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最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题37 求曲线的轨迹方程
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这是一份最新高考数学二轮复习讲义【讲通练透】 专题37 求曲线的轨迹方程，文件包含专题37求曲线的轨迹方程教师版docx、专题37求曲线的轨迹方程学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
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5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
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专题37 求曲线的轨迹方程
【考点预测】
曲线的方程和方程的曲线
在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上述定义中
【方法技巧与总结】
一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
【题型归纳目录】
题型一：直接法
题型二：定义法
题型三：相关点法
题型四：交轨法
题型五：参数法
题型六：点差法
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例例题】
题型一：直接法
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______．
【方法技巧与总结】
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法．
例2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知平面上的动点到点和的距离之比为，则点到轴的距离最大值为_____.例3．（2022·全国·高三课时练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹C的方程；
例4．（2022·湖南·模拟预测）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．求曲线的轨迹方程并画出草图；
例5．（2022·湖南湘潭·高三开学考试） 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．求点的轨迹的方程;
题型二：定义法
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知定点A（1，1）和直线L：x+y-2=0，那么到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线
【方法技巧与总结】
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，动圆与圆外切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．求的方程；
例8．（2022·江西南昌·三模（理））已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线
例9．（2022·上海市大同中学高三开学考试）已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程_______
例10．（2022·全国·高三专题练习）设动圆与轴相切且与圆:相外切,则动圆圆心的轨迹方程为______.
例11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
例12．（2022·全国·高三专题练习（理））设圆的圆心为A，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点．证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上的动点，是线段上一点，，且，求点的轨迹的方程
例14．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．
求动圆圆心的轨迹的方程；
例15．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知圆与圆：外切，同时与圆：内切.
说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
例16．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程．
题型三：相关点法
例17．（2022·全国·高三课时练习）设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式．
例18．（2022·全国·高三课时练习）已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为______．
例19．（2022·全国·高三课时练习）当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2022·全国·高三课时练习）已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．求动点P的轨迹C的方程．
题型四：交轨法
例21．（2022·四川凉山·高三期末（理））设椭圆的上、下顶点分别为A、B，直线与椭圆交于两点M、N，则直线AM与直线BN的交点F一定在下列哪种曲线上（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
【方法技巧与总结】
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
例22．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．动点Q的轨迹方程为
C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
例23．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）在矩形中，，把边分成等份，在的延长线上，以的分之一为单位长度连续取点.过边上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为，如图建立平面直角坐标系，则点满足的方程是___________.
例24．（河北省邢台市名校联盟2022届高三上学期开学考试数学试题）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.求点的轨迹方程.
例25．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（理））已知反比例函数的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设､为双曲线C的两个顶点，点､是双曲线C上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹E的方程；
例26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，过直线l：左侧且不在x轴上的动点P，作于点H，的角平分线交x轴于点M，且，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C与x轴正半轴交于点，过点的直线交C于A，B两点，，点T满足，其中，证明：.
例27．（2022·全国·模拟预测（文））设抛物线C：，过点的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P，求点P的轨迹方程；
例28．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
例30．（2022·上海·高三专题练习）双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程.
例31．（2022·全国·高三课时练习）已知点、以及直线，设长为的线段在直线l上移动（如图所示），求直线和的交点M的轨迹方程．
题型五：参数法
例32．（2022·新疆·皮山县高级中学高三期末（文））已知，，当时，线段的中点轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．
例33．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线和直线l：y=kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.
例34．（2022·江西景德镇·高三期末（理））已知两条动直线与（，为参数）的交点为.求点的轨迹的方程；
例35．（2022·北京市第五十七中学高三期中）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直线方程及弦长；
(3)过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：y＝k1x和l2：y＝k2x与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且．
求线段AB的中点M的轨迹方程；
例37．（2022·江苏·周市高级中学高三阶段练习）已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
例38．（2022·全国·高三课时练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆的半径为，记是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆的标准方程；
(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点，(O为坐标原点，)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程．
题型六：点差法
例39．（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
【方法技巧与总结】
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法．
例40．（2022·全国·高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
例42．（2022·上海市行知中学高三开学考试）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；
例43．（2022·全国·高三期中）（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．
例44．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.（1）若点满足，求直线的方程；
（2）若，的坐标满足，动点满足(其中为坐标原点)，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
例45．（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
利用坐标法解决．
例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线的一支
例47．（2022·北京市第十三中学高一阶段练习）如图，正方体中，为底面上的动点，且于，且，则点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆弧
C．抛物线的一部分D．以上答案都不对
例48．（多选题）（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体中，O为线段的中点（图中未标出），以下说法正确的有（ ）．
A．线段CD中点为E，则直线OE与平面所成角的正弦值为．
B．在线段上取靠近B点的三等分点F，则直线与直线不共面．
C．在平面上存在一动点P，满足，则P点轨迹为一椭圆．
D．在平面上存在一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线AB的距离相等，则点Q的轨迹为抛物线，其准线到焦点的距离为．
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
例49．（2022·河南开封·高三阶段练习（文））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
（1）利用坐标法解决．（2）利用复数几何意义
例50．（多选题）（2022·重庆一中高一期末）若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（ ）
A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆
C．不可能存在复数z同时满足和
D．若，则的取值范围为[8，10]
例51．（2022·上海市徐汇中学高三期末）如果复数满足，则复数对应的点的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．线段D．圆
例52．（2022·全国·高一课时练习）已知复数z满足，则复数z对应的点的轨迹是___________．
例53．（2022·江西赣州·高三期末（文））设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为___________.
