表达式可得


故
即可证得.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意得方程在上有两不等实根，进而结合二次函数零点分布求解即可；
（2）根据题意得，进而得，再构造函数，研究单调性得在单调递增，进而.
(1)
解：∵，
∴，
∵函数在上有两个极值点，且
∴由题意知方程在上有两不等实根，
设，其图像的对称轴为直线，
故有 ，解得所以，实数a的取值范围是.
(2)
证明：由题意知是方程的较大的根，故，
由于，∴，
∴．
设，，，
∴在单调递增，
∴，即成立．
∴不等式成立,证毕.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知.
(1)若在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题知在区间上有且仅有一个零点，进而构造函数，再研究函数的性质即可求解；
（2）结合（1）得，进而得，再研究函数在上的单调性，利用单调性证明即可.
(1)
解：，
因为在区间上有且仅有一个极值点，
所以在区间上有且仅有一个零点，
设，当单调递减，
因为，故只需，
所以
(2)
解：由（1）知，在区间上有且仅有一个极值点，
所以，即，
所以
所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即，证毕.
4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知函数（其中是自然对数的底数）.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义计算即可
（2）根据题意构造函数，证明即可，利用导数研究的单调性，求出的最小值即可
(1)
，
，，
所以在处的切线方程为，即
(2)
，
构造函数，则.
令，则，
当时，当时，
于是在上递减，在上递增，于是.
于是当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
于是，命题获证.
5．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）已知函数， .
(1)试讨论f（x）的单调性；
(2)若对任意 ， 均有 ，求a的取值范围；
(3)求证: .
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论a的取值情况，根据导数正负，判断函数的单调性；
（2）分类讨论，说明当时,符合题意；当时,不合题意，当时令函数的最大值小于等于0，求得答案;
（3）利用当 时，即，从而，进而，再采用累加，然后结合裂项求和的方法证明结论.
(1)
,
若 则， 在 上单调递减；
若，则由,得,
当时,在上单调递增,
当时,,在 上单调递减.
(2)当时,符合题意；
当时,由（1）知在 上单调递减，
而 ，不合题意；
当时,结合（1）得，，
即，得，
综上，的取值范围是；
(3)
证明：由（2）知，当 时，即
所以，
所以，
所以 ，
即得证.
6．（2022·天津·模拟预测）已知函数.
(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论；
(2)若对于恒成立，求正整数的最大值；
(3)求证：．
【答案】(1)函数在上为减函数，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数与函数单调性的关系可得出结论；
（2）由恒成立，即恒成立，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出整数的最大值；（3）由（2）可得出，令，可得出，利用裂项法结合指数与对数互化可证得结论成立.
(1)
解：函数在上为减函数，证明如下：
因为，所以，
又因为，所以，，所以，
即函数在上为减函数.
(2)
解：由恒成立，即恒成立，
即，
设，其中，所以，
令，则，即在为增函数，
又 ，，
即存在唯一的实数，满足，
当时，，，当时，，，
即函数在为减函数，在为增函数，
则，
故整数的最大值为.
(3)
证明：由（2）知，，则，其中，
令，则，
则
，
故.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值域；
(2)当时，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据极值点的定义得到方程，求出，检验得到符合题意，再求导得到单调性，极值，最值情况，求出值域；（2）构造函数，利用导函数求出最值，结合基本不等式证明出不等式.
(1)
∵，是的极值点，
∴，解得:．
经检验符合题意
∴函数，其定义域为．
∵
设，则，
所以在上为增函数，
又∵，所以当时，，即；
当时，，即．
所以在上为减函数；在上为增函数；因此的最小值为，
∴的值域为
(2)
证明：要证，即证
设，
即证
当，， 在上为增函数，
且中，．
故在上有唯一实数根，且．
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值．
由，得，
故．
综上，当时， 即
【点睛】
导函数证明不等式，求定义域，求导，得到函数的极值和最值情况，有时会用到隐零点和基本不等式或放缩法进行证明.
8．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)（i）证明：函数有且仅有一个极小值点，且；
（ii）证明：.
参考数据：，，，.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用导数的意义列方程组，即可解得；
（2）（i）求出导函数.利用导数和零点存在对立即可证明；
（ii）求出，令，利用导数判断出在上单调递减，
即可证明；要证，即证.令，利用导数证明出；令，利用导数证明出，得到，即可证明.
(1)
定义域为，
由题意知，解得.
(2)
（i）由（1）知，
令，则，从而即单调递增
又，故存在唯一的使得
从而有且仅有一个极小值点，且
（ii），的极小值0
极小值
令，则，从而在上单调递减，，故
下证，即证
一方面令，则，则在上单调递增，从而
另一方面，令，
令有
从而
从而即成立，故.
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数证明不等式.
9．（2022·广东·高二阶段练习）关于的函数，我们曾在必修一中学习过“0
极大值
二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
(1)证明：有唯一零点，且；
(2)现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
……
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
（i）设，求的解析式(用表示)；
（ii）证明：当，总有.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得；
（ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据证明即可得答案.
(1)
证明：，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且.
(2)解：（i）由（1）知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即
令得
所以，切线与轴的交点，即，
所以，.
(ii)对任意的，由（i）知，曲线在处的切线方程为：
，故令，
令
所以，，
所以，当时，单调递增，当时，单调递减；
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，故任意，显然矛盾）
因为是的零点，
所以
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，
所以，
综上，当，总有【点睛】
本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数，进而结合函数的单调性证明不等式.
10．（2022·浙江大学附属中学高三阶段练习）已知函数．（其中e是自然底数，）
(1)求证：；
(2)求证：当；
(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）求导，由证明；
（2）转化为当时，恒成立证明；
（3）转化为，时恒成立，令，用导数法求解.
(1)
证明：当时，，
当，；当，．
所以，
即当，．
(2)
依题意，即证：当时，恒成立，
由（1）即证：，
即证：．
而，，
故显然成立．
(3)
当时，恒成立，即，时恒成立．
令，则，
，
由（2）知：，即
在上单调递增．所以，
当，则，即，所以，符合题意；
当时，在上单调递增，且，，，
则存在，使得，，即，这显然与题意矛盾．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】
方法点睛：求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．