全国各地中考数学试卷分类汇编：一元二次方程及其应用

这是一份全国各地中考数学试卷分类汇编：一元二次方程及其应用，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.（2013湖北黄冈，6，3分）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C．
【解析】根据一元二次方程的根的定义，将x＝2代入原方程，得4－12＋c＝0，c＝8，所以原方程就是x2－6x＋8＝0，解之得x＝2或4，所以另一根为4．
【方法指导】本题考查一元二次方程的根的定义和解法．解答本题还可设另一根为x，由一元二次方程的根与系数的关系，得x＋2＝6，所以x＝4．如果x1，x2是一元二次方程x2＋p x＋q＝0的两个根，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．
2.（2013贵州安顺，4，3分）已知关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】：A．
【解析】因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．
【方法指导】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3．（2013四川宜宾，5，3分）已知 SKIPIF 1 < 0 是一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个解，则m的值是 ( )
A．-3 B．3 C． 0 D．0或3
【答案】A．
【解析】把代入原方程可得到一个关于m的一元一次方程，再求解，应选A.
【方法指导】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法.
4.（2013四川泸州，8，2分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． 且 D． 且
【答案】D
【解析】根据条件得(－2)2－4×k×(－1)＞0，且k≠0；解得且，所以选D．
【方法指导】本题从考查一元二次方程的概念及根的判别式出发，同时也考查了列、解不等式(组)的知识，有较大的综合度．
【易错警示】容易只注重根的判别式，而忽视二次项不为0这个暗含条件．
5. （2013四川泸州，10，2分）设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．5 B．－5 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则原式＝＝ SKIPIF 1 < 0 ＝－5．故选B．
【方法指导】本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．
6. （2013福建福州，5，4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0
C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0
【答案】C
【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．A、△＝0－4×3＝－12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；B、△＝4－4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、x2＋2x＋1＝0，△＝4－4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；D、x1＝－3，x2＝1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．故选C．
【方法指导】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
【易错警示】运用根的判别式时，要先化为一般形式否则易出错吆！
7．（2013山东滨州，10，3分）对于任意实数k，关于x的方程程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】：C．
【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．：∵a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，∴△=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
【方法指导】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
8．（2013江苏泰州，3，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A．
【解析】A． SKIPIF 1 < 0 ，∵b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；同理，在方程 SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 中，b2-4ac=-3＜0无实数根、b2-4ac=0有两个相等实数根、b2-4ac=-8＜0无实数根.
【方法指导】本题考查一元二次方程根的判别式.在一元二次方程ax2+bx+c=0中，需要把握根的存在三种情况：b2-4ac≥0，方程有实数根（两个或一个）；b2-4ac＜0，无实数根.
9．（2013广东广州，9，4分）若 SKIPIF 1 < 0 ，则关于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的根的情况是（ ）
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法判断
【答案】 A.
【解析】△=16+4k=，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴△＜0，故答案选A.
【方法指导】解决一元二次方程根的判别式的问题，通常都是先算判别式，然后根据已知条件作出判断。考查一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式：（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况求方程中待定系数的范围；（3）证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。解决这三类问题，有一个通法，就是先算出判别式，然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理.
10．（2013山东日照，8，3分）已知一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的较小根为 SKIPIF 1 < 0 ,则下面对的估计正确的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．
【答案】A
【解析】一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根分别是 SKIPIF 1 < 0 。 SKIPIF 1 < 0 。所以选A
【方法指导】本题是考查一元二次方程的根的取值范围，只要求出方程的根就可以准备找到根的取值范围。
11．（2013山东日照，12，4分）如图,已知抛物线和直线 SKIPIF 1 < 0 .我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.
下列判断： ①当x＞2时，M=y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x= 1 .其中正确的有
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
【答案】B
【解析】当x＞2时，M=y1，所以①错误。
当x＜0时，两个函数值都是随着x的增大而增大的，所以x值越大，M值越大，所以②正确。
当x≤0时，M=y1使得M≤0；当0＜x≤2，M=y2，使得M≤4，x＞2时，M=y1使得M≤4.综之，使得M大于4的x值不存在，所以③正确。
当M=2时，有两种情况，即，0＜x≤2，M=y2即得2x=2,解得x=1.