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
例54．（2022·全国·高三课时练习）已知，，O为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
（1）利用坐标法解决．
（2）利用向量几何意义
例55．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知向量，是单位向量，若，且，则的取值范围是___________．
例56．（2022·全国·高三课时练习）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是______．
例57．（2022·陕西师大附中高一期中）已知向量，，，满足，与的夹角为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．例58．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的标准方程为．
(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
例59．（2022·重庆八中高三阶段练习）抛物线的焦点为F，P在抛物线C上，O是坐标原点，当与x轴垂直时，的面积为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B都在抛物线C上，且，过坐标原点O作直线的垂线，垂足是G，求动点G的轨迹方程.
例60．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．求动点P的轨迹方程；
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
例61．（2022·全国·高三课时练习）设椭圆的方程为，斜率为1的动直线交椭圆于A，B两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆，圆心的轨迹方程为______．
【方法技巧与总结】
联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.
例62．（2022·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
例63．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
例64．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别是、，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点、是椭圆上异于、的不同两点，设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程．
例65．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【过关测试】一、单选题
1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（ ）
A．直线B．线段C．两条射线D．圆
2．（2022·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
3．（2022·全国·高三专题练习）四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点.若，则点的轨迹的长度是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（ ）
A．线段B．直线
C．椭圆D．椭圆的一部分
5．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））下列四个命题中不正确的是（ ）
A．若动点P与定点、连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分．
B．设m，，常数，定义运算“*”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分．
C．已知两圆、圆，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆．
D．已知，，，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．2B．C．D．
8．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.假设圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2022·福建省福州第一中学三模）已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称B．曲线C关于y轴对称
C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：(>0)的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足：(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则( )
A．B．直线恒过定点
C．A、B中点轨迹方程：D．面积的最小值为16
11．（2022·福建·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为
12．（2022·全国·高三专题练习）已知、两点的坐标分别是，，直线、相交于点，且两直线的斜率之积为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）
B．当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）
C．当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线
D．当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点）
三、填空题
13．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是___________.
14．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））①已知点，直线，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；
②已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记点，到直线l的距离分别为，，动点P满足，；
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足；
在①，②，③这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是______．
15．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知在直角坐标平面内，两定点，，动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当时，直线PQ的斜率为______．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__．
四、解答题17．（2022·四川内江·模拟预测（理））在中，，，与BC斜率的积是．
(1)求点的轨迹方程；
(2)，求PC的中点的轨迹方程．
18．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求的最小值．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的离心率与抛物线的方程；
(2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；
(3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．
20．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
21．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题37 求曲线的轨迹方程
【考点预测】
曲线的方程和方程的曲线
在直角坐标系中，如果是某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线．事实上，曲线可以看作一个点集，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集，上述定义中
【方法技巧与总结】
一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程．
【题型归纳目录】
题型一：直接法
题型二：定义法
题型三：相关点法
题型四：交轨法
题型五：参数法
题型六：点差法
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
【典例例题】
题型一：直接法
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______．
【方法技巧与总结】
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直接法．
例2．（2022·河南河南·模拟预测（理））已知平面上的动点到点和的距离之比为，则点到轴的距离最大值为_____.例3．（2022·全国·高三课时练习）已知点到定点的距离比它到x轴的距离大．
(1)求点P的轨迹C的方程；
例4．（2022·湖南·模拟预测）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．求曲线的轨迹方程并画出草图；
例5．（2022·湖南湘潭·高三开学考试） 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．求点的轨迹的方程;
题型二：定义法
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知定点A（1，1）和直线L：x+y-2=0，那么到定点A和到定直线L距离相等的点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线
【方法技巧与总结】
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，动圆与圆外切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．求的方程；
例8．（2022·江西南昌·三模（理））已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线
例9．（2022·上海市大同中学高三开学考试）已知定点和定圆，动圆和圆外切，且经过点，求圆心的轨迹方程_______
例10．（2022·全国·高三专题练习）设动圆与轴相切且与圆:相外切,则动圆圆心的轨迹方程为______.