x＞2时，M=y1即得 SKIPIF 1 < 0
所以④错误。
【方法指导】本题是给信息的试题，所以根据题中所给的信息解题即可，但是这种试题要求要把所给的信息理解透彻。(好恶心的一个点评)
12．(2013四川成都，9，3分)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( )
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根
(C)只有一个实数根 (D)没有实数根
【答案】A．
【解析】∵判别式△＝12－4×1×(－2)＝1＋8＝9，∴原一元二次方程有两个不相等的实数根．故选A．
【方法指导】(1)△＞0一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)△＝0一元二次方程有两个相等的实数根；(3)△＜0一元二次方程没有实数根．其中(1)、(2)两条可合并为：△≥0一元二次方程有两个实数根；
13．（2013白银，6，3分）一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是（ ）
14．（2013白银，8，3分）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
15．（2013兰州，8，3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2
考点：解一元二次方程－配方法．
分析：在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解答：解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1
配方得（x﹣1）2=2．
故选D．
点评：考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
16．（2013兰州，10，3分）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）
A．7600（1+x%）2=8200 B．7600（1﹣x%）2=8200
C．7600（1+x）2=8200 D．7600（1﹣x）2=8200
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：2013年的房价8200=2011年的房价7600×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解答：解：2012年同期的房价为7600×（1+x），
2013年的房价为7600（1+x）（1+x）=7600（1+x）2，
即所列的方程为7600（1+x）2=8200，
故选C．
点评：考查列一元二次方程；得到2013年房价的等量关系是解决本题的关键．
17．（2013广东珠海，4，3分）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（ ）
18.（2013广西钦州，7，3分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
19．（2013贵州安顺，4，3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
考点：一元二次方程的解．
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．
故选A．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
20．（2013·潍坊，10，3分）已知关于的方程 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，方程无解
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，方程有一个实数解
C．当时，方程有两个相等的实数解
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，方程总有两个不相等的实数解
答案：C
考点：分类思想，一元一次方程与一元二次方程根的情况．
点评：对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯一解，而一元二次方程根的情况由根的判别式确定．
21．（2013·鞍山，6，2分）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x－1）2＝b的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
考点：解一元二次方程-直接开平方法．
分析：根据直接开平方法可得x－1＝±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．
解答：解：∵（x－1）2＝b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．
点评：此题主要考查了解一元二次方程－直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
22（2013•东营，11，3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
答案：C
解析：设参赛球队有x个，由题意得x(x－1)=21，解得， SKIPIF 1 < 0 （不合题意舍去），故共有7个参赛球队．
23.（2013上海市，2，4分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
（A）；（B）；（C） ；（D）．
24．（2013贵州省六盘水，9，3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
25．（2013贵州省黔西南州，7，4分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
26．（2013湖北省咸宁市，1，3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）

27．（2013河南省，3，3分）方程 SKIPIF 1 < 0 的解是【】
（A） SKIPIF 1 < 0 （B） （C） SKIPIF 1 < 0 （D） SKIPIF 1 < 0
【解析】由题可知： SKIPIF 1 < 0 或者，可以得到： SKIPIF 1 < 0
【答案】D
28 ．（2013湖北省十堰市，1，3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
29．（2013湖北省鄂州市，8，3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（ ）
二、填空题
1．（2013山东滨州，16，4分）一元二次方程2x2－3x+1=0的解为______________．
【答案】： SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】利用一元二次方程的求根公式 SKIPIF 1 < 0 ，其中a=2,b=-3,c=1代入求解即可.
【方法指导】本题主要考查了一元二次方程的求解方法以及方法的适当选择，对于本题而言选择求根公式求解更适合，要注意方法的选择.
2．(2013湖北荆门，16，3分)设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两实数根，则x13＋2014x2－2013＝______．
【答案】2014．
【解析】依题意可知x1＋x2＝1，x1x2＝－2013，且x12－x1－2013＝0．∴x12＝x1＋2013①．将①式两边同时乘以x1，得x13＝x12＋2013x1②．将①代入②，得x13＝2014x1＋2013．∴x13＋2014x2－2013＝2014x1＋2013＋2014x2－2013＝2014(x1＋x2)＝2014．
【方法指导】关于两根的对称式，我们可以利用根与系数的关系求出它的值．此题中待求的式子不是两根的对称式，因此需转化．根据根的定义得到等式①，这个等式①是解题的关键，利用它既可以把x1的3次降为x1的1次，又可以把不对称的式子转化为对称的式子．
3．（2013山东临沂，19，3分）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b＝例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2＝_________________．
【答案】3或－3．
【解析】可以用公式法求出方程x2－5x＋6＝0的两个根是2和3，可能是x1=2，x2=3，也可能是x1=3，x2=2，根据所给定义运算可知原题有两个答案.
【方法指导】用公式法或因式分解法求出方程对两个根.
【易错点分析】忽视讨论思想，会少一种情况.
4.（2013陕西，12，3分）一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的根是 ．
考点：一元二次方程的解法。
解析：四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。此12题的位置一般是简单的题，因此注意识别使用简单的方法进行求解。
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，解得x1=0,x2=3
5.（2013四川绵阳，17，4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是 10 。
［解析］△=(-3 eq \r(,k) )2-32≥0, eq 3\f(5,9) ≤k