例11．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期末）已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.
例12．（2022·全国·高三专题练习（理））设圆的圆心为A，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点．证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
例13．（2022·全国·高三专题练习）已知是圆上的动点，是线段上一点，，且，求点的轨迹的方程
例14．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．
求动圆圆心的轨迹的方程；
例15．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知圆与圆：外切，同时与圆：内切.
说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
例16．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程．
题型三：相关点法
例17．（2022·全国·高三课时练习）设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式．
例18．（2022·全国·高三课时练习）已知的顶点，，顶点A在抛物线上运动，则的重心G的轨迹方程为______．
例19．（2022·全国·高三课时练习）当点P在圆上变动时，它与定点的连线PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
例20．（2022·全国·高三课时练习）已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．求动点P的轨迹C的方程．
题型四：交轨法
例21．（2022·四川凉山·高三期末（理））设椭圆的上、下顶点分别为A、B，直线与椭圆交于两点M、N，则直线AM与直线BN的交点F一定在下列哪种曲线上（ ）
A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆
【方法技巧与总结】
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
例22．（多选题）（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．动点Q的轨迹方程为
C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
例23．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校高三阶段练习）在矩形中，，把边分成等份，在的延长线上，以的分之一为单位长度连续取点.过边上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为，如图建立平面直角坐标系，则点满足的方程是___________.
例24．（河北省邢台市名校联盟2022届高三上学期开学考试数学试题）已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.求点的轨迹方程.
例25．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（理））已知反比例函数的图像C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
(2)设､为双曲线C的两个顶点，点､是双曲线C上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹E的方程；
例26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，过直线l：左侧且不在x轴上的动点P，作于点H，的角平分线交x轴于点M，且，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C与x轴正半轴交于点，过点的直线交C于A，B两点，，点T满足，其中，证明：.
例27．（2022·全国·模拟预测（文））设抛物线C：，过点的直线l与C交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的切线，两切线相交于点P，求点P的轨迹方程；
例28．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
例30．（2022·上海·高三专题练习）双曲线的实轴为，点是双曲线上的一个动点，引，， 与的交点为，求点的轨迹方程.
例31．（2022·全国·高三课时练习）已知点、以及直线，设长为的线段在直线l上移动（如图所示），求直线和的交点M的轨迹方程．
题型五：参数法
例32．（2022·新疆·皮山县高级中学高三期末（文））已知，，当时，线段的中点轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．
例33．（2022·全国·高三专题练习（理））已知曲线和直线l：y=kx(k≠0)，若C与l有两个交点A和B，求线段AB中点的轨迹方程.
例34．（2022·江西景德镇·高三期末（理））已知两条动直线与（，为参数）的交点为.求点的轨迹的方程；
例35．（2022·北京市第五十七中学高三期中）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过作弦且弦被Q平分，求此弦所在的直线方程及弦长；
(3)过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：y＝k1x和l2：y＝k2x与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且．
求线段AB的中点M的轨迹方程；
例37．（2022·江苏·周市高级中学高三阶段练习）已知直线与坐标轴的交点分别为A，B，则线段的中点C的轨迹与坐标轴围成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
例38．（2022·全国·高三课时练习）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆的半径为，记是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆的标准方程；
(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点，(O为坐标原点，)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程．
题型六：点差法
例39．（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
【方法技巧与总结】
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法．
例40．（2022·全国·高三课时练习）斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是______．
例41．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
例42．（2022·上海市行知中学高三开学考试）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足：，求点的轨迹方程；
例43．（2022·全国·高三期中）（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．
例44．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.（1）若点满足，求直线的方程；
（2）若，的坐标满足，动点满足(其中为坐标原点)，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
例45．（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
利用坐标法解决．
例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，点是平面外一定点，过作平面的斜线斜线与平面所成角为．若点在平面内运动，并使直线与所成角为则动点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线的一支
例47．（2022·北京市第十三中学高一阶段练习）如图，正方体中，为底面上的动点，且于，且，则点的轨迹是（ ）
A．线段B．圆弧
C．抛物线的一部分D．以上答案都不对
例48．（多选题）（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图所示，在棱长为2的正六面体中，O为线段的中点（图中未标出），以下说法正确的有（ ）．
A．线段CD中点为E，则直线OE与平面所成角的正弦值为．
B．在线段上取靠近B点的三等分点F，则直线与直线不共面．
C．在平面上存在一动点P，满足，则P点轨迹为一椭圆．
D．在平面上存在一动点Q，点Q到点O的距离和点Q到直线AB的距离相等，则点Q的轨迹为抛物线，其准线到焦点的距离为．
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
例49．（2022·河南开封·高三阶段练习（文））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
（1）利用坐标法解决．（2）利用复数几何意义
例50．（多选题）（2022·重庆一中高一期末）若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（ ）
A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆
C．不可能存在复数z同时满足和
D．若，则的取值范围为[8，10]
例51．（2022·上海市徐汇中学高三期末）如果复数满足，则复数对应的点的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．线段D．圆
例52．（2022·全国·高一课时练习）已知复数z满足，则复数z对应的点的轨迹是___________．
例53．（2022·江西赣州·高三期末（文））设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点的轨迹方程为___________.
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
例54．（2022·全国·高三课时练习）已知，，O为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
（1）利用坐标法解决．
（2）利用向量几何意义
例55．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知向量，是单位向量，若，且，则的取值范围是___________．
例56．（2022·全国·高三课时练习）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若，且，则点P的轨迹方程是______．
例57．（2022·陕西师大附中高一期中）已知向量，，，满足，与的夹角为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．例58．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的标准方程为．
(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
例59．（2022·重庆八中高三阶段练习）抛物线的焦点为F，P在抛物线C上，O是坐标原点，当与x轴垂直时，的面积为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B都在抛物线C上，且，过坐标原点O作直线的垂线，垂足是G，求动点G的轨迹方程.
例60．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·=0．求动点P的轨迹方程；
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
例61．（2022·全国·高三课时练习）设椭圆的方程为，斜率为1的动直线交椭圆于A，B两点，以线段的中点为圆心，为直径作圆，圆心的轨迹方程为______．
【方法技巧与总结】
联立直线与曲线方程得出两根之和与之积关系，再进行转化.
例62．（2022·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
例63．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
例64．（2022·广东·高三阶段练习）已知椭圆的离心率是，其左、右顶点分别是、，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点、是椭圆上异于、的不同两点，设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程．
例65．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【过关测试】一、单选题
1．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（ ）
A．直线B．线段C．两条射线D．圆
2．（2022·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
3．（2022·全国·高三专题练习）四边形为梯形，且，，，点是四边形内及其边界上的点.若，则点的轨迹的长度是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的轨迹为（ ）
A．线段B．直线
C．椭圆D．椭圆的一部分
5．（2022·河南安阳·高三开学考试（文））平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形，其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线，的距离之和为2的点P的轨迹为曲线，则曲线围成的图形面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））下列四个命题中不正确的是（ ）
A．若动点P与定点、连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P的轨迹为双曲线的一部分．
B．设m，，常数，定义运算“*”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分．
C．已知两圆、圆，动圆M与圆A外切、与圆B内切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆．
D．已知，，，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．2B．C．D．
8．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段和一段圆弧组成，如图所示.假设圆弧所在圆的方程为，若某运动员在起跳点以倾斜角为且与圆相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2022·福建省福州第一中学三模）已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于x轴对称B．曲线C关于y轴对称
C．D．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：(>0)的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足：(其中O为坐标原点且A、B均不与O重合)，则( )
A．B．直线恒过定点
C．A、B中点轨迹方程：D．面积的最小值为16
11．（2022·福建·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为
12．（2022·全国·高三专题练习）已知、两点的坐标分别是，，直线、相交于点，且两直线的斜率之积为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹圆（除去与轴的交点）
B．当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（除去与轴的交点）
C．当时，点的轨迹为焦点在轴上的抛物线
D．当时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线（除去与轴的交点）
三、填空题
13．（2022·浙江·高三开学考试）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，点的轨迹方程是___________.
14．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））①已知点，直线，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；
②已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记点，到直线l的距离分别为，，动点P满足，；
③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且，动点P满足；
在①，②，③这三个条件中，动点P的轨迹W为椭圆的是______．
15．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知在直角坐标平面内，两定点，，动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当时，直线PQ的斜率为______．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是__．
四、解答题17．（2022·四川内江·模拟预测（理））在中，，，与BC斜率的积是．
(1)求点的轨迹方程；
(2)，求PC的中点的轨迹方程．
18．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P，且与C分别切于A、B两点，求的最小值．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的离心率与抛物线的方程；
(2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；
(3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．
20．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，是曲线上的点，若直线，均过曲线的右焦点且互相垂直，线段的中点为，线段的中点为. 是否存在点，使直线恒过点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
21．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知双曲线C：的离心率为2，，为双曲线C的左、右焦点，是双曲线C上的一个点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点且不与渐近线平行的直线l（斜率不为0）与双曲线C的两个交点分别为M，N，记双曲线C在点M，N处的切线分别为，，点P为直线与直线的交点，试求点P的轨迹方程（注：若双曲线的方程为，则该双曲线在点处的切线方程为）
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